振動と波動 複数粒子の振動

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目次

[編集] 複数粒子の振動

[編集] 2粒子の場合

質量m_1,m_2の2つの物体が、バネ定数kのバネによって つながれていることを考える。 このとき、バネの方向にx軸を取り、 バネが動かない情况になっているときの 左側の質点の座標をx1, 右側の質点の座標をx2 とすると 運動方程式は、

\begin{matrix} m _1 \ddot x _1 =& -k (x _1 - x _2)\\ m _2 \ddot x _2 =& k (x _1 - x _2) \end{matrix}

が得られる。 このとき座標

\begin{matrix} X &= \frac{m _1 x _1+m _2 x _2}{m _1 + m _2}\\ x &= x _1 - x _2 \end{matrix}

を導入すると、

\begin{matrix} m _1 \ddot x _1 =& -k (x _1 - x _2)\\ m _2 \ddot x _2 =& k (x _1 - x _2) \end{matrix}

の式で、上の式をm2倍したものから、 下の式をm1倍したものを引くと、

\begin{matrix} m _1 m _2 (\ddot x _1 - \ddot x _2 ) =& k (x _1-x _2) ( - m _2 - m _1)\\ m _1 m _2 \ddot x =& k x ( - m _2 - m _1)\\ \mu \ddot x =& -k x \\ \end{matrix}

ここで、 \mu = \frac {m _1 m _2}{m _1 + m _2 } と置いた。 上の式は単振動の方程式であり、 この物体は v1 = − v2(v1,v2はそれぞれ物体1、物体2の速度。)の様に単振動を行ない、 その角振動数は、 \sqrt {\frac k \mu} で与えられることが分かる。

また、運動方程式

\begin{matrix} m _1 \ddot x _1 =& -k (x _1 - x _2)\\ m _2 \ddot x _2 =& k (x _1 - x _2) \end{matrix}

を足し合わせると、

\begin{matrix} m _1 \ddot x _1 +m _2 \ddot x _2 &= 0\\ (m _1 + m _2 )\frac {m _1 \ddot x _1 +m _2 \ddot x _2}{m _1+m _2} &= 0\\ M \ddot X &= 0 \end{matrix}

が得られる。 ここで、 M = m1 + m2 とおいた。 これから、2物体の運動が x,Xを使った座標で表わされ、 Xについては自由な質点と同じ運動をすることが分かる。

このとき2物体の場合において、上で定義されたXを重心座標、 xを相対座標と呼ぶ。



同じ問題を更に多くの粒子を扱うときの やり方で書くことも出来る。

\begin{matrix} m _1 \ddot x _1 =& -k (x _1 - x _2)\\ m _2 \ddot x _2 =& k (x _1 - x _2) \end{matrix}

で与えられる運動方程式は、 定数係数連立2階常微分方程式であるので 通常の仕方で解くことが出来る。 その方針にしたがって、

\begin{matrix} x _1(t) = a _1 e^{i\omega t}\\ x _2(t) = a _2 e^{i\omega t} \end{matrix}

(a1,a2は定数。) とおく。(虚数単位iを加えるのが慣用的である。) このとき運動方程式は、

\begin{matrix} - m _1\omega^2 a _1 =& -k (a _1 - a _2)\\ - m _2 \omega^2 a _2 =& k (a _1 - a _2) \end{matrix}

もしくは、

\begin{matrix} (- m _1 \omega^2 + k) a _1 - k a _2 =0\\ -k a _1 + (k - m _2 \omega^2) a _2 =& 0 \end{matrix}

と書くことが出来る。 ここで a1 = a2 = 0 はこの方程式の解であるが、 それ以外の解があるとき \begin{vmatrix} - m _1 \omega^2 + k& - k \\ -k & k - m _2 \omega^2 \end{vmatrix} = 0 が成り立つことが必要である。 (線型代数では、このような方程式を固有方程式と呼ぶ。) これを解くと、

\begin{matrix} m _1 m _2 \omega^4 + k ( -m _1 -m _2) \omega^2 &= 0\\ \omega^2 ( m _1 m _2 \omega^2 - (m _1 + m _2)k ) &=0 \end{matrix}

よって、 \omega^2 = 0, \frac k \mu もしくは、 \omega = 0, \pm \sqrt{ \frac k \mu} となる。 これは、上で求めた値と一致している。 結局2物体の場合では、線型代数の固有方程式が 容易に求められるということが言える。


