高等学校数学A 平面図形

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平面図形 [編集]

ここでは、三角形の重心、外心、内心などについて説明する。更に、 4角形が円に内接する条件や方べきの定理などについても扱う。

三角形の性質 [編集]

三角形の重心 [編集]

三角形の重心

三角形の重心とは、3つの頂点から相対する辺の中点に対して下ろした直線（中線）の交点である。このとき、3つの直線は1つの点で交わる。また、三角形の重心はそれぞれの頂点から相対する辺に下ろした線分を2:1の比で内分する。

導出

三角形ABCを取りBC,ACの中点をそれぞれD,Eとする。また、線分AD,BEの交点を Fとする。ここで、点Eから線分ADに向かって辺BCに平行な線分を取り、線分ADとの交点をIとする。

図

このとき、三角形FEIと、FBDは相似でありお互いの相似比は1:2であることを示す。 IEとBCが平行であることから、

$\angle FBD = \angle FEI$

$\angle FDB = \angle FIE$

となり、2角が等しいことから三角形FEIと、FBDは相似である。更に、IEとBCが平行であることから三角形AIEとADCも相似でありその相似比は点Eが線分ACの中点であることを考えると、1:2である。よって、

$IE: DC = 1:2$

が成立し、三角形FEIとFBDの相似比は1:2であることがわかった。また、三角形AIEとADCの相似から

$AI = ID$

が得られる。これらのことからAFとADの比を計算すると、

$AF = AI + IF = \frac 1 2 AD + \frac 1 3 ID$

$= \frac 1 2 AD + \frac 1 6 AD = \frac 2 3 AD$

となり、確かにFはADを2:1に内分する点になっている。

次に、頂点Cから辺ABに向かって点Fを通過する直線を取り、ABとの交点をJとする。ここで、Jが線分ABの中点となっていることを示す。ここで、点A,C,B,Fで描かれる図形とA,B,C,Fで描かれる図形は同じ形をしており、各々の図形の比も同一であるものと予想される。ここで、

$AE : EC = 1:1 , CD : CB= 1:1$

から、

$AF : FD = 2:1$

が導かれたのであるので、今回は既に

$BD : DC = 1:1, AF : FD = 2:1$

が知られているので上と同じ議論によって

$AJ: JB = 1:1$

が導かれることが予想される。よって、AJ:JB=1:1が示されるのである。

注意

上のような計算によって示される定理をメネラウスの定理と呼ぶ。この定理を用いてよいのなら、上の結果はすぐに示される。 w:メネラウスの定理,高等学校理数数学などを参照。

三角形の外心 [編集]

三角形の外心とは三角形の外接円の中心のことである。ここで、外接円とは三角形の3つの頂点を通過する円のことである。このため、三角形の外心は三角形の全ての点から等しい距離にある点である。三角形の外心について次のことが成り立つ。

三角形の外心

三角形の3辺のそれぞれに対して垂直2等分線を取ったとき、それぞれの直線は1点で交わる。このとき、それぞれの点が交わる1点がその三角形の外心である。

導出

三角形ABCを取り、辺AB,BCのそれぞれに対して垂直2等分線を取り、2直線の交点を Gとする。このとき、点GがAB,BCのそれぞれに対する垂直2等分線上にあることから

$AG = GB = GC$

が成り立つ。このことから、この点は三角形の全ての頂点から等距離にあることが分かり、この点を三角形ABCの外心として扱うことが出来る。また、辺ACの垂直2等分線が点A,Cから等距離にある点を全て含んでいることを考えると点Gは必ずACの垂直2等分線上にあることが分かる。

三角形の内心 [編集]

三角形の内心は三角形の内接円の中心のことである。この点は三角形のそれぞれの辺から等距離にある。三角形の内心について次のことが成り立つ。

三角形の内心

三角形の3角のそれぞれに対して角の2等分線を取ったとき、それぞれの直線は1点で交わる。このとき、それぞれの点が交わる1点がその三角形の内心である。

導出

三角形ABCを取り、角A,Bについて角の2等分線を取り2直線の交点をGと呼ぶ。更に、点Gから辺AB,BC,CAに下ろした垂線とそれぞれの辺の交点をそれぞれ H,I,Jと呼ぶ。このとき、角Aの2等分線の性質から

