解析学基礎/多変数関数の微積分

偏微分

偏微分の定義

• xでの微分

二変数関数$f(x,y)$について、いったんx以外の変数を動かさず、変数xのみで微分したものを ${\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}$ と書き、これを$f$の偏導関数という。 つまり定義は

${\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}$

である。このように、多変数関数において、考えている変数（例の場合は$x$）以外をいったん動かさず、一つの変数だけの関数とみて微分することを偏微分（へんびぶん、英：partial differentiation）という。

(なお、$\partial {}$の読みは「ラウンドディー」と読み、${\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}$は「ラウンドディーエフ・ラウンドディーエックス」などと読む。)

具体例として二変数関数 $f(x,y)=x^{5}y^{3}$ の微分を考える。この関数を変数$x$について偏微分すると ${\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}=(x^{5})^{\prime }y^{3}=(5x^{4})y^{3}=5x^{4}y^{3}$ となり、つまり、

${\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}=5x^{4}y^{3}$

偏導関数${\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}=5x^{4}y^{3}$ も二変数関数であることに注意しよう。

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• yでの微分

同様にy以外の変数を動かさず、二変数関数$f(x,y)$を変数$y$のみで微分したものを ${\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}$ と書く。 つまり

${\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}$

である。

例の$f(x,y)=x^{5}y^{3}$ の場合、変数yでの偏微分は ${\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}=x^{5}(y^{3})^{\prime }=3x^{5}y^{2}$ となる。

もちろん、${\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}=3x^{5}y^{2}$ は二変数関数である。

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高階の偏微分

さらに、${\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}$ や ${\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}$ を偏微分することを考えよう。 ${\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}$を、さらに$x$で偏微分したものは${\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left({\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\right)$ と書くか、あるいは ${\frac {\partial ^{2}{f}}{\partial {x}^{2}}}$ と書く。

$f(x,y)=x^{5}y^{3}$ の場合、

計算すると、${\frac {\partial {}}{\partial {x}}}(5x^{4}y^{3})=5\cdot 4x^{3}y^{3}=20x^{2}y^{3}$

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同様に、${\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left({\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\right)$ とは、${\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}$ を 変数$y$ で偏微分したものである。　${\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left({\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\right)$ のことを ${\frac {\partial ^{2}{f}}{\partial {y}\partial {x}}}$ とも書く。

やはり先ほどの例について計算すると、

${\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left({\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\right)={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}(5x^{4}y^{3})=5x^{4}(y^{3})^{\prime }=5x^{4}(3y^{2})=15x^{4}y^{2}$

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いっぽう、偏微分の順序を交換した ${\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left({\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}\right)$ についても先ほどの例で計算すると、

${\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left({\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}\right)={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}(3x^{5}y^{2})=3y^{2}{\frac {\partial {(x^{5})}}{\partial {x}}}=3y^{2}(5x^{4})=15x^{4}y^{2}$

となり、 よって

${\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left({\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}\right)={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left({\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}\right)$

となる。このように、応用上重要になるような「まともな」関数の場合、高階の偏微分の順序を交換しても、結果は変わらない。したがって、記号で書くときの変数の順序には無頓着でも構わない。

• まともでない例

$f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}$

とすると、$f(x,0)=f(0,y)=0$なので、${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)={\frac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=0$である。

一方、$(x,y)\neq (0,0)$のとき、

${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {y(x^{4}+4x^{2}y^{2}-y^{4})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {x(x^{4}-4x^{2}y^{2}-y^{4})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

なので、

${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,y)=-y,\ {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,0)=x$

である。

したがって、

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)(0,0)=\lim _{h\to 0}{\frac {h-0}{h}}=1$

${\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(0,0)=\lim _{h\to 0}{\frac {-h-0}{h}}=-1$

である。

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定理

f(x,y)が点(a,b)にてf_xy(x,y)とf_yx(x,y)がともに連続ならば、

f_xy(a,b)＝f_yx(a,b)

証明の導入

まず、f_xy(a,b)とは、定義にしたがうと

$f_{xy}(a,b)={\frac {\partial {f_{x}}}{\partial {y}}}=\lim _{k\rightarrow 0}{\frac {f_{x}(a,b+k)-f_{x}(a,b)}{k}}=\lim _{k\rightarrow 0}{\frac {\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h}}-\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h}}}{k}}$

$=\lim _{k\rightarrow 0}\{\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}{h}}-{\frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h}}}{k}}\}=\lim _{k\rightarrow 0}\{\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)\}-\{f(a+h,b)-f(a,b)\}}{hk}}\}$

$=\lim _{k\rightarrow 0}\{\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h,b+k)-f(a,b+k)-f(a+h,b)+f(a,b)}{hk}}\}$

