初等数学公式集

出典: フリー教科書『ウィキブックス（Wikibooks）』

"公式とは、数式で表される定理のことである " （出典:フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』- 公式）

以下に、日本の数学教育において大学入学程度の水準までで用いられる、主な公式をジャンルごとに分けて記しておく。

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目次

[編集] 面積

[編集] 平面図形

解説はこちらのページをご覧ください

  • 三角形
    • 底辺のながさ a、高さ h の三角形の面積 S：
      S = {1\over 2}ah.
    • 二辺のながさが a, b でその間の角が θ である三角形の面積 S：
      S = \frac{1}{2}ab\sin \theta.
    • 三辺のながさが a, b, c で内接する円の半径が r である三角形の面積 S：
      S = \frac{1}{2}r(a+b+c).
    • 三辺のながさが a, b, c である三角形の面積 S:
      S = \frac{ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} }{4}
    • 一辺のながさ a の正三角形の面積 S：
      S = {\sqrt{3}\over 4}a^2.
  • 四角形
    • 縦のながさ a、横のながさ b の長方形の面積 S：
      S = ab.
    • 一辺のながさ a の正方形の面積 S：
      S = a2.
    • 底辺のながさ a、高さ h の平行四辺形の面積 S：
      S = ah.
    • 上底のながさ a、下底のながさ b、高さ h の台形の面積 S：
      S = {1\over 2}(a+b)h.
    • 対角線のながさ a、もう一つの対角線のながさ b のひし形の面積 S：
      S = {1\over 2}ab.
  • 正多角形
    • 一辺のながさ a の正n角形の面積 S:
      S = \frac{n a^2}{4 \tan{\frac{\pi}{n}} }
  • 円関係
    • 半径 r の円の面積 S：
      S = πr2.
    • 半径 r 中心角 θ(弧度法) の扇形の面積 S:
      S = \frac{1}{2} \theta r^2

[編集] 立体図形

解説はこちらのページをご覧ください

  • 縦のながさ a、横のながさ b、高さ h の直方体の表面積 S：
    S = 2(ab + bh + ah).
    • 底面積 B：
      B = 2ab.
    • 側面積 A：
      A = 2h(a + b).
  • 一辺のながさ a の立方体の表面積 S：
    S = 6a2.
  • 底面の周の長さ l、高さ h の柱体の側面積 S：
    S = lh.
  • 半径rの球の表面積S:
    S = 4πr2.

[編集] 体積

解説はこちらのページをご覧ください

直方体
直方体
  • 縦のながさ a、横のながさ b、高さ h の直方体の体積 V：
    V = abh.
  • 一辺のながさ a の立方体の体積 V：
    V = a3.
  • 底面積 S、高さ h の柱体の体積 V：
    V = Sh.
  • 底面積 S、高さ h の錐体の体積 V：
    V = {1\over 3}Sh.
  • 一辺のながさ a の正四面体の体積 V：
    V = {\sqrt{2}\over 12}a^3.
  • 一辺のながさ a の正八面体の体積 V：
    V = {\sqrt{2}\over 3}a^3.
  • 一辺のながさ a の正十二面体の体積 V：
    V = {15 + 7\sqrt{5}\over 4}a^3.
  • 一辺のながさ a の正二十面体の体積 V：
    V = {5( 3 + \sqrt{5} )\over 12}a^3.
  • 球の体積 V：
    V = {4\over 3}\pi r^3.

[編集] 正弦定理・余弦定理

  • \triangle ABC において\angle A 、\angle B 、\angle Cの対辺をそれぞれa,b,c、外接円の半径をRとおくと:
    \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
    a2 = b2 + c2 − 2bccosA
    b2 = c2 + a2 − 2cacosB
    c2 = a2 + b2 − 2abcosC

[編集] 展開公式

解説はこちらのページをご覧ください

  • 基本公式
    • (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
    • (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
    • (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd.
  • 累乗
    • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
    • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
    • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
    • (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
    • (a+b)^n = \sum_{r = 0}^n{}_n{\rm C}_{r} a^{n-r} b^r
  • 応用
    • (a + b)(a - b) = a2 - b2.
    • (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3.
    • (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3.
    • (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca.
    • (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc.
    • (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc.
    • (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + b^{n-1}) = a^n - b^n.

[編集] 絶対不等式

  • 正の実数からのみ成る数列 {an} に対し、
    \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.
等号成立は a1 = a2 = … = an のときのみ。
なお、高校生が問題を解くときに証明なしで用いていいのは n = 2 のときのみである。
  • 任意の 0 でない実数から成る数列 {an} に対し、
    |a_1+a_2+\cdots+a_n| \leq |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|.
等号成立はすべての数の符号が等しいときのみ。
  • 二つの数列 {an}, {bn} に対し、
    (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 +\cdots+ a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +\cdots+ b_n^2).
等号成立は、実数 k で b1 = ka1, b2 = ka2, ..., bn = kan が全て成り立つようなものが存在するときに限る。

[編集] 方程式

  • 方程式 ax + b = 0 の解の公式:
    x = - \frac{b}{a}
  • 方程式 ax2 + bx + c = 0 の解の公式：
    x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
  • 方程式 ax2 + 2bx + c = 0 の解の公式：
    x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - ac}}{a}.

