振動と波動 波動方程式の性質

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目次

[編集] 波動方程式の性質

[編集] 1次元の波動方程式

[編集] 波動方程式の一般解

波動方程式は偏微分方程式であるので、これを解くために 境界条件を定めねばならない。 1次元の波動方程式 (\frac 1 {v^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} ) u(x,t) = 0 を考えると、 ξ = x + vt,η = x − vt とするとき、

\begin{matrix} \frac{\partial{{}}}{\partial{x}} &= \frac{\partial{\xi}}{\partial{x}} \frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} + \frac{\partial{\eta}}{\partial{x}} \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}}\\ &= \frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} + \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}} \end{matrix}
\begin{matrix} \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} &= \frac{\partial{\xi}}{\partial{t}} \frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} + \frac{\partial{\eta}}{\partial{t}} \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}}\\ &= v(\frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} - \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}}) \end{matrix}

を用いると、

\begin{matrix} \frac 1 {v^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} \\ &=\frac 1 {v^2} v^2 (\frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} - \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}})^2 - (\frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} + \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}})^2\\ &= (\frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} - \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}})^2 - (\frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} + \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}})^2\\ &= -4 \frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}} \end{matrix}

より、

\begin{matrix} (\frac 1 {v^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} ) u(x,t) &= 0\\ -4 \frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}} u(x,t) &= 0 \end{matrix}

となる。 この解は、

\begin{matrix} u(x,t) &= f(\xi ) + g(\eta)\\ & = f(x+vt ) + g(x-vt)\\ \end{matrix}

で与えられる。 (f,gは任意の関数。) この解のうち、x+vtに依存する関数は速度vで-x方向に移動する 波に対応し、x-vtに依存する関数は速度vでx方向に移動する波に対応する。

この関数を完全に決めるには例えば、 波をつたえる物体のt=0での位置と速度が全ての点xで 知られていればよい。 例えば、t=0で、 − l < x < lで、u= 1,それ以外の点でu=0であり、(関数a(x)とおく。) 速度は全ての点で0とおいたとき、 u (x,0) = f(x)+g(x), \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} u(x,0) = v (f(x) - g(x) ) に代入すると、 f(x) = g(x) = \frac 12 u(x,0) = \frac 12 a(x) が得られ、 時刻tでの関数uの値は、 u = \frac 12 ( a(x+vt) + a(x-vt) ) となる。

  • 図

[編集] 定在波

時間依存性が位置によらずに決まる波を、定在波と呼ぶ。 (?) このとき、 u(x,t) = X(x)T(t) のように、x,tに対する依存性を分離できる。 これを波動方程式に代入すると、

\begin{matrix} (\frac 1 {v^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} ) u(x,t) &= 0\\ X\frac 1 {v^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} T - T \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} X &= 0\\ \frac 1 T \frac 1 {v^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} T - \frac 1 X \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} X &= 0\\ \frac 1 T \frac 1 {v^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} T &= \frac 1 X \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} X \end{matrix}

と変形できる。 ここで、最後の式の左辺はtだけの関数であり、 右辺の式はxだけの関数であるので、 どちらの値も定数に等しいはずである。 この定数を、-\frac 1 {v^2} \omega^2とおくと、

\begin{matrix} \frac 1 T \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} T &= -\omega^2\\ \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} T &= -\omega^2 T\\ \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} T + \omega^2 T&= 0\\ \end{matrix}

となり、解 T(t) = Asin(ωt) + Bcos(ωt) を得る。(A,Bは任意定数。) 一方、Xについても同様に \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} X + \frac 1 {v^2} \omega^2 X= 0 を得ることができ、解 X(x) = A \sin (\frac \omega v x ) + B \cos (\frac \omega v x) (A,Bは任意定数。)

特に、x = 0, x=lでu(t,x) = 0となる場合を考える。 これは、物体の端が固定されている場合に対応するので 固定端と呼ばれる。 このとき、x= 0 でu=0からB = 0が得られる。 また、 X(l) = A \sin (\frac \omega v l ) より、 \frac\omega v l = \pi n となり、(nは整数) \omega = \frac {\pi nv} {l } が得られる。 n = 0は全く波が起きていない情况に対応し、 n = 1は節が1つだけの波が起きている情况に対応する。 n > 1 では、節がn個の波に対応する。

  • 図

全ての点の時間依存性が同一なのでT(t)を決めるにはある一点での 振動のある時刻での位置と速度を与えればよい。 (実際にはある時刻で両方を与える必要は無く、 違う時刻で1つずつ与えてもよい。) 例えば、t= 0で x = \frac l 2 で、u = 0, \frac{\partial{u}}{\partial{t}} = a (aは定数) が与えられたとすると、 T(t) = Asin(ωt) + Bcos(ωt) について、B = 0, ωA = a または、 A = \frac a \omega が得られる。よって、この方程式の解は u(t,x) = \frac a \omega \sin (\omega t) \sin (\frac {\omega _n} v x ) ただし、 \omega _n = \frac {\pi v n} {l } が成り立つ。

[編集] 2次元平面中の波

[編集] 2次元空間中の波動方程式

2次元平面中で、ある方向をx方向と取り、それと垂直な方向をy軸と取る。 x軸とy軸をつけかえても方程式が変わらないことに注目すると、 波動方程式は \frac 1 {v^2}\frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{y}^2} = 0 となる。

  • TODO

2次元平面中での固定端の定在波は、 2つの整数を使って表わされること。 (変数分離) 2つの整数をm,nとしたときのm = 1,n=1の時などの図。


[編集] 3次元空間中の波

[編集] 3次元空間中の波動方程式

3次元平面中で、ある方向をx方向と取り、それと垂直なある方向をy軸と取り、 それらが順に右手の親指、人差し指、中指に対応するようにz軸を取る。 それぞれの軸をつけかえても方程式が変わらないことに注目すると、 波動方程式は \frac 1 {v^2}\frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{y}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{z}^2} = 0 となる。

[編集] 球面波

\Delta r = \frac 1 r \frac{\partial^2{{}}}{\partial{r}^2} (rf ) (f はr,tだけの関数。Δ はラプラシアン。) (?) このとき、 与えられた波動方程式は、 \frac 1 {v^2}\frac{\partial^2{{f }}}{\partial{t}^2} - \frac 1 r \frac{\partial^2{{}}}{\partial{r}^2} (rf ) = 0 となるが、 ここでrf(r,t)についてはこの式は通常の1次元の波動方程式に対応する。 よってこの方程式の解として f(r,t) = \frac 1 r u(r+ vt ) + \frac 1 r v(r-vt) を得る。 (u,vは任意の関数。) これらは球対称な波を表わすことから、球面波と呼ばれる。

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