数学/証明

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数学/定義

命題A⇒Bを証明するために

・対偶法:同値式を証明する方法。 ちなみに同値なものとして、¬B⇒¬Aや、¬A∨Bなどがある。

 A  ¬A  B  A⇒B ¬A∨B
 1   0   1   1   1 
 1   0   0   0   0 
 0   1   1   1   1 
 0   1   0   1   1 


・背理法:(¬A∨B)の否定式であるA∧¬Bを仮定し、矛盾を導びきだす。

ある論理式の否定である論理式を作る時は、 ∀,∃,∨,∧,命題Qを∃,∀,∧,∨,命題¬Qに置き換える。

 ∀  ←→このように置き換えると否定論理式になる←→  ∃ 
 ∃   ∀ 
 ∨   ∧ 
 ∧   ∨ 
 命題Q   命題¬Q 


命題論理は以下の記号を使って表される。

∧,∩ :論理積(かつ)
∨,∪ :論理和(または)
¬,^ :否定  (でない)
⇒,→ :導出  (ならば)

また、A⇒B then B⇒A よりA⇔B とすることも出来る


命題関数

 集合 U 上で定義された命題 A(x) を考える。命題 A(x) が真となるような集合Uの要素 x の集合を、 命題関数 A(x) の真理集合といい、Aで表す。

それぞれの命題関数の真理集合は次のようになる。

 命題関数  真理集合
A(x)∨B(x) A∪B
A(x)∧B(x) A∩B
¬A(x) A^
A(x) ⇒ B(x) A^∪B


∀x∈U:A(x)⇒B(x)の成立している図

AはBの十分条件、BはAの必要条件である

Set.png

Uの空間上でBの方がA以上の広い空間を持つ。このとき、全集合Uを集合A,Bと論理記号(∨,∧,¬)を使っていかにして表すか?! という問題に帰着できる。

即ち、以下の図で表すことができる。

¬ASet 1.png∨BSet 2.png


 この真理集合の考えを用いると、A⇒B の証明は視覚的に行うことができる。すなわち、

   A(x) ⇒ B(x) を証明するには、A⊂B であることを確かめればよい。(記号は⊂でも⊆でもどちらでも良い)

 実際に、A(x) ⇒ B(x) の真理集合は、A^∪B であり、命題がトートロジーであることから A^∪B=U に等しい。このとき、

A=A∩U=A∩(A^∪B)=(A∩A^)∪(A∩B)=A∩B⊂B から、A⊂B

逆に、A⊂B とすると、

U=A^∪A⊂A^∪B⊂U から、A^∪B=U

よって、命題 A(x) → B(x) は、トートロジーである。

例えば、全集合U:(生物)の中で、A:(人間)ならばB:(動物)である。

A,B⊂U:A⊂B

以下の4つの命題関数は同値である。

命題関数 読み方 Mizarの場合
∀x A(x)⇒B(x) for all x being NaturalNumber such that A(x) implies B(x) for x being Nat st A.x implies B.x
∀x A(x)⊂B(x) for all x being NaturalNumber A(x) holds B(x) for x being Nat A.x holds B.x
∀x ¬A(x)∨B(x) for all x being NaturalNumber such that not A(x) ∨ B(x) for x being Nat st not A.x \/ B.x
∀x ¬B(x)⇒¬A(x) for all x being NaturalNumber such that not B(x) implies not A(x) for x being Nat st not B.x implies not A.x

∃x ¬A(x)⇒¬B(x) existence x being NaturalNumber such that not A(x) implies not B(x) ex x being Nat st not A.x implies not B.x
∃x A(x)∨¬B(x) existence x being NaturalNumber such that A(x) ∨ not B(x) ex x being Nat st A.x \/ not B.x

トートロジー(恒真命題) tautology

真理値が全て、1(真)である命題を、トートロジーという。

 A  ¬A A⇒A ¬A∨A
 1   0   1   1 
 0   1   1   1 

このように、全集合Uを埋め尽くすことが出来ればトートロジーになる。 Math set0.png

従って、Aと¬Aを重ねると

Math set2.pngMath set3.pngMath set1.png

となり、被い尽くすことが出来たので、トートロジーである。


矛盾命題 contradiction

真理値が全て、0(偽)である命題を、矛盾命題という。

 A  ¬A ¬(A⇒A) ¬A∧A
 1   0   0   0 
 0   1   0   0 

同様に

Math set2.pngMath set3.pngMath set4.png

となり、埋めている部分が無いので、矛盾命題となる。


同値関係

 1   反射律   reflexivity   a~a 
 2   対象律   symmetry   a~b ⇒ b~a 
 3   推移律   transitive  (a~b & b~c) ⇒ a~c 

