高等学校数学II いろいろな関数

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高等学校数学II > いろいろな関数

本項は高等学校数学IIの式といろいろな関数の解説である。

[編集] いろいろな関数

[編集] 三角関数

[編集] 角の拡張

三角関数を $0 ^{\circ} < \theta < 360 ^{\circ}$ で定義すると、便利なことがある。

xy座標平面を取り,半径１の円を取る。P(x,y)を円上の点とする。このとき、 Pとx軸の成す角をaとすると、

sin a = y

cos a = x

$\tan a = \frac y x$

は $0 ^\circ < a < 90{}^\circ$ では、以前の定義とくらべてうまくいっている。

このとき、

$\sin (\theta + 180 ^{\circ}) = - \sin \theta$

$\cos (\theta + 180 ^{\circ}) = - \cos \theta$

$\tan(\theta+180^\circ)=\tan \theta$

が成り立つ。実際、 $180^{\circ}$ 足されたときPは、Q(-x,-y)に移動し、 Qを表わす角が、 $a + 180 ^{\circ}$ で表わされるからである。

問題例

- 問題

$\sin(\theta + 90^\circ)$

$\cos(\theta + 90^\circ)$

$\sin(90^\circ -\theta)$

$\cos(90^\circ- \theta )$

を計算せよ。

- 解答

角

θ

に対応する点を

P (x, y)

とする。このとき、角

$\theta + 90 ^\circ$

に対応する点を

P'(x', y')

とすると、この点の座標は、

P'( - y, x)

に対応する。このことから、 P'について

sin,cos

を計算すると、

x' = - y

$= \cos (\theta + 90 ^\circ )$

= - sin(θ)

y' = x

$= \sin (\theta + 90 ^\circ )$

= cos(θ)

が得られる。

同様にして、

$90 ^ \circ - \theta$

に対応する点を

P''(x'', y'')

とすると、

x'' = y

y'' = x

となる。よって、

$\sin (90 ^ \circ - \theta)$

= cos(θ)

$\cos (90 ^ \circ - \theta))$

= sin(θ)

が得られる。

[編集] 三角関数の基本的な性質

$sin$ と $cos$ は似た性質を持つ。実際、

$\sin (a + 90^{\circ}) = \cos a$

$\cos (a + 90^{\circ}) = - \sin a$

が成り立つ。これは、以前取った円を $90^{\circ}$ 回転させると、 $x \rightarrow y$ , $y \rightarrow -x$ となることによる。

それぞれのグラフは次のようになる。

sin関数

cos関数

tan関数

このように、 $s i n, c o s$ はそれぞれ $360^\circ$ 、 $t a n$ は、 $180^\circ$ を周期とした周期関数である。

問題例

- 問題

(i)

sin(2θ)

(ii)

sin(4θ)

(iii)

$\sin (3\theta + 60 ^\circ)$

(IV)

tan(2θ)

の周期をそれぞれ答えよ。

- 解答

それぞれについて、

$\theta \rightarrow \theta + a$

( $a$ は何らかの実数。) の置き換えを行ない、得られる値が元の値と等しくなる $a$ の値を求めればよい。

(i)については、

sin(2θ)

$\rightarrow \sin (2\theta + 2a)$

となるが、これは

$a = 180 ^ \circ \times n$

( $n$ は整数。)のときに、

sin(2θ + 2 a)

$\sin (2\theta + 2 \times 180 ^ \circ \times n)$

= sin(2θ)

となって元に戻ることが分かる。

結局、この場合は

$180 ^ \circ$

周期で変化することが分かった。より一般的には、同じ計算を行なうことで

sin(b θ)

は、( $b$ は実数。)

$360 ^ \circ / b$

の周期を持つことが分かる。

(ii)

上の話から

$360 ^ \circ / 4$

$= 90 ^ \circ$

の周期を持つことが分かる。

(iii)

$\sin (3\theta + 60 ^\circ)$

は、

$\theta' = \theta+ 20 ^\circ$

とおくと、

sin(3θ')

