線型代数学/内積

内積

実ベクトル$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\\\end{pmatrix}},\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\\\end{pmatrix}}$に対し、内積$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$と定義する。 (記号が変わっただけで、高校で習った内積$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$と同じである。)
内積については、以下の性質が成り立つ。

1. $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$
2. $(\mathbf {a} +\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\mathbf {c} )+(\mathbf {b} ,\mathbf {c} ),(\mathbf {a} ,\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+(\mathbf {a} ,\mathbf {c} )$
3. $(c\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=c(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {a} ,c\mathbf {b} )$
4. $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geq 0$

ただし、$\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$を実ベクトル、$c$を実数とする。

証明

1. $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}a_{i}=(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$
2. $(\mathbf {a} +\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})c_{i}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}c_{i}+b_{i}c_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{i}=(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+(\mathbf {a} ,\mathbf {c} )$
3. $(c\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}ca_{i}b_{i}=c\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=c(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$
   $\sum _{i=1}^{n}ca_{i}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(cb_{i})=(\mathbf {a} ,c\mathbf {b} )$
4. $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}a_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}$
   $a_{i}$は実数なので、$a_{i}^{2}\geq 0$よって$(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geq 0$
   等号成立は、$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0$つまり$\mathbf {a} =\mathbf {0}$のとき

ノルム

$\|\mathbf {a} \|={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}$を$\mathbf {a}$のノルムという。

ノルムについては以下の性質が成り立つ。

1. $\|\mathbf {a} \|\geq 0$
2. $\|c\mathbf {a} \|=|c|\|\mathbf {a} \|$
3. $|(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|\leq \|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|$(シュワルツの不等式)
4. $\|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|\leq \|\mathbf {a} \|+\|\mathbf {b} \|$(三角不等式)
   ただし$\mathbf {a} ,\mathbf {b}$を実ベクトル、$c$を実数とする。

証明

1. $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geq 0$なので$\|\mathbf {a} \|\geq 0$
   等号成立は$(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$つまり、$\mathbf {a} =\mathbf {0}$のとき
2. $\|c\mathbf {a} \|={\sqrt {(c\mathbf {a} ,c\mathbf {a} )}}={\sqrt {c(\mathbf {a} ,c\mathbf {a} )}}={\sqrt {c^{2}(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}=c{\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}=c\|\mathbf {a} \|$
3. $(t\mathbf {a} +\mathbf {b} ,t\mathbf {a} +\mathbf {b} )$について考える。内積の性質を使うと、$(t\mathbf {a} +\mathbf {b} ,t\mathbf {a} +\mathbf {b} )=(t\mathbf {a} ,t\mathbf {a} +\mathbf {b} )+(\mathbf {b} ,t\mathbf {a} +\mathbf {b} )=t^{2}(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )+t(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+t(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )+(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )=\|\mathbf {a} \|^{2}t^{2}+2(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )t+\|\mathbf {b} \|^{2}$
   $(t\mathbf {a} +\mathbf {b} ,t\mathbf {a} +\mathbf {b} )\geq 0$であるので、$\|\mathbf {a} \|^{2}t^{2}+2(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )t+\|\mathbf {b} \|^{2}\geq 0$である。
   $t$を変数、$\mathbf {a} ,\mathbf {b}$を定数とし、2次方程式を考える。この二次方程式は常に0以上で下に凸であるので、2次方程式の判別式は0以下である。
   なので、判別式$D=4(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2}-4\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}\leq 0$整理すれば、$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2}\leq \|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}$
   よって$|(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|\leq \|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|$
4. $\|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|^{2}=(\mathbf {a} +\mathbf {b} ,\mathbf {a} +\mathbf {b} )=\|\mathbf {a} \|^{2}+2(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\|\mathbf {b} \|^{2}$である。
   $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\leq |(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|$であることと、3.より$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\leq |(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|\leq \|\mathbf {a} \|\mathbf {b} \|$なので、
   $\|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}+2(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\|\mathbf {b} \|^{2}\leq |\mathbf {a} \|^{2}+2\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|+\|\mathbf {b} \|^{2}=(\|\mathbf {a} \|+\|\mathbf {b} \|)^{2}$
   よって$\|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|\leq \|\mathbf {a} \|+\|\mathbf {b} \|$