[編集] 複数粒子の場合

[編集] 多粒子の場合

粒子の数が多い場合も、 上で求めた方法を用いることが出来る。 特に重要なのは、 全ての粒子が質量mを持っており、 バネ定数kのバネでつながれている場合である。

  • 図

このとき n番目の粒子の座標をunとすると、 運動方程式は、

\begin{matrix} m \ddot u _n &= - k( u _n - u _{n-1} ) + k( u _{n+1} -u _n ) \\ m \ddot u _n &= k( u _{n+1} + u _{n-1} -2u _n ) \\ \ddot u _n &= \omega _0^2( u _{n+1} + u _{n-1} -2u _n ) \end{matrix}

これは、 N元連立定数係数2階常微分方程式 であるので、やはり解くことが出来る。 un = aneiωt とおくと、(anは定数。) -\omega^2 u _n = \omega _0^2( u _{n+1} + u _{n-1} -2u _n ) が得られる。 これを行列の形で書くと、 \begin{pmatrix} -2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1 &0 & \cdots \\ 1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1\\ 0&1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1\\ 0&0&1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1\\ 0&0&0&1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1\\ \end{pmatrix} となる。この方程式を解くには 一般にはこの行列の固有方程式を解かねばならない。 幸いにもこの場合には 固有ベクトルの形が知られており、 それは、 \begin{pmatrix} \sin d \\ \sin 2 d \\ \sin 3 d \\ \sin 4 d \\ \cdots \\ \sin N d \\ \end{pmatrix} となる。 (dは任意の実数。)


実際 \begin{pmatrix} -2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1 &0 & \cdots \\ 1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1\\ 0&1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1\\ 0&0&1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1\\ 0&0&0&1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1\\ \end{pmatrix} をこのベクトルにかけると、k番目の数について

\begin{matrix} &\sin (k-1) d + \sin (k+1) d +(-2+ \frac {\omega^2} {\omega _0^2}) \sin kd \\ &= 2 \sin kd (2\cos d - 2 + \frac {\omega^2} {\omega _0^2})\\ \end{matrix}

となり行列をかけた後の値も、 \sin kd \times (定数)の形をしていることがわかり、 確かにこのベクトルは、 与えられた行列の固有ベクトルとなる。


[編集] 連続極限への移行

前節でN行N列の大きな行列の固有ベクトルが 簡単に求められたことを見た。実際にはこのことは 上で見た行列の性質によっている。この性質を具体的に見るために、 粒子の数がきわめて多く、粒子が連続的に分布していると見た場合 を考える。

\frac {\partial^2 {}}{\partial^2 x } u(x) について2階微分を離散的な量に直すことを考える。 これは、 xに細かい範囲を取って、xi − 1,xi,xi + 1 などの量を取ったとき、 (xに最も近い値をxiとする。) 近似的に

\begin{matrix} f'(x+h) &\sim \frac {f(x _{i+1)}-f(x _{i})} h\\ f'(x) &\sim \frac {f(x _{i})-f(x _{i-1})} h \end{matrix}

とかけることに注目すると、

\begin{matrix} f''(x) &\sim \frac {f'(x+h) -f'(x) } h\\ &\sim \frac { \frac {f(x _{i+1)}-f(x _{i})} h-\frac {f(x _{i})-f(x _{i-1})} h } h\\ &\sim \frac { f(x _{i+1})+f(x _{i-1})-2f(x _{i})} {h^2} \end{matrix}

となり、 ui + i + ui − 1 − 2ui というような並びが出てくる。 この並びは以前出て来た行列の右辺に等しい。 更に以前の運動方程式 \ddot u _n = \omega _0^2( u _{n+1} + u _{n-1} -2u _n ) の左辺にあるような時間の2階微分を付け加えると、 vをある定数として (\frac 1 {v^2} \frac {\partial^2 {}}{\partial^2 t } - \frac {\partial^2 {}}{\partial^2 x } ) u(x,t) = 0 が得られる。 この方程式を波動方程式と呼ぶ。 後に分かることだが、波動方程式は物体の運動をつうじて エネルギーが伝搬して行く様子を表わす方程式となっている。 ここから先は、この方程式の性質を見て行く。

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