と置き換えることが出来るが、これは

sin

のグラフでいえば、原点を右に

$20 ^\circ$

だけ動かしたことに相当する。原点を動かすことはグラフの形を変えないので、

$\sin (3\theta + 60 ^\circ)$

の周期は、

sin(3θ')

の周期

$360 ^\circ / 3$

$= 120^\circ$

となる。

(IV)

tan(2θ)

についても (i)のときと同じような議論が出来る。ただし、

tan(θ)

の周期は

$180^\circ$

であるので、

tan(b θ)

( $b$ は実数。)に対する周期は、

$180^\circ / b$

となる。よって、

tan(2θ)

の周期は、

$180^\circ / 2$

$= 90^\circ$

となる。

[編集] 三角関数の加法定理

[編集] 加法定理の導出

三角関数の加法定理

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

が成り立つ。

導出（加法定理の幾何的導出も参照）

角aの表わす点をA $(cos a,sin a)$ , 角(a+b)の表わす点をMとおき、

(cos(a + b),sin(a + b))

,と取る。このとき

$\overrightarrow {AM}$

$= \begin{pmatrix} \cos (a+b) \\ \sin (a+b) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \cos a \\ \sin a \end{pmatrix}$

となる。またこのとき、 AとMのなす角はbであり、AとMはx軸から見て全体に aだけ回転しているので、

$\overrightarrow { AM }$

は、ベクトル $(cos b,sin b)$ から、 $(1,0)$ をひいたもの ( $(cos b - 1,sin b)$ ) を、角aだけ時計回りに回転したものに等しい。回転した後のベクトルが回転行列を用いて、

$\begin{pmatrix} \cos a & -\sin a\\ \sin a & \cos a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos b - 1\\ \sin b \end{pmatrix}$

となることを用いると、

$\begin{pmatrix} \cos (a+b) \\ \sin (a+b) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \cos a \\ \sin a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos a & -\sin a\\ \sin a & \cos a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos b - 1\\ \sin b \end{pmatrix}$

特にこのベクトルのy成分を取ると、

sin(a + b) - sin a = sin a (cos b - 1) + cos a sin b

,

sin(a + b) - sin a = sin a cos b - sin a + cos a sin b

,

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

となり示された。

また、

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a

に

$a \rightarrow a + \frac \pi 2$

を代入すると

$\sin (a+ \frac \pi 2+b) = \sin (a+ \frac \pi 2) \cos b + \sin b \cos (a+ \frac \pi 2)$

cos(a + b) = cos a cos b - sin b sin a

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

が得られる。

問題例

- 問題

sin(2 x)

cos(2 x)

を計算せよ。また、その結果を用いて、

sin 2 (x / 2)

cos 2 (x / 2)

を計算せよ。

- 解答

三角関数の加法定理を用いると、

sin(2 x) = sin(x + x)

= sin x cos x + cos x sin x

= 2sin x cos x

cos(2 x) = cos(x + x)

= cos x cos x - sin x sin x

= cos 2 x - sin 2 x

= 2cos 2 x - 1

= 1 - 2sin 2 x

が得られる。一方、これらの最後の２式

cos(2 x) = 2cos 2 x - 1

= 1 - 2sin 2 x

で

$x \rightarrow x/2$

の置き換えをすると、

$\sin ^2 (x/2) = \frac {1 - \cos x}2$

$\cos ^2 (x/2) = \frac {1+\cos x}2$

が得られる。

- 問題

三角関数の加法定理を用いて、

$\sin 75^\circ$

$\cos 75^\circ$

を計算せよ。また、その値を用いて、

$\sin 15^\circ$

$\sin 165^\circ$

を計算せよ。

- 解答

$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$

となることに注目すると、この式に加法定理を適用することができる。このとき、

$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ)$

$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

$= \frac {\sqrt 6 + \sqrt 2} 4$

が得られる。

同様に

$\cos 75^\circ$

についても計算を行うと、

$\cos 75^\circ = \frac {\sqrt 6-\sqrt 2}4$

が得られる。

さらに、

$\sin 15^\circ$

$= \sin (90^\circ -75^\circ )$

$= \cos 75 ^\circ$

と、

$\sin 165 ^\circ$

$= \sin (90 ^\circ + 75 ^\circ )$

$= \cos 75 ^\circ$

を用いると、

$\sin 15^ \circ$

$= \sin 165 ^ \circ$

$= \frac {\sqrt 6 - \sqrt 2 } 4$

が得られる。

加法定理

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

に

$b \rightarrow -b$

を代入すると

sin(a - b) = sin a cos( - b) + cos a sin( - b) = sin a cos b + cos a ( - sin b)

