物理数学II フーリエ解析

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フーリエ級数

フーリエ級数とは${\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx),(-\pi <x<\pi )$のようにある関数$f(x)$を三角関数の無限和で表したものである。

$-\pi <x<\pi$におけるフーリエ級数

xの定義域を$(-\pi <x<\pi )$と定義したとき、フーリエ級数は

${\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx),(-\pi <x<\pi )$

で表される。このとき$a_{n}$と$b_{n}$は

$a_{n}={1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\,dx,(n=0,1,2,3,\cdots )$

$b_{n}={1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\,dx,(n=1,2,3,\cdots )$

で表される。

$f(x)=x,(-\pi <x<\pi )$のフーリエ級数

$f(x)=x$は奇関数なので$a_{n}$は

$a_{n}={1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }x\cos nx\,dx=0$

となる。また$b_{n}$は

$b_{n}={1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }x\sin nx\,dx=-{\frac {2\cos n\pi }{n}}={\frac {2(-1)^{n+1}}{n}}$

となる。よって$f(x)=x,(-\pi <x<\pi )$のフーリエ級数は

$x=2\left(\sin x-{\frac {1}{2}}\sin 2x+{\frac {1}{3}}\sin 3x-\cdots \right)$

となる。

一般化フーリエ級数

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