$GH = GJ$

が成り立ち、同様に角Bの2等分線の性質から

$GH = GI$

が成り立つ。よって、Gは3角形ABCの各辺から等距離にあることが分かり、この点を三角形ABCの内心として扱ってよいことが分かる。更に、角Cの2等分線がBC,CAに下ろした垂線の長さが等しくなるような点を全て含んでいることを用いると、この直線は常に点Gを含んでいる。よって、3つの角の2等分線はただ1点で交わることが分かった。

注意

更に、3辺の長さが知られている三角形についてはヘロンの公式と組み合わせることで、内接円の半径を一般的に求めることが出来る。 w:ヘロンの公式,高等学校理数数学を参照。

三角形の角の2等分線と辺の比 [編集]

三角形の角の2等分線に関して、次のことが成り立つ。

三角形の角の2等分線と辺の比

$\triangle ABC$ の $\angle A$ の2等分線と辺BCとの交点をDとすると、 $AB:AC=BD:DC$ となる。

導出

$\angle A$ の2等分線と辺BCとの交点がDだから

$\angle BAD = \angle DAC$

Cを通りADに平行な直線とBAの延長との交点をEとする。
ADとECは平行であるから

$\angle BAD = \angle AEC$

$\angle DAC = \angle ACE$

上の3つの式から

$\angle AEC = \angle ACE$

よって

$AE=AC$ ……(1)

また、ADとECは平行であるから

$BD:DC=BA:AE$ ……(2)

(1)と(2)より

$AB:AC=BD:DC$

三角形の外角の2等分線に関して、次のことが成り立つ。

三角形の外角の2等分線と辺の比

$\triangle ABC$ の $\angle A$ の外角の2等分線と辺BCの延長との交点をDとすると、 $AB:AC=BD:DC$ となる。ただし、 $AB \ne AC$ とする。

導出

Cを通りADに平行な直線とABの延長との交点をEとすると、上の定理と同様に

$BD:DC=BA:AE=AB:AC$

三角形の辺と角 [編集]

三角形の辺と角の大小関係について、次のようなことが言える。

三角形の辺と角の大小

$\triangle ABC$ において

$AB<AC\ \Leftrightarrow\ \angle B > \angle C$

導出

（ $AB<AC\ \Rightarrow\ \angle B > \angle C$ 　の証明）

$AB<AC$ とし、辺AC上に点Dを、 $AD=AB$ となるようにとれば

$\angle ABD = \angle ADB$ ……(1)

ところで、 $\angle ADB$ は $\triangle DBC$ の $\angle BDC$ の外角だから

$\angle ADB > \angle C$ ……(2)

また、点Dは辺AC上にあるから

$\angle B > \angle ABD$ ……(3)

(1),(2),(3)より、 $\angle B > \angle C$

（ $\angle B > \angle C\ \Rightarrow\ AB<AC$ 　の証明）

$\angle B > \angle C$ であって、 $AB<AC$ ではないとすると、次のどちらかが成り立つ。

$AB=AC$ ……(1)

$AB>AC$ ……(2)

(1)が成り立つとすると、二等辺三角形になるので、 $\angle B = \angle C$

(2)が成り立つとすると、前半で示したとおり、 $\angle B < \angle C$

どちらの場合も、仮定 $\angle B > \angle C$ に反する。

よって、 $AB<AC$ でなければならない。

三角形の3辺ついて、次のようなことが言える。

三角形の2辺の和

三角形の2辺の和は、残りの辺よりも大きい。

導出

$\triangle ABC$ において、 $AB+AC>BC$ を証明する。

辺BAをAの方に延長し、その上に点Dを、 $AD=AC$ となるようにとる。

$\triangle ACD$ は二等辺三角形であるから

$\angle D = \angle ACD$

$\triangle BCD$ において、点Aは辺BD上にあるから

$\angle BCD > \angle ACD = \angle D$

よって、三角形の辺と角の大小の定理より

$AB+AC=AB+AD=DB>BC$

$\triangle ABC$ の3辺の長さを、 $BC=a\ ,\ CA=b\ ,\ AB=c$ とすると、上の定理より次のことがわかる。

$b+c>a\ ,\ c+a>b\ ,\ a+b>c$

三角形の2辺の差

三角形の2辺の差は、残りの辺よりも小さい。

導出

$b+c>a\ ,\ c+a>b\ ,\ a+b>c$

であるから、 $b \ge c$ のとき、 $c+a>b$ より

$a>b-c$

$b<c$ のとき、 $a+b>c$ より

$a>c-b$

が成り立つ。

2つの定理より、三角形の3辺が $a\ ,\ b\ ,\ c$ であるとき、

$|b-c|<a<b+c$

が成り立つことがわかる。

逆に、正の数 $a\ ,\ b\ ,\ c$ が不等式 $|b-c|<a<b+c$ を満たすとき、3辺の長さが $a\ ,\ b\ ,\ c$ である三角形が存在する。