= sin a cos b - cos a sin b

cos(a - b) = cos a cos( - b) - sin a sin( - b) = cos a cos b - sin a ( - sin b)

= cos a cos b + sin a sin b

が得られる。

更に

$\tan (a+b) = \frac {\sin (a+b) } {\cos (a+b) } = \frac { \sin a \cos b + \cos a \sin b } { \cos a \cos b - \sin a \sin b } = \cfrac { \cfrac { \sin a \cos b } { \cos a \cos b } + \cfrac { \cos a \sin b } { \cos a \cos b } } { \cfrac { \cos a \cos b } { \cos a \cos b } - \cfrac { \sin a \sin b } { \cos a \cos b } }$

$= \cfrac { \cfrac { \sin a } { \cos a } + \cfrac { \sin b } { \cos b } } { 1 - \cfrac { \sin a } { \cos a } \times \cfrac { \sin b } { \cos b } } = \frac { \tan a + \tan b } { 1 - \tan a \tan b }$

この式に

$b \rightarrow -b$

を代入すると

$\tan (a-b) = \frac { \tan a + \tan (-b) } { 1 - \tan a \tan (-b) } = \frac { \tan a + (- \tan b) } { 1 - \tan a ( -\tan b) } = \frac { \tan a - \tan b } { 1 + \tan a \tan b }$

$\tan (a+b) = \frac { \tan a + \tan b } { 1 - \tan a \tan b }$

に

$b \rightarrow a$

を代入すると

$\tan (a+a) = \frac { \tan a + \tan a } { 1 - \tan a \tan a }$

$\tan (2a) = \frac { 2 \tan a } { 1 - \tan ^2 a }$

が成り立つ。

$\tan ^2 \frac { x } { 2 } = \cfrac { \sin ^2 \cfrac { x } { 2 } } { \cos ^2 \cfrac { x } { 2 } } = \cfrac { \cfrac { 1 - \cos x } { 2 } } { \cfrac { 1 + \cos x } { 2 } } = \frac { 1 - \cos x } { 1 + \cos x }$

今までの定理をまとめると、次のようになる。

三角関数の加法定理

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ

cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ

cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ

$\tan (\alpha + \beta) = \frac { \tan \alpha + \tan \beta } { 1 - \tan \alpha \tan \beta }$

$\tan (\alpha - \beta) = \frac { \tan \alpha - \tan \beta } { 1 + \tan \alpha \tan \beta }$