[編集] 関数

[編集] 一次関数

  • 2点 (a1,b1), (a2,b2) を通る直線の式：
    y=\frac{b_2-b_1}{a_2-a_1}(x-a_1)+b_1.
  • 点 (a,b) を通り、傾き c の直線の式：
    y - b = c(x - a).

[編集] 二次関数

  • 点 (p,q) を頂点とし，2階微分の係数が a である二次関数の式：
    y = a(x - p)2 + q.
  • 点 (p,q) を頂点とし，点 (a,b) を通る二次関数の式：
    y=\frac{b-q}{(a-p)^2}(x-p)^2+q.
  • 2点 (a1,b1), (a2,b2) を通り，2階微分の係数が c である二次関数の式：
    y=c(x-a_1)(x-a_2)+\frac{b_2-b_1}{a_2-a_1}(x-a_1)+b_1.
  • 3点 (a1,b1), (a2,b2), (a3,b3) を通る二次関数の式：
    y=b_1\frac{(x-a_2)(x-a_3)}{(a_1-a_2)(a_1-a_3)}+b_2\frac{(x-a_3)(x-a_1)}{(a_2-a_3)(a_2-a_1)}+b_3\frac{(x-a_1)(x-a_2)}{(a_3-a_1)(a_3-a_2)}.

[編集] 座標・グラフ

  • y = f(x)の表すグラフを x軸方向にa、 y軸方向にb移動したときのグラフを表す式：
    y − b = f(x − a).

[編集] n 次関数

[編集] 三角関数

  • sin2θ + cos2θ = 1.
  • \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
  • \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta.
  • \cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta.
  • \tan\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\frac{1}{\tan\theta},\quad \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{1}{\tan\theta}.
  • \sin(\pi+\theta) = -\sin\theta,\quad \sin(\pi-\theta) = \sin\theta.
  • \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta,\quad \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta.
  • \tan(\pi + \theta) = \tan\theta,\quad \tan(\pi - \theta) = -\tan\theta.
  • \sin(-\theta) = -\sin\theta,\quad \cos(-\theta) = \cos\theta,\quad \tan(- \theta) = -\tan\theta.

[編集] 加法定理

  • \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta.
  • \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta.
  • \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta}.

[編集] 二倍角の公式

  • sin2θ = 2sinθcosθ.
  • cos2θ = cos2θ - sin2θ = 2cos2θ - 1 = 1 - 2sin2θ.
  • \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}.

[編集] 半角の公式

  • \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1-\cos\theta}{2}.
  • \cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1+\cos\theta}{2}.
  • \tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}.

[編集] 和積の公式

  • \sin \alpha + \sin \beta =2\sin{\frac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}.
  • \sin \alpha - \sin \beta =2\cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}\sin{\frac{\alpha - \beta}{2}}.
  • \cos \alpha + \cos \beta =2\cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}.
  • \cos \alpha - \cos \beta =-2\sin{\frac{\alpha + \beta}{2}}\sin{\frac{\alpha - \beta}{2}}.

[編集] 指数・対数

[編集] 対数

以下 a, b ,c は実数。ただし底や真数として文字が用いられている場合は 0 より大とする。

  • \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.
  • loga(bc) = logab + logac.
  • \log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c.

[編集] 指数

  • a^b\times a^c=a^{b+c}.
  • (ab)c = abc.
  • \frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}.

[編集] 数列

  • \sum_{k=1}^n k = {1\over 2}n(n+1).
  • \sum_{k=1}^n k^2 = {1\over 6}n(n+1)(2n+1).
  • \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ {1\over 2}n(n+1) \right\}^2.
  • \sum_{k=1}^n r^{k-1}=\begin{cases} n & (r=1)\\ \cfrac{1-r^n}{1-r}& (r\not=1)\end{cases}.
  • すべての自然数 n に対し an + 1 - an = bn とするとき、
a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k.