円の性質 [編集]

円周角の定理の逆 [編集]

円周上に3点A,B,Cがある。直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとり、 $\angle APB$ と $\angle ACB$ の大きさを比べる。

点Pについては、

(1)　Pが円周上にある

(2)　Pが円の内部にある

(3)　Pが円の外部にある

のいずれかである。

(2)の場合、三角形の外角と内角の間の大小関係より

$\angle APB > \angle ACB$

(3)の場合も、三角形の外角と内角の間の大小関係より

$\angle APB < \angle ACB$

この結果、次のことがいえる。

(1)　Pが円周上にある $\Rightarrow \angle APB = \angle ACB$

(2)　Pが円の内部にある $\Rightarrow \angle APB > \angle ACB$

(3)　Pが円の外部にある $\Rightarrow \angle APB < \angle ACB$

このことから、次のようなことがいえる。

円周角の定理の逆

2点C,Pが直線ABについて同じ側にあるとき、 $\angle APB = \angle ACB$ ならば、4点A,B,C,Pは同じ円周上にある。

円に内接する四角形 [編集]

上の議論から三角形に外接する円はどのような三角形を取ったとしても常に存在することが分かった。しかし、四角形に関してはそれに対して外接するような円は常に存在するわけではない。一般に円に内接するような四角形に関しては以下の性質が成り立つ。

円に内接する四角形の性質(1)

円に内接する四角形の相対する角の和は $180^\circ$ となる。

導出

内接する四角形の頂点を反時計回りにA,B,C,Dとする。このとき、角A,角Cはそれぞれ点B,Dを対応する端点とする円弧に対する円周角となっている。ただし、角Aと角Cは互いに逆の円弧を対応する弧としているため、2つの弧を合わせるとそれらの弧はちょうど円周をおおうことになる。このため、これらの2つの弧に対応する中心角の和は $360^\circ$ に対応し、同じ弧に対応する円周角の和は $180^\circ$ に対応するのである。

また、円に内接する四角形に関して以下の性質も成り立つ。

円に内接する四角形の性質(2)

円に内接する四角形において、1つの内角は、それに向かい合う内角の隣にある外角に等しい。

導出

円に内接する四角形ABCDにおいて、上の定理より

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

また、頂点Cにおける外角を $\angle DCE$ とすると、 $\angle DCE + \angle C = 180^\circ$ であるから

$\angle A = \angle DCE$

円に内接する四角形の性質の逆について考えてみよう。

四角形が円に内接する条件

(1)　向かい合う内角の和が $180^\circ$ の四角形は、円に内接する。

(2)　1つの内角が、それに向かい合う内角の隣にある外角に等しい四角形は、円に内接する。

導出

(1)の証明

四角形ABCDで、

$\angle B + \angle D = 180^\circ$ …(I)

とする。

$\triangle ABC$ の外接円Oを書き、円Oに内接する四角形ABCD'を作ると

$\angle B + \angle D' = 180^\circ$ …(II)

(I),(II)より

$\angle D = \angle D'$

したがって、円周角の定理の逆から、点Dはこの円Oの周上にある。

よって、四角形ABCDは円に内接する。

(2)の証明

四角形ABCDで、頂点Cにおける外角を $\angle DCE$ として、

$\angle A = \angle DCE$

とする。

$\angle DCE + \angle C = 180^\circ$

であるから

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

四角形が円に内接する条件(1)より、向かい合う内角の和が $180^\circ$ であるから、四角形ABCDは円に内接する。

接線の長さ [編集]

円Oの外の点Aからその円に2本の接線を引ける。その接点をP,Qとするとき、線分AP,AQの長さを、円Oの外の点Aから円Oに引いた接線の長さという。

2つの接線の長さについて、次のことがいえる。

接線の長さ

円外の点からその円に引いた2本の接線の長さは等しい。

導出

直角三角形APO,AQOにおいて

$PO=QO$ …(I)

$AO$ は共通 …(II)

(I),(II)より

$\triangle APO \equiv \triangle AQO$

よって、対応する辺APとAQは等しい。

接弦定理 [編集]

円周上の点Aを通る接線ATがあって、円周上に2点B,Cをとるとき、 $\angle TAB$ と円周角 $\angle ACB$ の大きさには、次のような関係がある。