2倍角の公式

sin(2α) = 2sinαcosα

cos(2α) = cos 2 α - sin 2 α = 1 - 2sin 2 α = 2cos 2 α - 1

$\tan (2 \alpha) = \frac { 2 \tan \alpha } { 1 - \tan ^2 \alpha }$

半角の公式

$\sin ^2 \frac { \alpha } { 2 } = \frac {1 - \cos \alpha }2$

$\cos ^2 \frac { \alpha } { 2 } = \frac {1 + \cos \alpha }2$

$\tan ^2 \frac { \alpha } { 2 } = \frac {1 - \cos \alpha } {1 + \cos \alpha }$

[編集] 和積公式と積和公式

三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和積公式、積和公式が得られる。それぞれ

積和公式

$\sin x \cos y = \frac 1 2 (\sin (x+y) + \sin (x-y))$

$\cos x \sin y = \frac 1 2 (\sin (x+y) - \sin (x-y) )$

$\cos x \cos y = \frac 1 2 (\cos (x+y) + \cos (x-y) )$

$\sin x \sin y = -\frac 1 2 (\cos (x+y) - \cos (x-y) )$

和積公式

$\sin x + \sin y = 2 \sin (\frac {x+y}2 ) \cos (\frac {x-y}2 )$

$\sin x - \sin y = 2 \cos (\frac {x+y}2 ) \sin (\frac {x-y}2 )$

$\cos x + \cos y = 2 \cos (\frac {x+y}2 ) \cos (\frac {x-y}2 )$

$\cos x - \cos y = -2 \sin (\frac {x+y}2 ) \sin (\frac {x-y}2 )$

となる。

導出

$\sin x \cos y = \frac 1 2 (\sin (x+y) + \sin (x-y))$

の右辺について三角関数の加法定理を用いると、

$\frac 1 2 (\sin (x+y) + \sin (x-y))$

$= \frac 1 2 (\sin x \cos y + \sin y \cos x + \sin x \cos y - \sin y \cos x)$

= sin x cos y

が得られる。他の積和公式も同様に右辺に加法定理を適用することで示される。

また、

$\sin x \cos y = \frac 1 2 (\sin (x+y) + \sin (x-y))$

の式で、

$x \rightarrow \frac { x+y} 2$

$y \rightarrow \frac { x-y} 2$

を代入すると、

$\sin (\frac { x+y} 2 ) \cos (\frac { x-y} 2 ) = \frac 1 2 ( \sin x + \sin y)$

$\sin x + \sin y = 2 \sin (\frac { x+y} 2 ) \cos (\frac { x-y} 2 )$

となり、和積公式の一番上の式が得られる。残った和積公式の式も同様に積和公式のそれぞれの式に

$x \rightarrow \frac { x+y} 2$

$y \rightarrow \frac { x-y} 2$

を代入することで得られる。

[編集] 三角関数の合成

a sinθ + b cosθ

において、 $a = b = 0$ でないとき、

$\begin{cases} \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{cases}$

となるような $α$ を $- \pi < \alpha \le \pi$ の範囲にただ1つとることができ、この $α$ を用いて次のような変形ができる。

$\begin{align} a \sin \theta + b \cos \theta & = \sqrt{a^2+b^2}\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos \theta \right) \\ & = \sqrt{a^2+b^2} \left( \sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha \right)\\ & = \sqrt{a^2+b^2} \sin \left( \theta + \alpha \right)\\ \end{align}$

問題例

- 問題

　　　　 $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ を $r \sin \left( \theta + \alpha \right)$ の形に変形せよ。

- 解答

　　　 $r = \sqrt{1^2 + \left( - \sqrt{3} \right)^2} = 2$ より

$\begin{align} \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta & = 2 \left( \frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right) \\ & = 2 \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{3} \right)\\ & = 2 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right)\\ \end{align}$

[編集] 孤度法

[編集] ラジアン

ラジアン（radian, 記号:rad）は国際単位系（SI）における角度の単位である。孤度ともいい、平面角の大きさをラジアンで測ることを孤度法という。

半径1の扇形において孤の長さが1のときの中心角を1rad、同様に孤の長さが $θ$ のときの中心角を $θ$ radと定義する。この定義より $180 ^{\circ} =\pi \mathrm{rad}$ 、 $360 ^{\circ} = 2\pi \mathrm{rad}$ となり、これより $1 ^{\circ} =\frac{\pi}{180} \mathrm{rad}$ 、 $1 \mathrm{rad} = \frac {180}{\pi} ^{\circ} \simeq 57^{\circ}$ となる。また孤度法の単位（rad）はしばしば省略される。

[編集] 扇形の孤の長さと面積

扇形の半径を $r$ 、孤度法で定義された角度を $θ$ とするとき、孤の長さ $l$ と面積 $S$ は

$l = r θ$

$S=\frac{1}{2}r^{2}\theta=\frac{1}{2}rl$

と表せる。

[編集] 三角関数の基本公式

$θ + 2 n π$ （nは整数）: $sin(θ + 2 n π) = sinθ$; $cos(θ + 2 n π) = cosθ$; $tan(θ + 2 n π) = tanθ$

