線型代数学/固有値と固有ベクトル

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線型代数学 > 固有値と固有ベクトル　

ある線型変換 $\ f$ に対して、 $\ f(\bold v) = \alpha \bold v$ 　のような元 $\bold v$ が見つかれば、この線型変換は扱いやすくなる。このページでは、このような $\ \alpha ,\bold v$ （固有値・固有ベクトル）について議論をする。

注意ここから先の議論はすべて複素数体 $\C$ 上の議論である。

[編集] はじめに

本題に入る前にまず次の定理を認めてもらいたい。

定理（代数学の基本定理）

複素数係数の任意のn次多項式

$\ f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$

は重複度も含めてn個の複素数の根を持つ。

証明は別の本を参照のこと。

[編集] 固有値・固有ベクトル

まず、このページの初めに書いたことを正確に定義しよう。

定義

$\ V : \C$ 上の線型空間、 $\ f \in \ End(V)$ とする。

このとき、 $\bold v \in \ V (\bold v \neq \bold 0), \alpha \in \C$ が

$\ f(\bold v) = \alpha \bold v$

の関係をみたすとき、 $\ \alpha$ を固有値、 $\bold v$ を固有ベクトルという。

では、どのようにして固有値や固有ベクトルを求めたらよいだろうか？まずは、 $\C^n$ の線型変換である行列について考えてみよう。

[編集] 行列の場合

まず、固有多項式を次のように定義する。

[編集] 固有多項式

定義 $A \in \ M(n,\bold K)$ に対して

$\Phi_A(t) = \det(A - tI_n) = \pm (t - \alpha_1)^{\nu_1}(t - \alpha_2)^{\nu_2} \cdots (t - \alpha_r)^{\nu_r}$

を $\ A$ の固有多項式という。また、 $\nu_i (1 \leq i \leq r)$ を　 $\alpha_i \in \C$ の重複度という。

2番目の等式は代数学の基本定理より成り立つ。

すると、次の定理が成り立つ。

定理

$\ \alpha$ が固有値　 $\Leftrightarrow \ \alpha$ は固有多項式の根

（証明）

$\ A \in \ M(n;\bold K)$ に対して、 $\ \alpha \in \C$ が固有値であるとする。このとき、

$\ A\bold x = \alpha \bold x$

をみたす、 $\bold x \neq \bold 0$ が存在する。

上の式を書き直すと、 $(\ A - \alpha I_n)\bold x = \bold 0$ であるから、 $(\ A - \alpha I_n)$ の階数がｎより小さいということと同値である。

つまり、 $\ \det(\ A - \alpha I_n) = 0$ でなければならない。

以上をまとめると、

$\ \alpha$ が固有値　 $\Longleftrightarrow (A - \alpha I_n)\bold x = \bold 0$ が非自明な解をもつ。 $\Longleftrightarrow \ rank(\ A - \alpha I_n) < n \Longleftrightarrow \det(A - \alpha I_n) = 0$ □

次に、固有空間を以下のように定義する。

[編集] 固有空間

定義 $\ A \in \ M(n;\bold K)$ の $\alpha \in \C$ に対する固有空間とは

$E(\alpha) = (\bold x \in \C^n| (A - \alpha I_n)\bold x = \bold 0) = \ker(A - \alpha I_n)$

で表わされる部分空間のことである。

この定義から明らかなように、

$\ \alpha$ が固有値　 $\Longleftrightarrow \ E(\alpha)$ は $\bold 0$ でない元を持ち、それらはすべて固有ベクトル

である。

[編集] 一般の線型変換の場合

$\ V : \C$ 上の線型空間、 $<\bold e_1,\cdots ,\bold e_n>$ を $\ V$ の基底、 $\ f \in End(V)$ に対して　 $\ \alpha$ 　は固有値であるとする。

また、 $<\bold e_1,\cdots ,\bold e_n>$ に対する　 $\ f$ 　の表現行列を $\ A \in \ M(n;\bold K)$ とする。

このとき、行列の場合と同様に、

$\ f(\bold v) = \alpha \bold v$

を充たす $\bold v \neq \bold 0$ が存在する。 $\ V$ の恒等変換を $\ I_V$ とすると、

$\ (f - \alpha I_V) (\bold v) = \bold 0$

と変形できる。これは、 $\ rank(f - \alpha I_V) < n$ 　と同値である。 $\ (f - \alpha I_V)$ の表現行列は　 $\ A - \alpha I_n$ 　であるから、 $\ rank (\ A - \alpha I_n) < n$

以上より、 $\ f$ の固有値は $\ A$ の固有多項式の根であることがわかる。

また、正則行列 $\ P \in \ M(n;\bold K)$ に対して

$\ \det(A - tI_n) = \det(A - tI_n) \det(P) \det(P^{-1}) = \det(P^{-1}) \det(A - tI_n) \det(P) = \det(P^{-1}AP - tI_n)$

より、固有多項式は $\ V$ の基底の取り方によらない。

[編集] 固有空間

固有空間も行列の場合と同様に定義される。

定義 $\ f \in \ End(V)$ の $\alpha \in \C$ に対する固有空間とは

$E(\alpha) = (\bold v \in V| (f - \alpha I_V)\bold v = \bold 0) = \ker(f - \alpha I_V)$

で表わされる部分空間のことである。

[編集] 固有空間の和

最後に、次の命題を証明しておく。

命題

$\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r$ は $\ A \in \ M(n;\bold K)$ の相異なる固有値とする。このとき、

$\ E(\alpha_1) + E(\alpha_2) + \cdots + E(\alpha_r) = \ E(\alpha_1) \oplus E(\alpha_2) \oplus \cdots \oplus E(\alpha_r)$

（証明）

$\bold x_i \in \ E(\alpha_i) (1 \leq i \leq r)$ は　 $\bold x_1 + \bold x_2 + \cdots +\bold x_r = \bold 0$ 　をみたすとする。

この等式に、 $\ f, \ f^2, \cdots ,\ f^{r-1}$ を作用させると、

$\begin{pmatrix} 1&1& \cdots &1\\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_1^{r-1} & \alpha_2^{r-1} & \cdots & \alpha_r^{r-1}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\bold x_1 \\ \bold x_2 \\ \vdots \\ \bold x_r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\bold 0 \\ \bold 0 \\ \vdots \\ \bold 0 \\ \end{pmatrix}$

左辺の行列の行列式はVanDermondの行列式なので、

$\det{\begin{pmatrix} 1&1& \cdots &1\\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_1^{r-1} & \alpha_2^{r-1} & \cdots & \alpha_r^{r-1}\\ \end{pmatrix}} = \prod_{i < j} (\alpha_i - \alpha_j) \neq 0$

したがって、この行列は正則。

よって、 $\bold x_1 = \bold x_2 = \cdots = \bold x_r = \bold 0$ □

線型代数学/固有値と固有ベクトル

出典: フリー教科書『ウィキブックス（Wikibooks）』

目次

[編集] はじめに

[編集] 固有値・固有ベクトル

[編集] 行列の場合

[編集] 固有多項式

[編集] 固有空間

[編集] 一般の線型変換の場合

[編集] 固有空間

[編集] 固有空間の和

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