接弦定理

円の弦とその一端から引いた接線とのなす角は、その角内にある弧に対する円周角に等しい。

導出

$\angle TAB$ が鋭角の場合について考える。

直径ADを引くと、 $\angle TAD = 90^\circ$ であるから、

$\angle TAB = 90^\circ - \angle BAD$ …(I)

また、ADは直径であるから

$\angle ACD = 90^\circ$

$\angle ACB = 90^\circ - \angle BCD$ …(II)

$\angle BAD$ と $\angle BCD$ は弧BDに対する円周角であるから

$\angle BAD = \angle BCD$ …(III)

(I),(II),(III)より

$\angle TAB = \angle ACB$

$\angle TAB$ が直角、鈍角の場合についても同様に証明できる。

方べきの定理 [編集]

中心Oとする円について次の定理が成り立つ。

方べきの定理

円周上に異なった2点A,Bを取りその2点を通る直線を取る。また、同様に A,Bと異なった2点C,Dを通りそれらを通過する直線を取り、直線ABと直線CDの交点をEと取る。このとき、

$AE \times BE = CE \times DE$

が成り立つ。この定理を方べきの定理と呼ぶ。

導出

まず、点Eが円の外部にある場合を考える。このとき、直線AB上で点Eに近い点を点B, 直線CD上で点Eに近い点を点Cとおいたとき、三角形ECBと三角形EADが相似であることを示す。

図

まず、四角形ABCDは円に内接していることから、

$\angle DAE, \angle BCE$

について、

$\angle DAE= \angle BCE$

が成立する。これは円に内接する四角形の相対する角の和が $180^\circ$ になることによっている。同様にして

$\angle ADE= \angle CBE$

が成立し、2角が等しいことから三角形ECBと三角形EADは相似となる。このことから、

$EC : EA = EB : ED$

となるが、このことは

$EA \times EB = EC \times ED$

に等しい。

次に、点Eが円の内部にある場合を考える。

図

このとき三角形EADと三角形EBCが互いに相似であることを示す。最初に

$\angle AED,\angle CEB$

についてこれらが互いの対頂角であることから

$\angle AED= \angle CEB$

が成り立つ。次に、

$\angle EAD,\angle ECB$

についてこれらが円周BDの円周角であることから

$\angle EAD=\angle ECB$

が成り立つ。よって、2角が等しいことから三角形EADと三角形EBCは互いに相似である。このことから

$EC : EA = EB : ED$

となるが、このことは

$EA \times EB = EC \times ED$

に等しい。よって、どちらの場合にも方べきの定理が示された。

また、中心Oとする円の弦と接線について次の定理が成り立つ。

方べきの定理(2)

円の弦ABの延長上の点Pから円に引いた接線をPTとする。このとき、

$PA \times PB = PT^2$

が成り立つ。

導出

$\triangle PAT$ と $\triangle PTB$ において

接弦定理より

$\angle ATP = \angle TBP$ …(II)

$\angle APT = \angle TPB$ （共通） …(II)

だから、 $\triangle PAT$ と $\triangle PTB$ は相似

よって、

$PA:PT=PT:PB$

したがって、

$PA \times PB = PT^2$

2つの円の位置関係 [編集]

2つの円を取ったときこれらはいくつかの仕方で関係する。2つの円の関係は 2つの円の中心間の距離と、2円の半径によって定まる。 2円の距離をそれぞれ $r _1$ , $r _2$ ( $r _1>r _2$ ),中心間の距離を $l$ とすると、 2円の位置関係として

$l < r _1 - r _2$ のとき、円2は円1に含まれている。

$r _1 - r _2 = l$ のとき、2つの円は内接している。

$r _1 - r _2 < l < r _1 + r _2$ のとき、円2と円1は互いに交わっている。

$r _1 + r _2 = l$ のとき、2つの円は外接している。

$r _1 + r _2 < l$ のとき、2円は離れている。

がある。

2つの円がただ1つの共有点をもつとき、この2つの円は接するといい、この共有点を接点という。

1つの直線が、2つの円に接しているとき、この直線を、2つの円の共通接線という。

$l < r _1 - r _2$ のとき、共通接線はない。

$r _1 - r _2 = l$ のとき、共通接線は1本。

$r _1 - r _2 < l < r _1 + r _2$ のとき、共通接線は2本。

$r _1 + r _2 = l$ のとき、共通接線は3本。

$r _1 + r _2 < l$ のとき、共通接線は4本。