大学受験数学 三角関数/公式集

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円と三角関数の関係

目次

[編集] 三角関数の定義

xy平面上に半径1の円を考える。この円を単位円という。単位円はy2 + x2 = 1と表される。

単位円上で次のように定める。 \sin \theta=\frac{y}{r},\cos \theta=\frac{x}{r},\tan \theta=\frac{y}{x},\cot \theta=\frac{x}{y},\sec \theta=\frac{r}{x},\csc \theta=\frac{r}{y}それぞれ正弦関数（sine）、余弦関数（cosine）、正接関数（tangent）、余接関数（cotangent）、正割関数（secant）、余割関数（cosecant）と呼ばれる。このうち頻繁に使われるのは、\sin \theta=\frac{y}{r},\cos \theta=\frac{x}{r},\tan \theta=\frac{y}{x}の3種類である。

[編集] 覚えるべき三角関数の値

\sin 0^\circ=0,\cos 0^\circ=1,\tan 0^\circ=0
\sin 30^\circ=\frac{1}{2},\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}
\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\tan 45^\circ=1
\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 60^\circ=\frac{1}{2},\tan 60^\circ=\sqrt{3}
\sin 90^\circ=1,\cos 90^\circ=0,\tan 90^\circ=\infty

[編集] 三角関数の基本的性質

sin( - θ) = - sinθ,cos( - θ) = cosθ,tan( - θ) = - tanθ

\sin (\theta+90^\circ)=\cos \theta,\cos (\theta+90^\circ)=-\sin \theta,\tan (\theta+90^\circ)=-\cot \theta=-\frac{1}{\tan \theta}

\sin (90^\circ - \theta)=\cos \theta,\cos (90^\circ - \theta)=\sin \theta,\tan (90^\circ - \theta)=\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}

\sin (\theta+180^\circ)=-\sin \theta,\cos (\theta+180^\circ)=-\cos \theta,\tan (\theta+180^\circ)=\tan \theta

\sin (180^\circ - \theta)=\sin \theta,\cos (180^\circ - \theta)=-\cos \theta,\tan (180^\circ - \theta)=-\tan \theta

nを整数とするとき、
\sin (\theta+360^\circ\cdot n)=\sin \theta,\cos (\theta+360^\circ\cdot n)=\cos \theta,\tan (\theta+180^\circ\cdot n)=\tan \theta

[編集] 三角関数のグラフ

sinθ,cosθは波型（サインカーブ）のグラフを描く。

[編集] 加法定理

複号同順
\sin (\alpha\pm\beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta
\cos (\alpha\pm\beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta
\tan (\alpha\pm\beta)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha\ \tan \beta}

[編集] 加法定理の使用例

\sin 15^\circ=\sin (45^\circ-30^\circ)=\sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\cos 15=\cos (45^\circ-30^\circ)=\cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

\sin 75^\circ=\sin (45^\circ+30^\circ)=\sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\cos 75^\circ=\cos (45^\circ+30^\circ)=\cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

[編集] 倍角公式

sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α
\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}

[編集] 倍角公式の証明

sin2α = sin(α + α) = sinαcosα + cosαsinα = 2sinαcosα
cos2α = cos(α + α) = cosαcosα - sinαsinα = cos2α - sin2α
\tan 2\alpha=\tan (\alpha+\alpha)=\frac{\tan \alpha + \tan \alpha}{1-\tan \alpha\ \tan \alpha}=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}

[編集] 半角公式

半角公式は次数を下げるために用いられる。

\sin^2 \alpha=\frac{1}{2}(1 - \cos 2\alpha)
\cos^2 \alpha=\frac{1}{2}(1 + \cos 2\alpha)


[編集] 半角公式の証明

cos2α = 1 - 2sin2α
2sin2α = 1 - cos2α
\sin^2 \alpha=\frac{1}{2}(1 - \cos 2\alpha)

cos2α = 2cos2α - 1
cos2α + 1 = 2cos2α
\cos^2 \alpha=\frac{1}{2}(1 + \cos 2\alpha)

sin2α = 2sinαcosα
\sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{2}\sin 2\alpha

[編集] 和積変換公式

\sin \alpha + \sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}
\sin \alpha - \sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}
\cos \alpha + \cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}
\cos \alpha - \cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}

[編集] 和積変換公式の証明

[編集] 積和変換公式

積和変換公式は次数を下げるために用いられる。

☆のついた公式は相互に書き換えができる。

\sin \alpha\ \sin \beta=-\frac{1}{2} \{\cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta)\}
☆\sin \alpha\ \cos \beta=\frac{1}{2} \{\sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta)\}
☆\cos \alpha\ \sin \beta=\frac{1}{2} \{\sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta)\}
\cos\alpha\ \cos\beta=\frac{1}{2} \{\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta)\}

[編集] 和積変換公式の証明

[編集] 三倍角の公式

sin3α = - 4sin3α + 3sinα
cos3α = 4cos3α - 3cosα


[編集] 三倍角の公式の証明

[編集] 三分の一倍角の公式

sin^3 \alpha=\frac{1}{4}(3\sin \alpha - \sin 3\alpha)
cos^3 \alpha=\frac{1}{4}(3\cos \alpha + \cos 3\alpha)

[編集] 三分の一倍角の公式の証明

sin3α = - 4sin3α + 3sinα
sin3α - 3sinα = - 4sin3α
sin^3 \alpha=\frac{1}{4}(3\sin \alpha - \sin 3\alpha)

cos3α = 4cos3α - 3cosα
cos3α + 3cosα = 4cos3α
cos^3 \alpha=\frac{1}{4}(3\cos \alpha + \cos 3\alpha)

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