$- θ$: $sin( - θ) = - sinθ$; $cos( - θ) = cosθ$; $tan( - θ) = - tanθ$

$θ + π$: $sin(θ + π) = - sinθ$; $cos(θ + π) = - cosθ$; $tan(θ + π) = tanθ$

$π - θ$: $sin(π - θ) = sinθ$; $cos(π - θ) = - cosθ$; $tan(π - θ) = - tanθ$

$\theta+\frac{1}{2}\pi$: $\sin \left(\theta+\frac{1}{2}\pi \right)=\cos \theta$; $\cos \left(\theta+\frac{1}{2}\pi \right)=-\sin \theta$; $\tan \left(\theta+\frac{1}{2}\pi \right)=-\frac{1}{\tan \theta}$

$\frac{\pi}{2}-\theta$: $\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)=\cos \theta$; $\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)=\sin \theta$; $\tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)=\frac{1}{\tan \theta}$

問題例

- 問題

(i)

$\sin \frac{10}{3} \pi$

(ii)

$\cos \left(- \frac{11}{4} \pi \right)$

(iii)

$\tan \frac{31}{6} \pi$

の値を求めよ。

- 解答

(i)

$\begin{align} \sin \frac{10}{3} \pi & = \sin \left(\frac{4}{3}\pi + 2 \pi \right) = \sin \frac{4}{3} \pi \\ & = \sin \left(\frac{\pi}{3} + \pi \right) = - \sin \frac{\pi}{3} \\ & = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align}$

(ii)

$\begin{align} \cos \left(- \frac{11}{4} \pi \right) & = \cos \frac{11}{4} \pi = \cos \left(\frac{3}{4}\pi + 2 \pi \right)\\ & = \cos \frac{3}{4} \pi = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right)\\ & = - \cos \frac{\pi}{4} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align}$

(i)

$\begin{align} \tan \frac{31}{6} \pi & = \tan \left(\frac{7}{6}\pi + 2 \pi \times 2 \right) = \tan \frac{7}{6} \pi \\ & = \tan \left(\frac{\pi}{6} + \pi \right) = \tan \frac{\pi}{6} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align}$

[編集] 指数関数と対数関数

[編集] 指数の拡張

[編集] 累乗根

$n$ 乗して $a$ になる数、すなわち

x n = a

となる $x$ を $a$ の $n$ 乗根という。 $a$ の2乗根、3乗根、4乗根、……を総称して、 $a$ の累乗根という。

例

(I)　 $23 = 8$ であるから、8の3乗根は2
(II)　 $3^4=81\ ,\ (-3)^4=81$ であるから、81の4乗根は $\pm 3$

$a$ の $n$ 乗根 $x$ について考える。

(1)　 $n$ が奇数のとき、 $y = x n$ のグラフと直線 $y = a$ との共有点は、いつでも1個である。したがって、 $a$ の $n$ 乗根はいつも1つである。これを $\sqrt[n]{a}$ で表す。

例

(I)　 $x 3 = 5$ であるとき、 $x= \sqrt[3]{5}$
(II)　 $x 5 = - 30$ であるとき、 $x= \sqrt[5]{-30}$

(2)　 $n$ が偶数のとき、 $y = x n$ のグラフと直線 $y = a$ との共有点は、 $a > 0$ のとき、2個あり、 $a < 0$ のときはない。 $a$ の $n$ 乗根は、 $a > 0$ のとき、正と負の2つあり、正の方を $\sqrt[n]{a}$ 、負の方を $- \sqrt[n]{a}$ で表す。 $a < 0$ のとき、 $a$ の $n$ 乗根はない。また0の $n$ 乗根は0のみである。

例

(I)　 $x 4 = 3$ であるとき、 $x= \pm \sqrt[4]{3}$
(II)　 $x 6 = - 16$ を満たす $x$ はない。

特に2乗根 $\sqrt[2]{a}$ は $\sqrt{a}$ と書く。

問題例

- 問題

次の値を求めよ。

(i)

$\sqrt{36}$

(ii)

$\sqrt[5]{32}$

(iii)

$\sqrt[3]{-8}$

(iv)

$- \sqrt[4]{81}$

- 解答

(i)

$\sqrt{36} = \sqrt{6^2} = 6$

(ii)

$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$

(iii)

$\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$

(iv)