[編集] 図形

[編集] 複素数

  • i2 = - 1.
  • eiθ = cosθ + isinθ.（オイラーの式）
  • eπi = − 1.
  • 複素数Zのn乗：
    Z^n = \left\{r(\cos \theta + i \sin \theta)\right\}^n = r^n \left\{\cos ( n \theta) + i \sin (n \theta)\right\}

[編集] ベクトル

以下に挙げる公式で空間ベクトルで成り立つものは、その z 成分を0 とした平面ベクトルでも成り立つ。

  • \vec{a} と \vec{b} の成す角が θ のとき
    \cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}.
  • \vec{a}\ne\vec{0}, \vec{b}\ne\vec{0}のとき、
\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0.
  • \overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OB}=\vec{b}, O は原点とするときの三角形 OAB の面積 S：
    S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}.
とくに、\vec{a}=(a_x,a_y), \vec{b}=(b_x,b_y)とすると、
S=\frac{1}{2}|a_xb_y-a_yb_x|.
  • 二つのベクトル \vec{x}, \vec{y} に対し、
    (\vec{x}\cdot\vec{y})^2+|\vec{x}|^2\left|\vec{y}-\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{|\vec{x}|^2}\vec{x}\right|^2 = |\vec{x}|^2|\vec{y}|^2.
よって、
|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq |\vec{x}||\vec{y}|.
等号成立は、実数 k があって \vec{y} = k\vec{x} とできるときのみ。

[編集] 極限

[編集] 数列・級数の極限

  • 数列 {an}, {bn}, {cn} が、N が十分大きいとき常に aN ≤ bN ≤ cN を満たし、\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha となるならば、{bn} も収束し、
    \lim_{n\to\infty}b_n=\alpha.
  • 数列 {an},{bn} に対して, \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, \lim_{n\to\infty}b_n=\beta ならば、
  1. \lim_{n\to\infty}ka_n=k\alpha. ただし k は定数。
  2. \lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm \beta（複号同順）。
  3. \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\alpha\beta.
  4. \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta} （ただし、\beta\not=0）。
  • 数列 {rn} について、
  1. | r | < 1 ならば \lim_{n\to\infty}r^n=0。
  2. r = 1 ならば \lim_{n\to\infty}r^n=1。
  3. r > 1 ならば \lim_{n\to\infty}r^n=\infty。
  4. r ≤ - 1 ならば \lim_{n\to\infty}r^n は存在しない。
  • 級数： S_n=\sum_{k=1}^{n-1}r^{k-1} について、
  1. | r | < 1 のとき \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{1-r}。
  2. | r | ≥ 1 のとき \lim_{n\to\infty}S_n は発散する。

[編集] 関数の極限

  • \lim_{x\to a}f(x)=\alpha, \lim_{x\to a}g(x)=\betaのとき、
  1. \lim_{x\to a}kf(x)=k\alpha. ただし、k は定数。
  2. \lim_{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=\alpha\pm\beta（複号同順）。
  3. \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta.
  4. \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}. ただし、\beta \ne 0。
  • a のある近傍で定義された関数f, g, h があり、この近傍内の任意の x に対して、f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) かつ \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\alpha ならば、\lim_{x\to a}g(x) は収束し、
    \lim_{x\to a}g(x)=\alpha.
  • \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
  • \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1.
  • \lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{h}\right)^h=\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e.
  • \lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{r}{h}\right)^h=e^r.
  • \lim_{r\to\infty}\sqrt[r]{a}=1（a は正定数）。
  • \lim_{r\to\infty}\sqrt[r]{r}=1.

[編集] 微積分

  • {d\over dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).

[編集] 微分

\prime=\frac{d}{dx}, 変数 x の微分可能な関数 f, g に対して

  • (f+g)^\prime=f^\prime+g^\prime
  • (fg)^\prime=f^\prime g+fg^\prime
  • \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\quad(\mbox{where } g\ne 0)
  • (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'
    別の表現で \frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}。
  • \left(f^{-1}\right)'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}
    y=f\left( x \right)とおくと、x=f^{-1}\left( y \right)で \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} とも表せる。
  • 媒介変数による微分　 x=x\left( t \right),y=y\left( t \right) ならば \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}

実数 a に対して

  • \left(x^a\right)'=ax^{a-1}.
  • \left(a^x\right)'=a^x \log a.
    特に、\left(e^x\right)'=e^x.
  • (\log_a x)'=\frac{1}{x\log a}.
    特に、(\log x)'=\frac{1}{x}.
  • \left(\sin ax\right)'=a\cos ax .
  • \left(\cos ax\right)'=-a\sin ax .
  • \left(\tan ax\right)'=\frac{a}{\cos^2 ax}.
  • \left( x^x \right)'=x^x \left( 1+\log x\right).

[編集] 積分

  • \left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|dx.
  • \int_a^b f(x(t))\cdot \frac{dx}{dt}\,dt = \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx.
    ただし、t = a, b のとき、それぞれ x = α, β。
  • \int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx.
    ただし、[h(x)]_a^b = h(b) - h(a) と略記。
    別の表現：\int_a^b f(x)\,dg(x) = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b g(x)\,df(x).
  • \left(\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right)^2 \leq \left(\int_a^b f(x)^2\,dx\right)\left(\int_a^b g(x)^2\,dx\right).
"http://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F%E9%9B%86" より作成
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