統計学基礎/標本空間

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[編集] 標本空間と事象

ある実験を行ったときに, 起こり得る全ての結果の集合を標本空間, または, 全事象という. 標本空間の要素（元）を標本点, 標本空間の部分集合を事象という.

事象に含まれる標本点の数は有限個かも知れないし, 無限個かもしれない.

[編集] 例

[編集] コイン投げ

コイン投げを1回行った時に, 起こり得る結果は{表}がでるか{裏}がでるかのいずれかである. この場合, 標本点は{表}と{裏}であり, 標本空間は{表,裏}となる. 事象の定義は, 標本空間の部分集合なので, φ, {表}, {裏}, {表,裏}の四つになる. 特に空集合 φ も事象（空事象という）である.

では, コイン投げを2回行うとどうなるだろうか？標本点は1回目に何が出たか？2回目に何が出たか？という情報を持たされる. 1回目と2回目で表と裏どちらが出たかを表すために（1回目,2回目）の形で書くと, 標本空間は{（表,表）,（表,裏）,（裏,表）,（裏,裏）}ということになる. 事象は,

φ , {（表,表）}, {（表,裏）}, {（裏,表）}, {（裏,裏）}, {（表,表）,（表,裏）}, {（表,表）,（裏,表）}, {（表,表）,（裏,裏）}, {（表,裏）,（裏,表）}, {（表,裏）,（裏,裏）}, {（裏,表）,（裏,裏）}, {（表,表）,（表,裏）,（裏,表）}, {（表,表）,（表,裏）,（裏,裏）}, {（表,表）,（裏,表）,（裏,裏）}, {（表,裏）,（裏,表）,（裏,裏）}, {（表,表）,（表,裏）,（裏,表）,（裏,裏）}

の, 合計16個ということになる.

一般にn個の要素がある集合の部分集合は2ⁿ個あるので, 標本点が4個であれば2⁴=16個というように計算できる.

[編集] 事象の種類

コイン投げの例で並べた事象を眺めてみると, 標本点の数が0個（空事象）～4個（全事象）まで様々だが, 特に標本点が1個の事象を根元事象, 標本点が2個以上の事象を複合事象という.

毎回このように, 事象を書くたびに{…}のように標本点を並べたりするのは大変なので, 事象A={…}のように記号を用いて事象を表し, Aという記号を用いて説明することも多い. 標本空間（全事象）は, Ω と書く.

[編集] 事象の扱い方

[編集] 事象の演算

事象は標本空間の部分集合であると定義したので, 集合同士の演算というものが可能である. ここでは, 事象Aと事象Bを考える.

和集合 A ∪ B を和事象という.
積集合 A ∩ B を積事象という.
差集合 A - B を差事象という.
余集合 A^c を余事象という.

補集合をとるための全集合は, 標本空間（全事象）とする.

このように「事象」という言葉を定義はしたものの, それは, 「集合」と何ら変わりはない.

[編集] 排反事象

積事象 A ∩ B が空集合となるとき, AとBは排反事象であるという. 重なりが無いとはどういうことかと考えると, 事象は標本点の集合なので, 共通の標本点を含まない事象同士の事であり, このような事象同士の関係を背反であると言う.

[編集] 集合について（復習）

これは, 集合について知らない人, 或いは, 忘れかけてる人のために補足するための項目です.

まだ予定です.