$- \sqrt[4]{81} = - \sqrt[4]{3^4} = -3$

$a > 0$ のとき、 $x n = a$ の解は $x= \sqrt[n]{a}$ であるから、

$\left( \sqrt[n]{a} \right)^n=a$

また

$\sqrt[n]{a} >0$

累乗根の公式

$a>0\ ,\ b>0$ で、 $m\ ,\ n\ ,\ p$ が正の整数のとき

$\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
$\left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$
$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}$

問題例

- 問題

次の計算をせよ。

(i)

$\sqrt[3]{4^2}$

(ii)

$\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{6}$

(iii)

$\left( \sqrt[4]{9} \right)^3$

(iv)

$\sqrt{\sqrt[3]{729}}$

- 解答

(i)

$\sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^3 \times 2} = 2 \sqrt[3]{2}$

(ii)

$\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{4 \times 6} = \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \times 3} = 2 \sqrt[3]{3}$

(iii)

$\left( \sqrt[4]{9} \right)^3 = \sqrt[4]{9^3} = \sqrt[4]{3^6} = \sqrt[2 \times 2]{3^{3 \times 2}} = \sqrt{3^3} = 3 \sqrt{3}$

(iv)

$\sqrt{\sqrt[3]{729}} = \sqrt[2 \times 3]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$

[編集] 指数法則

$x^a \times x^b = x^{a+b}$ , $(x a) b = x a b$ はa,bが整数のときにはよく知られているが、これを実数の場合に拡張する。このときも、同じ法則が成り立つものとする。

指数法則

$a>0\ ,\ b>0$ で、 $r\ ,\ s$ が実数のとき

1. $a^r \times a^s= a^{r+s}$

2. $(a r) s = a r s$

3. $(a b) r = a r b r$

4. $\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$

5. $\left( \frac{a}{b} \right)^r = \frac{a^r}{b^r}$

たとえば、 $x^{\frac 1 3}$ は、3乗されると $x 1 = x$ に等しいので、 xの3乗根 ${}^3\sqrt x$ に等しい。

また、

x 0

については

x 0 = x 1 - 1

$= x \cdot x^{-1}$

$=\frac x x$

= 1

と考えることが出来る。よって、 0以外の全ての実数 $x$ に対して、

x 0 = 1

が成り立つ。

問題例

- 問題

それぞれの計算を行ない、式を簡単化せよ。

(i)

9 1 / 6

(ii)

8 1 / 3

(iii)

48 1 / 4

(IV)

$3^{1/3} \cdot 9^{1/6}$

(V)

$4^2\cdot 3^{1/2} \cdot 12 ^{1/2}$

(VI)

$4^{1/3} \cdot 3 ^{3/4}\cdot 12^{1/6}$

(VII)

40

- 解答

(i)

$3^{{{1}\over{3}}}$

(ii)

2

(iii)

$2 \cdot 3^{1/4}$

(IV)

$3^{{{2}\over{3}}}$

(V)

96

(VI)

$2\cdot 3^{{{11}\over{12}}}$

(VII)

1

が得られる。

指数法則1で、 $r=3\ ,\ s=-3$ について成り立つとすれば

$a^3 \times a^{-3} = a^{3+(-3)} = a^0 =1$

ゆえに

$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$

指数法則2で、 $r= \frac{2}{3}\ ,\ s=3$ について成り立つとすれば

$\left( a^{\frac{2}{3}} \right)^3 = a^{\frac{2}{3} \times 3} = a^2$

となるから、 $a^{\frac{2}{3}}$ は $a 2$ の3乗根ということになるから、

$a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^2}$

指数法則1で、 $r=- \frac{2}{3}\ ,\ s= \frac{2}{3}$ について成り立つとすれば

$a^{- \frac{2}{3}} \times a^{\frac{2}{3}} = a^{- \frac{2}{3} + \frac{2}{3}} = a^0 =1$

ゆえに

$a^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}$

指数の拡張

$a > 0$ で、 $m\ ,\ n$ が正の整数のとき

a 0 = 1

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^m$

$a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$

[編集] 指数関数

今度はある数の指数を動かすという関数を作る。これを指数関数とよぶ。たとえば、 $y = 2 x$ があげられる。

指数関数のグラフを示す。

exp関数

指数関数ははきわめて速く増加する関数であることが分る。

問題例

- 問題

指数法則を用いて指数関数を簡単化せよ。 (i)