であり、同様に、f_yx(a,b)とは、定義にしたがうと

$f_{yx}(a,b)={\frac {\partial {f_{y}}}{\partial {x}}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f_{y}(a+h,b)-f_{y}(a,b)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\lim _{k\rightarrow 0}{\frac {f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k}}-\lim _{k\rightarrow 0}{\frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k}}}{h}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}\lim _{k\rightarrow 0}{\frac {{\frac {f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k}}-{\frac {f(a,b+k)-f(a,b)}{k}}}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}\lim _{k\rightarrow 0}{\frac {\{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)\}-\{f(a,b+k)-f(a,b)\}}{hk}}$

$=\lim _{k\rightarrow 0}\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b)}{hk}}=\lim _{k\rightarrow 0}\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h,b+k)-f(a,b+k)-f(a+h,b)+f(a,b)}{hk}}$

なので、結局は、式 ${\frac {f(a+h,b+k)-f(a,b+k)-f(a+h,b)+f(a,b)}{hk}}$ における $\lim _{k\rightarrow 0}$ と$\lim _{h\rightarrow 0}$ の交換を証明するのが、この定理である。

証明

やや天下り的だが、 F＝f(a+h,b+k)ーf(a,b+k)ーf(a+h,b)+f(a,b) と置く。

F＝f(a+h,b+k)ーf(a,b+k)ーf(a+h,b)+f(a,b)

＝{ f(a+h,b+k)-f(a+h,b) } - { f(a,b+k)-f(a,b) } ＝ { f(a+h,b+k)-f(a,b+k) } - { f(a+h,b)-f(a,b) }

である。技巧的だが、上式2段目の2つの式の第2項を参考にそれぞれ、

f(x,b+k)ーf(x,b) ＝ φ(x)

f(a+h,y)ーf(a,y) ＝ ψ(y)

と定義する。

すると、

F ＝ φ(a+h)ーφ(a) ＝ ψ(b+k)ーψ(b)

というふうに、Fを1変数関数に置き換えられるので、1変数における平均値の定理が適用できるようになる。

さて、1変数における平均値の定理を適用すると、

F ＝ φ(a+h)ーφ(a) ＝ h φ^’(a＋θ₁h)

なお、 0 ＜ θ₁ ＜ 1 である。

と書ける。

φ^’(x) とは、f(x,b+k)-f(x,b) ＝ φ(x) の定義より意味的に考えて、 φ^’(x) ＝f_x(x,b+k)ーf_x(x,b) である。

なので

F ＝ φ(a+h)ーφ(a) ＝ h φ^’(a＋θ₁h) ＝ h { f_x(a＋θ₁h,b+k)ーf_x(a＋θ₁h,b) }

今度は、 f_x(a＋θ₁h,b+k)ーf_x(a＋θ₁h,b) を y(またはb)の関数と考えると、

F ＝ φ(a+h)ーφ(a) ＝ h φ^’(a＋θ₁h) ＝ h { f_x(a＋θ₁h,b+k)ーf_x(a＋θ₁h,b) } ＝ hk f_xy(a＋θ₁h,b+θ₂k)

いっぽう

F ＝ ψ(b+k)ーψ(b)

と表した場合も、同様の式変形によって、またψ^’(y)＝f_y(a+h,y)-f_y(a,y) をもちいて、

F ＝ ψ(b+k)ーψ(b) ＝ k ψ^’(b＋θ₃k) ＝ k { f_y(a＋h,b+θ₃k)ーf_y(a,b+θ₃k) } ＝ hk f_xy(a＋θ₄h,b+θ₃k)

さて、

F＝hk f_xy(a＋θ₁h,b+θ₂k) ＝hk f_xy(a＋θ₄h,b+θ₃k)

なので、よって

f_xy(a＋θ₁h,b+θ₂k) ＝f_xy(a＋θ₄h,b+θ₃k)

この式について、 $\lim _{k\rightarrow 0}$ と$\lim _{h\rightarrow 0}$ の極限をとれば、hとkのどちらを先に0にしようが、

f_xy(a,b) ＝f_xy(a,b)

となる。（証明終わり）

• 参考文献

証明の導入の参考として、

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henbibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/henbibun/henbibun-junnjokoukan.html （金沢工業大学 KIT数学ナビゲーション『偏微分の順序交換』） 、サイト確認日:2016年7月23日

証明中の数式の記法の参考として、

サイエンス社『微分積分概論［新訂版］』、高橋泰嗣　加藤幹雄、2013年11月10日発行、新訂第一版、

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重積分と線積分

重積分のイメージ

ここでは、多変数関数の積分について解説する。厳密な説明は煩雑な数式を要するので後に回して、まずは証明は抜きに定義と定理の大まかなイメージについて説明し、計算例を見る。

