高等学校数学C 行列

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本項は高等学校数学Cの行列の解説である。

目次

[編集] 行列とその応用

[編集] 行列

[編集] 行列とその演算

数値を縦横に並べたものを行列と呼ぶ。行列の一部の、横に並んだ数値のかたまりを行、縦に並んだ数値のかたまりを列と呼ぶ。例えば、

\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ \end{pmatrix}

は2行、3列からなる行列である。

[編集] 和，差，実数倍

行列の和は各要素ごとに足し合わせれば良い。差は各要素ごとに引けば良い。実数倍は、各要素に実数を掛けることによって定義する。

例題

  • 問

行列A,B,Cを

A= \begin{pmatrix}2&4\\ 3&3 \end{pmatrix}
B= \begin{pmatrix}7&9\\ 11&5 \end{pmatrix}
C= \begin{pmatrix}8&2\\ 13&15 \end{pmatrix}

で定義するとき、

A + B
C + B
C + A

を計算せよ。

  • 解答

それぞれ、

A+B =\begin{pmatrix}9&13\\ 14&8 \end{pmatrix}
C+B= \begin{pmatrix}15&11\\ 24&20 \end{pmatrix}
C+A= \begin{pmatrix}10&6\\ 16&18 \end{pmatrix}

となる。

[編集] 行列の積と逆行列

行列の積 \begin{pmatrix} a& b \\ c& d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e& f\\ g& h \end{pmatrix} は、 \begin{pmatrix} ae + bg &af + bh\\ ce + dg &cf + dh \end{pmatrix} で定める。たとえば積の第1行第1列の値は、左側の行列の第1行のベクトルと右側の行列の第1列のベクトルの内積であると思えばよい。

例題

  • 問

上で用いた行列A,B,Cについて、

AB
BA
BC
AC
CA

を計算せよ。

  • 解答

それぞれ、

AB =\begin{pmatrix}58&38\\ 54&42 \end{pmatrix}
BA= \begin{pmatrix}41&55\\ 37&59 \end{pmatrix}
BC=\begin{pmatrix}173&149\\ 153&97 \end{pmatrix}
AC=\begin{pmatrix}68&64\\ 63&51 \end{pmatrix}
CA=\begin{pmatrix}22&38\\ 71&97 \end{pmatrix}

である。

この結果から分かる通り、一般に行列の積は

AB \ne BA

となる。

単位行列

E = \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0 &1 \end{pmatrix}

を、2×2の単位行列と呼ぶ。対角成分だけが1であり、その他の成分がすべて0に等しい行列である。任意の2×2行列Aに対して、Eは

EA = AE = A

を満たす。

逆行列

行列Aに対してその行列との積が単位行列となる行列を、その行列の逆行列と呼ぶ。そのような行列はもし存在すれば各Aに対してただひとつなので、これを A − 1 と書く。もちろん一般にはAに対して右側からかけるか左側からかけるかによって積は異なるのだが、この場合はAに対して右からかけて単位行列になるのならば左からかけても単位行列になるし、逆もまたしかりであることに注意しておく。

2行2列の行列 A = \begin{pmatrix} a &b\\ c &d \end{pmatrix} については、 A ^{-1} = \frac 1 {( ad - bc ) } \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix} となる。 ad - bc = 0 のとき、逆行列は存在しない。

実際に行列の積を取ることで、これが正しいことが容易にわかる。

例題

  • 問題

上で定めた行列A,B,Cの逆行列を計算せよ。

  • 解答

それぞれ、

A^{-1}=\begin{pmatrix}-{{1}\over{2}}&{{2}\over{3}}\\ {{1}\over{2}}&-{{1}\over{3 }} \end{pmatrix}
B^{-1}=\begin{pmatrix}-{{5}\over{64}}&{{9}\over{64}}\\ {{11}\over{64}}&-{{7 }\over{64}} \end{pmatrix}
C^{-1}=\begin{pmatrix}{{15}\over{94}}&-{{1}\over{47}}\\ -{{13}\over{94}}&{{4 }\over{47}} \end{pmatrix}

である。

[編集] 行列の応用

[編集] 連立一次方程式

行列の記法を使うと、 1次方程式 x + 2y = 1, 2x + 3y = 2 は、 \begin{pmatrix} 1 &2\\ 2 &3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} と書ける。両辺に左辺の行列の逆行列を掛けると、 \begin{pmatrix} 1& 0\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 &-2\\ -2 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} \times (-1)

\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} x = 1, y = 0 が得られ、始めの連立1次方程式が解けたことになる。 このように、連立1次方程式を解くことは逆行列を求めることと同じである。 特に、2×2行列の逆行列は既に公式が得られているので、2元1次方程式は簡単に解くことができる。

[編集] 点の移動

平面上のベクトル\vec aに対して回転行列 R = \begin{pmatrix} \cos c& -\sin c\\ \sin c & \cos c \end{pmatrix} をかけた積R \vec a は、\vec aを原点を中心にして角度cだけ回転させたベクトルになっている。

（証明）
ベクトルaを極座標を用いてa = (rcosθ,rsinθ)と書く。すると積R \vec aは
R \vec a = \begin{pmatrix} \cos c& -\sin c\\ \sin c & \cos c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \cos \theta \\ r \sin \theta \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} r (\cos c \cos \theta - \sin c \sin \theta) \\ r (\sin c \cos \theta + \cos c \sin \theta) \end{pmatrix}=r \begin{pmatrix} \cos (c+\theta) \\ \sin (c+\theta) \end{pmatrix}
であり、これは確かに\vec aを角度cだけ回転させたベクトルである。
"http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6C_%E8%A1%8C%E5%88%97" より作成
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