$2^x \cdot 3^x$

(ii)

4 x

(iii)

(1 / 3) x

- 解答

(i)

$2^x \cdot 3^x$

については、公式

$(a\cdot b)^x = a^x \cdot b^x$

を用いることが出来る。このとき、

$2^x \cdot 3^x$

$= (2 \cdot 3) ^x$

= 6 x

となる。

(ii)

4 x

について、

4 = 2 2

であることから、

4 x

= (2 2) x

$= 2^{2 \cdot x}$

= 2 2 x

となる。

(iii)

(1 / 3) x

については、

1 / 3 = 3 - 1

より、

(1 / 3) x

= (3 - 1) x

= 3 - x

が得られる。

[編集] 対数関数

[編集] 対数の定義

対数 $l = log a x$ を,

a l = x

をみたす数として定義する。つまり、aをl乗するとxになるという関係である。例えば、

log 2 8 = 3

である。この場合、2を3= $log 28$ 乗すると、 8が得られるという関係になっている。 $log a x$ について以下の式が成り立つ。

log b x a = a log b x

,

log x x = 1

,

log x 1 = 0

となる。

導出

log b x a = a log b x

の両辺について各々の式を bの指数として使ったものを計算する。まず $log$ の定義にしたがうと、

$b^{\log_b x^a} = x^a$

がわかる。次に、右辺についても同じことを考えてみる。このとき

$b^{a \log_b x } ={(b^{\log _b x})} ^a= (x)^a$

となり、左辺を用いて計算した結果と一致する。よって

log b x a = a log b x

が成立する。

2つ目の式について、

x 1 = x

であることを用いると、 $log x x$ は確かに1である。

同様に

x 0 = 1

であることを用いると、 (これは $x^0 = x^{1-1} = \frac x x = 1$ であることから従う。) $log x 1 = 0$ であることが分かる。

問題例

- 問題

それぞれの表式を簡単化せよ。

(I)

l o g 29

(II)

log 321

(III)

log 5125

(IV)

log 47

(V)

log 26

- 解答

(I)

9 = 3 2

を用いると、

l o g 2 9 = 2log 23

となる。

(II)

$\log _3 21= \log _3 (3 \cdot 7)$

= log 3 3 + log 37

= 1 + log 37

(III)

log 5125

= log 5 (5 3)

= 3

(IV)

log 47

$= \log _{2^2} 7$

$= \frac 1 2 \log _2 7$

(V)

log 26

$= \log _2 (2 \times 3)$

= log 2 2 + log 23

= 1 + log 23

- 問題

log 10 2 = a

log 10 3 = b

を用いて、

(I)

log 106

(II)

log 105

(III)

log 1025

(IV)

log 1024

を計算せよ。

- 解答

(I)

log 106

$= \log _{10} (2 \times 3)$

= log 10 2 + log 103

= a + b

(II)

log 105

$= \log _{10} (\frac {10 }2)$

= log 10 10 - log 102

= 1 - a

(III)

log 1025

= log 10 (5 2)

= 2log 105

ここで、(II)の結果を用いると、

log 1025

= 2(log 10 5)

= 2(1 - a) = 2 - 2 a

(IV)

log 1024

$= \log _{10} ( 2^3 \times 3)$

= 3log 10 2 + log 103

= 3 a + b

対数関数を

y = log a x

で定義する。

グラフの概形を示す。

log関数

図を見ると、この関数は非常にゆっくりと増大する関数であることが分る。

更に、グラフの特徴として、

log

の特徴である

log a a = 1

log a 1 = 0

( $a$ は実数。) から、

y = log a x

のグラフは、 ( $a$ は実数。)

(x, y) = (a,1),(0,1)