読み方(⇒:ならば、 &:かつ)


推移律と等価な関係

非反射関係 irreflexivity
非対称関係 asymmetry
強半順序関係 strict partial order


律番号 順序関係 説明
1,3 前順序(擬順序)
1,3 全擬順序 完全的な擬順序
1,2,3 同値関係 前順序に対象律が加わったもの
1,¬2,3 半順序 前順序に反対称律が加わったもの
1,¬2,3 厳密弱順序 強半順序関係で等価関係での比較が不可能な場合
¬2,3 全順序 完全関係



数学の証明は厳密性を保つため「一階述語論理」を使って行う。 「無限」に関する議論も「有限」と同様にして扱うことが可能となる。

:全称記号 :存在記号

∃Φ{1,2,3,4, ... ,n}
 このとき、以下の関係式が成り立つ

∀x  Φ(x) ⇔ Φ(1)∧Φ(2)∧...∧Φ(n)
∃x  Φ(x) ⇔ Φ(1)∨Φ(2)∨...∨Φ(n)
全てのxにおいて、H(x)、ならば、A(x)。
∀x  (H(x) → A(x) )
ある x が存在し、A(x)、かつ、B(x)
∃x (A(x) ∧ B(x))

※∃の場合は、→ではなく、∧となる!


関係記号 Ψ(x,y)における同値関係 関係記号Ψ(x,y)は、集合における写像に対応している。 ただし、この場合は、ある固体領域内における要素と要素の対応関係とみるべきである。

限量記号(∀、∃)と、関係記号Ψ(x,y)を組み合わせた場合、 固体領域 (a,b) を考えてみる。この場合の対応関係は、以下の4通りである。 (a,b)、(a,a)、(b,a)、(b,b) この、Ψ(x,y)の組み合わせは以下のようになる。

∀x∀yΨ(x,y)⇔ ((a,a)∧(a,b))∧((b,a)∧(b,b))⇔(a,a)∧(a,b)∧(b,a)∧(b,b):全てのxについて、全てのyが、Ψ(x,y)において対応する

∀y∀xΨ(x,y) ⇔ ((a,a)∧(b,a)) ∧ ((a,b)∧(b,b))⇔ (a,a)∧(b,a) ∧ (a,b)∧(b,b):全てのyについて、全てのxが、Ψ(x,y)において対応する

∃x∃yΨ(x,y) ⇔ ((a,a)∨(a,b)) ∨ ((b,a)∨(b,b))⇔ (a,a)∨(a,b) ∨ (b,a)∨(b,b):あるxについて、あるyが、Ψ(x,y)において対応する

∃y∃xΨ(x,y) ⇔ ((a,a)∨(b,a)) ∨ ((a,b)∨(b,b))⇔(a,a)∨(b,a) ∨ (a,b)∨(b,b):あるyについて、あるxが、Ψ(x,y)において対応する

∀x∃yΨ(x,y) ⇔ ((a,a)∨(a,b)) ∧ ((b,a)∨(b,b))⇔ ((a,a)∨(a,b)) ∧ ((b,a)∨(b,b)):全てのxについて、あるyが、Ψ(x,y)において対応する

∃x∀yΨ(x,y) ⇔ ((a,a)∧(a,b)) ∨ ((b,a)∧(b,b))⇔ ((a,a)∧(a,b)) ∨ ((b,a)∧(b,b)):あるxについて、全てのyが、Ψ(x,y)において対応する

∀y∃xΨ(x,y) ⇔ ((a,a)∨(b,a)) ∧ ((a,b)∨(b,b))⇔ ((a,a)∨(b,a)) ∧ ((a,b)∨(b,b)):全てのyについて、あるxが、Ψ(x,y)において対応する

∃y∀xΨ(x,y) ⇔ ((a,a)∧(b,a)) ∨ ((a,b)∧(b,b))⇔ ((a,a)∧(b,a)) ∨ ((a,b)∧(b,b)):あるyについて、全てのxが、Ψ(x,y)において対応する


「二階述語論理」とは数学的帰納法、f(f(x))、などのように論理演算がそれ自身を含むものをいう。 従って自己を含む為に、その論理演算が証明可能か否かを判断できない命題が存在する。(ゲーデルの不完全定理)


数学の証明(Proof Check)はMizarという数理処理システムで行うことができる。