線型代数学/線形写像

出典: フリー教科書『ウィキブックス（Wikibooks）』

[編集] 線型変換

[編集] 単位ベクトル

次の2つの2次元ベクトルを、R²の単位ベクトルという。

$\mathbf{e}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix}$ ,　 $\mathbf{e}_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix}$

また、次の3つの3次元ベクトルをR³の単位ベクトルという。

$\mathbf{e}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}$ ,　 $\mathbf{e}_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix}$ ,　 $\mathbf{e}_2= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}$

平面上の任意の点の位置ベクトルは、二次元の単位ベクトルを適当にスカラー倍して足し合わせることで表現できる。三次元の空間上の点についても同様に、三次元の単位ベクトルで表現できる。また、この表現の仕方は一意的である。このような性質を指して、単位ベクトルの組はR²(R³)の基底であるという。

[編集] R²の線型変換

行列とは、4個の実数を正方形に並べた表、

$A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}$ 　　　　　　(6.1)

のことである。同時に行列

$B=\begin{pmatrix} p & q\\ r & d\\ \end{pmatrix}$ との掛け算を

$BA= \begin{pmatrix} ap+cq & bp+dq\\ ar+cs & br+ds\\ \end{pmatrix}$

対してベクトル $\mathbf{x}= \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}$

との掛け算は、

$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ax+by\\ cx+dy\\ \end{pmatrix}$

と、定義する。さて、行列とベクトルとの積は、位置ベクトルxの点Pが、行列Aをかけることによって位置ベクトルx'の点P'に変換されたと見ることができる。

例えば、

$\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& -1\\ \end{pmatrix}$

は、点Pを、x軸に関して線対称な点P'への変換である。これをx軸に関する折り返しと言う。

　次に、行列Aによって点Pを変換したあと、さらに行列Bで変換することよって点Pを点P''(位置ベクトルx'')に移そう。

$\mathbf{x}''=B(A\mathbf{x})=B\mathbf{x}'= \begin{pmatrix} p & q\\ r & s\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ax+by\\ cx+dy\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (ap+cq)x+(bp+dq)y\\ (ar+cs)x+(br+ds)y\\ \end{pmatrix}$

　　　 $=(AB)\mathbf{x}= \begin{pmatrix} ap+cq & bp+dq\\ ar+cs & br+ds\\ \end{pmatrix}\mathbf{x}$

よって、x=B(Ax)=(BA)x

行列A,B,C,ベクトルx,y,数cに関して次の性質が成り立つ。

A(BC)=(AB)C

$\begin{cases} A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=A\mathbf{x}+A\mathbf{y})\\ A(c\mathbf{x})=(Ac)\mathbf{x} \end{cases}$ 　　　　　(6.2)

特に、(6.2)は重要で、これを行列Aによって引き起こされるR²の変換T_A:x→Ax(「T_AはxのAxへの変換」と言う意味）の線型性と言う。一般にR²変換Tが、次の性質を満たすとき、TをR²の線型変換という

$\begin{cases} T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T\mathbf{x}+T\mathbf{y}\\ T(c\mathbf{x})=c(T\mathbf{x}) \end{cases}$

一般に次の定理が成り立つ。

定理(6.1)

TをR²上の変換とするとき、

Tが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax

(証明) $\Leftarrow$ は既に示した。 $\Rightarrow$ を示す。

単位ベクトルの行き先だけ調べれば十分である。（その理由は別のところで述べる）

$T\mathbf{e}_1= \begin{pmatrix} a\\ c\\ \end{pmatrix}$ 　 $T\mathbf{e}_2= \begin{pmatrix} b\\ d\\ \end{pmatrix}$ とする。

任意の $\mathbf{x}=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2$

Tは線型変換なので、

$T\mathbf{x}=T(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)=xT\mathbf{e}_1+yT\mathbf{e}_2 =x\begin{pmatrix} a\\ c\\ \end{pmatrix}+y \begin{pmatrix} b\\ d\\ \end{pmatrix}$

　　 $=\begin{pmatrix} ax+by\\ cx+dy\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}$

$A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}$ とすれば、

Tx=Ax　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　♯

Aによって引き起こされる変換をT_Aと書くこともある。

全てのベクトルをoに移す変換に対応する行列を特にOと書く。

例

全ての点を反時計回りにα回転させる変換は線型変換であり、対応する行列は

$\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha\\ \end{pmatrix}$ である。

演習

1.原点に対する対象変換は線型変換である。この変換に対応する行列を求めよ

2.T_BT_A=T_BAを示せ。

3.

　Txをxのaへの正射影とする。この時Tを射影子と言う。射影子は線型変換である。この時

　 $\mathbf{a}=\begin{pmatrix} a\\ b\\ \end{pmatrix}$ 　 $a 2 + b 2 = 1$ とすると、Tに対応する行列を求めよ

4.

　(a,b)=0,a,b≠o

　S:aへの射影子,　　T:bへの射影子

　とする。この時次の三つを証明せよ。

　(1)T^2=S　(2)TS=ST=O　(3)任意のxに対して、Tx+Sx=x

[編集] R³の線型変換

前部で定義した行列の概念を広げよう。すなわち、9個の実数の表

$A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{pmatrix}$

も行列と言う事にして、前部で定義した行列を二次の、今定義した行列を三次の行列といって区別することにする。

ベクトルとの積、行列同士の積も同様に定義される。したがって、

$\mathbf{x}=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}$ に対しては、 $A\mathbf{x}=\begin{pmatrix} a_{1,1}x + a_{1,2}y + a_{1,3}z\\ a_{2,1}x + a_{2,2}y + a_{2,3}z\\ a_{3,1}x + a_{3,2}y + a_{3,3}z\\ \end{pmatrix}$ が、

$B= \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\\ b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3}\\ \end{pmatrix}$ と $AB= \begin{pmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3}\\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3}\\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3}\\ \end{pmatrix}$ にたいしては、

$c_{k,j}=\sum_{i=1}^{3}a_{k,i}b_{i,j}$ (i,j=1,2,3)

が定義されている。次のような性質がある。

(AB)x=A(Bx),　(AB)C=A(BC)

A(x+y)=Ax+By,　A(cx)=(Ac)x　　　　　(6.3)

R³における線形変換Tは次の性質を持つ変換である。

T(x+y)=T(x)+T(y) T(cx)=c(Tx)

前部とまったく同様に次の定理が導ける

定理(6.2)

　R³においてTが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax

Aによって引き起こされる変換をT_Aと書くことがある。すべてのベクトルをoに線形変換する行列をOと書く

例

　y軸を中心にα回転させる変換に対応する変換は

$\begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & -\sin \alpha\\ 0 & 1 & 0\\ \sin \alpha & 0 & \cos \alpha\\ \end{pmatrix}$

演習

1.定理(6.2)を証明せよ

2.次の行列が引き起こす変換はどんな変換か

　(1) $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$ 　 (2) $\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$ 　 (3) $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

3.

　 $\mathbf{a}=\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ \end{pmatrix}$ ,　 $a 2 + b 2 + c 2 = 1$

　この時、aへの射影子に対応する行列を求めよ。

4.

　bとcの張る平面に、その平面上に無い点P(位置ベクトルx)から垂線を下ろす。その足をP'（位置ベクトルx')とするとき、x'をxの正射影、Tx:　x→x'をb,cの張る平面への射影子と言う。さて、今a,b,cが直交しているとしよう。xのaへの射影子をS,xのb,cの張る平面への射影子をTとするとき、次の事柄を証明せよ

　(1)T²=T　(2)TS=ST=O　(3)任意のxにたいし、Tx+Sx=x

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