の2点を必ず通過することが分かる。

また、このグラフの定義域は、

x > 0

に限られる。これは、仮に

x < 0

を考えたとすると、

log a x = l

(ただし、 $x < 0$ ) つまり、

a l = x

が得られることになる。このとき、 $a$ が正の数であることから、左辺は常に正であり、

x < 0

であることと矛盾する。よって、

log a x

の定義域は

x > 0

の範囲に限られる。

(

大学生以上の執筆者への注意

$x$ の範囲を複素数に拡張すれば上の話は必ずしも当てはまらない。ただし、 $z$ を複素数としたときの

l o g z

の値は、 (ただし、

z = r e i θ

( $r$ は実数。) とする。 )

= log r + i (θ + 2π n)

( $n$ は整数。) となるので、定義域を複素数へと拡張しても、依然として実数部は、正であることも分かる。 )

問題例

- 問題

次の関数のグラフを描け。

(I)

log 5 x

(II)

log 1 / 10 x

(III)

log 2 x 2

- 解答

(I)

$(x,y) = (5,1) =(1,0)= (0,-\infty )$

に注意してグラフを描けばよい。

(II)

log 1 / 10 x

$= \log _{ 10^{-1}} x$

= - log 10 x

となる。このとき、

$(x,y) = (10,-1) =(1,0)= (0,+\infty )$

に注意してグラフを描くとよい。

(III)

log 2 x 2

= 2log 2 x

となる。(I)と同じようにグラフを描くとよい。

[編集] 対数の基本公式

log a M + log a N = log a M N

$\log_{a}M-\log_{a}N=\log_{a}\frac{M}{N}$

r log a M = log a M r

$\frac{1}{r}\log_{a}M=\log_{a}\sqrt[r]M$

$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

[編集] 常用対数

10を底とする対数を常用対数という。1.00から9.99までの値に対する常用対数の値は常用対数表に示してある。また、近年ではw:コンピュータやw:関数電卓を用いて、対応する対数の値を知ることもできる。ただし、これらの値は計算上の制約を受けるため、盲目的にその値が正しいと考えてはならない。コンピュータ内の計算については、高等学校情報などを参照。

問題例

- 問題

常用対数表を用いて、次の値を求めよ。
(I)

log 10 12.2

(II)

log 10 0.0143

(III)

log 23

- 解答

(I)

$\log_{10}12.2 = \log_{10}(1.22 \times 10) = \log_{10}1.22 + \log_{10}10 = 0.0864+1 = 1.0864$

(II)

$\log_{10}0.0143 = \log_{10}(1.43 \times 10^{-2}) = \log_{10}1.43 + \log_{10}10^{-2} = 0.1553-2 = -1.8447$

(III)底の変換公式より

$\log_{2}3 =\frac{\log_{10}3}{\log_{10}2} = \frac{0.4771}{0.3010} = 1.585 \cdots$

235の桁数を常用対数を使って考えよう。

102 < 235 < 10 3

が成り立つ。各辺の常用対数をとると

log 10102 < log 10 235 < log 10103

すなわち

2 < log 10 235 < 3

逆に、235が $2 < log 10 235 < 3$ を満たすならば、上の計算を逆にたどって

102 < 235 < 10 3

よって、235は3桁の整数である。

問題例

- 問題

$230$ は何桁の整数か。ただし、 $log 10 2 = 0.3010$ とする。

- 解答

$\log_{10}2^{30} = 30 \log_{10}2 = 30 \times 0.3010 = 9.03$

ゆえに

9 < log 10230 < 10

よって

109 < 2 30 < 10 10

したがって、 $230$ は10桁の整数である。

高等学校数学II いろいろな関数

出典: フリー教科書『ウィキブックス（Wikibooks）』

目次

[編集] いろいろな関数

[編集] 三角関数

[編集] 角の拡張

[編集] 三角関数の基本的な性質

[編集] 三角関数の加法定理

[編集] 加法定理の導出

[編集] 和積公式と積和公式

[編集] 三角関数の合成

[編集] 孤度法

[編集] ラジアン

[編集] 扇形の孤の長さと面積

[編集] 三角関数の基本公式

[編集] 指数関数と対数関数

[編集] 指数の拡張

[編集] 累乗根

[編集] 指数法則

[編集] 指数関数

[編集] 対数関数

[編集] 対数の定義

[編集] 対数の基本公式

[編集] 常用対数

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