特殊相対論テンソル

テンソル

ここからはテンソルという量を用いる。数学的には、通常物理で扱う 3次元のベクトルは、 SO(3)群という群の表現の1つとなっている。ここでいうローレンツ不変性は、ローレンツ群SO(3,1)に対応しており、これも群の表現が良く知られている。

まず、ローレンツ変換で変化しない量をスカラーと呼ぶ。次に、ローレンツ変換に対して、 ${A'}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }A^{\nu }$ となる量をベクトルと呼ぶ。

$\Lambda _{\nu }^{\mu }$ は、6つの4*4の行列で与えられ、ベクトルに対しては $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ は、 $B_{1}=\gamma {\begin{pmatrix}1&\beta &0&0\\\beta &1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ , $B_{2}=\gamma {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&\beta &0\\0&\beta &1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ , $B_{3}=\gamma {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&\beta \\0&0&\beta &1\end{pmatrix}}$ , $R_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos a&-\sin a\\0&0&\sin a&\cos a\end{pmatrix}}$ , $R_{2}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos a&0&\sin a\\0&0&1&0\\0&-\sin a&0&\cos a\end{pmatrix}}$ , $R_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos a&-\sin a&0\\0&\sin a&\cos a&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$ で与えられる。ただし、ここで $\beta ={\frac {v}{c}}$ $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ を用いた。 (ローレンツ群の表現の正確な定義は、おそらく物理数学、もしくは数学の"リー群"で与えられる。) 特にx軸方向に速度vですすむ観測者の観察する物理量を得るには $p'^{\mu }=\gamma {\begin{pmatrix}1&\beta &0&0\\\beta &1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}p^{\mu }$ となる。特にx方向だけに注目するときには変化が起こらないy、z方向を無視して変換行列を $\gamma {\begin{pmatrix}1&\beta \\\beta &1\end{pmatrix}}$ と短く書くことがある。

ここから、例えば、 ${A'}^{\mu }{A'}^{\nu }$ というような量を作ると、この量は ${A'}^{\mu }{A'}^{\nu }=\Lambda _{\rho }^{\mu }A^{\rho }\Lambda _{\sigma }^{\nu }A^{\sigma }$ というように変換することが分る。ここで、 $T^{\mu \nu }=\Lambda _{\rho }^{\mu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }T^{\rho \sigma }$ というように振舞う量を 2階のテンソルと呼ぶ。これは添字が2つあることによる。また、ベクトルは1階のテンソル、スカラーは0階のテンソルということもできる。 (特に添字が上にあるものを反変テンソルと呼ぶことがある。)

ここで、計量テンソルという特別な2階のテンソルを定義する。 $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$ ここで、この量を用いてベクトルの2乗 ${\begin{matrix}(A^{\mu })^{2}=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu }\\=(A^{0})^{2}-(A^{1})^{2}-(A^{2})^{2}-(A^{3})^{2}\end{matrix}}$ を取る。

それぞれの添字は同じ添字が上下にきたときに、0-3までの和を取って、打ち消すことが出来る。例えば、 $A^{\mu }A_{\mu }=\sum _{m=0}^{3}(A^{m})^{2}$

下付き添字の量を共変ベクトルと呼び、対応する反変ベクトルと計量テンソルを用いて定義することが出来る。

これらの添字は、計量テンソル $\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$ によって、上下に移動させることが出来る。例えば、 $x_{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\nu }$ となり、これによって下付き添字の量を定義することが出来る。特に、下付き添字だけを持つテンソルを共変テンソルと呼ぶことがある。また、上付きと下付きの添字を両方持つテンソルを混合テンソルと呼ぶことがある。