解析力学運動方程式の一般化

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[編集] 運動方程式の一般化

[編集] ラグランジアン

ニュートン方程式は $m \ddot {\vec x} = \vec f$ の形で書かれる。一方、角運動量に関する方程式は $I \vec \omega = \vec N$ と書かれる。 (Iは慣性モーメント、 $\vec \omega$ は角速度、 $\vec N$ は物体に働く力のモーメントである。 ) これらは非常に良く似た形を持っており、何らかの仕方で統一されると都合が良い。

そのためにラグランジアンという量を導入する。これは、力学系の全ての情報をもつ1つのスカラー量(ベクトルでない数)である。ラグランジアンは系の情報を持っている量であるので、系の座標(qとおく。)によらなくてはならない。更に、系の情報は物体の速さという形でも表わされるはずなので、ラグランジアンは $\dot q$ (qの時間微分の意味。) にもよるものと考えられる。よって、 $L = L (q,\dot q)$ を得る。ラグランジアンを得る方法として、運動方程式を得る方法を与え、それと、ニュートン方程式などの値を比較することで対応するラグランジアンを得る方法を考えることが出来る。運動方程式を得る方法は最小作用の原理の節で与える。

[編集] 最小作用の原理

ラグランジアンをある時間の範囲で積分したものを、

$S= \int dt L$

と書き、作用と呼ぶ。ここで運動方程式を得るための原理として、 "運動方程式は、少しだけq, $\dot q$ を変化させたとしても、作用が変化しないような値を出すqと、 $\dot q$ の関係によって与えられる。" ということを要求する。 (この原理は量子力学の経路積分によって正当化される。)

このとき、qと $\dot q$ を変化させたときの実際の作用の変化を計算すると、

$\begin{matrix} \delta S = \int dt \delta L\\ = \int dt \frac {\partial L}{\partial q } \delta q+ \frac {\partial L}{\partial {\dot q} } \delta \dot q\\ = \int dt \frac {\partial L}{\partial q } \delta q- \frac {\partial {}}{\partial t }\frac {\partial L}{\partial {\dot q} } \delta q\\ = \int dt (\frac {\partial L}{\partial q } - \frac {\partial {}}{\partial t }\frac {\partial L}{\partial {\dot q} }) \delta q\\ \end{matrix}$

ここで、2から3行目では、部分積分によって

$\begin{matrix} \int \delta\dot q f(q) = [\delta q f(q) ] _{t _i}^{t _f}- \int \delta q \frac {\partial {}}{\partial t } f(q)\\ = - \int \delta q \frac {\partial {}}{\partial t } f(q) \end{matrix}$

とした。右辺で部分積分ででてくる項を消すために、 "q, $\dot q$ は積分範囲の両端である $t = t i, t = t f$ では変化しない" という要請を加えた。 (この要請を外すと別の値が出て来て、ある場合には便利になるようである。 )

最小作用の原理によると、このときに $δ S = 0$ でなくてはならない。 $δ q$ の値に関わらず $δ S = 0$ が成り立つためには、

$\frac {\partial L}{\partial q } - \frac {\partial {}}{\partial t }\frac {\partial L}{\partial {\dot q} }= 0$

が成り立つ必要がある。よって、この式が運動方程式となる。特にqが通常の座標xである時のことを考える。ここで、

$L = \frac 1 2 m \dot x^2$

とおくと、

$\frac {\partial L}{\partial q } - \frac {\partial {}}{\partial t }\frac {\partial L}{\partial {\dot q} }= 0$

の式は、

$m \ddot x = 0$

となり、通常の自由な粒子の運動方程式に一致する。ここで、

$\frac 1 2 m \dot x^2$

は粒子の運動エネルギーである。また、保存力の中で、特に物体の速度によらない力を受けて運動している粒子に対しては、その力によって得られる位置エネルギーをV(q)と表わすとき、

$L = T(\dot q) - V(q)$

とすると、(Tは物体の運動エネルギー)

$\frac {\partial L}{\partial q } - \frac {\partial {}}{\partial t }\frac {\partial L}{\partial {\dot q} }= 0$

の式は、

$m \ddot q = - \frac {\partial V}{\partial q }$

となるが、右辺は保存力に対する力を表わすのでこのときのラグランジアンは

$L = T(\dot q) - V(q)$

で与えられることが分かる。また、自由な角運動量に対するラグランジアンは

$L = \frac 1 2 I \omega^2$

によって与えられ、これは剛体の角運動量が持つ (慣性モーメントは剛体以外持つことが出来ないことに注意。) エネルギーを表わす。

[編集] 運動量、ハミルトニアンの定義

ラグランジアンを用いるとき、運動量pは $p =\frac {\partial L}{\partial {\dot q} }$ と定義される。実際自由な粒子に対しては、 $p = m \dot q$ が得られ、正しいことが分かる。速度に依存した力を考える場合、 pは必ずしも一般的な運動量と一致しない。

(電磁気力の場合の例)

このとき、ここで定義した運動量を一般化された運動量と呼んで通常の運動量と区別する。

Lはq, $\dot q$ を変数として用いる量である。しかし、それよりもq,pを変数として用いた方が便利なことがある。このような量をp, $\dot q$ の間のルジャンドル変換によって作ることが出来る。これをハミルトニアンHと呼び、 $H = \dot q p -L$ で定義する。特に $L=T(\dot q) - V(q)$ を満たす場合、 $H = T + V$ が得られ、Hは系の全エネルギーと一致する。この結果はエネルギー保存則の導出に用いられる。

[編集] 正準方程式

ハミルトニアン $H(\{q_i\},\{p_i\}) \,= T + V$ において

$\dot{p}_i=-\frac{\partial{}H}{\partial{}q_i}$

$\dot{q}_i=\frac{\partial{}H}{\partial{}p_i}$

が成り立つ。これを正準方程式という。

[編集] ポアッソン括弧

解析力学運動方程式の一般化

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目次

[編集] 運動方程式の一般化

[編集] ラグランジアン

[編集] 最小作用の原理

[編集] 運動量、ハミルトニアンの定義

[編集] 正準方程式

[編集] ポアッソン括弧

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