まず、1変数関数の積分について復習する。1変数関数の積分は、大まかに言えば次のような概念だった。直線（x軸）の一部である区間Iと、I上で定義された関数fを考える。簡単のためfは正の値を取るとする。このとき、$\{(x,y)|y=f(x)\}$はxy平面内の曲線を表し、関数fのグラフと呼ばれる。このグラフ$y=f(x)$とx軸で挟まれた部分$\{(x,y)|x\in I,0\leq y\leq f(x)\}$の面積を求めるのが定積分$\int _{I}f(x)dx$である。その厳密な定義は、領域を細長い長方形に分割して足し合わせると、長方形の幅を十分小さくしたときその面積の和は分割のしかたによらないことを示し、その和（リーマン和という）の極限値として定めるのだった。

これに対して2変数関数の重積分とは、大まかに言えば次のような概念である。平面（xy平面）の一部である領域Dと、D上で定義された関数fを考える。簡単のためfは正の値を取るとする。このとき、$\{(x,y,z)|z=f(x,y)\}$はxyz空間内の曲面を表し、関数fのグラフと呼ばれる。このグラフ$z=f(x,y)$とxy平面で挟まれた部分$\{(x,y,z)|(x,y)\in D,0\leq z\leq f(x,y)\}$の体積を求めるのが重積分$\int _{D}f(x,y)dxdy$である。その厳密な定義は、立体を細長い直方体に分割して足し合わせると、直方体の底面積を十分小さくしたときその体積の和は分割のしかたによらないことを示し、その和（リーマン和という）の極限値として定めるのである。

リーマン和の極限は分割のしかたによらないことを証明していないことはともかくとして、大まかな概念はつかめたと思う。しかし、この定義だけでは具体的な関数についての計算はできそうにない。具体的な計算には、次の定理が役に立つ。

定理（縦線領域の逐次積分）　$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,\ p(x)\leq y\leq q(x)\}$のとき、

$\int _{D}f(x,y)dxdy=\int _{a}^{b}\left(\int _{p(x)}^{q(x)}f(x,y)dy\right)dx$

証明の代わりに定理のイメージを説明する。$a\leq c\leq b$を満たすcについて、領域Dと直線$x=c$の共通部分をIとする。このとき、立体を平面$x=c$で切った「断面」$\{(x,y,z)|(x,y)\in I,0\leq z\leq f(x,y)\}$の面積は$\int _{p(c)}^{q(c)}f(c,y)dy$で与えられる。この面積をx軸方向に積分することで立体の体積が得られる。

この定理を使って、球の体積を計算してみよう。$\{(x,y,z)|x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$は半径1の球面を表す。この球面の「上半分」は$\left\{(x,y,z)|z={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}\right\}$なので、半径1の半球の体積Vは$D=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq 1\}$とすると

$V=\int _{D}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}dxdy$

で与えられる。逐次積分の公式を使うと、

${\begin{aligned}V&=\int _{-1}^{1}\left(\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}dy\right)dx\\&=\int _{-1}^{1}\left[y{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}+(1-x^{2})\arcsin {\frac {y}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right]_{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\frac {\pi }{2}}(1-x^{2})dx\\&=\pi \left[x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}\\&={\frac {2}{3}}\pi \end{aligned}}$

である。

変数変換公式

上の節でみた球の体積の計算のような場合には、実は直交座標ではなく極座標を用いた方が便利である。このような座標の変換を行う場合には、1変数関数の積分の場合には置換積分の公式があり、たとえば$x=x(u)$で定まる変数uを用いると

$\int _{I}f(x)dx=\int _{I'}f(x(u)){\frac {dx}{du}}du$

と計算できるのだった。2変数の場合には、積分の変数変換の公式は次のようになる。

定理（変数変換公式） $x=x(u,v),y=y(u,v)$とするとき、行列 $J(u,v)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}\end{pmatrix}}$ を考える。このとき、

$\int _{D}f(x,y)dxdy=\int _{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv$

である。ただし、$|J(u,v)|$は行列式を表す。

これもまずは証明は抜きにして、極座標の場合の計算をしてみよう。直交座標と極座標の変換は$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$であるから、

$|J(u,v)|={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )=r$

である。これを用いて再び半球の体積を計算すると、

${\begin{aligned}V&=\int _{D}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}dxdy\\&=\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{1}r{\sqrt {1-r^{2}}}dr\right)d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left[-{\frac {1}{3}}(1-r^{2})^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{1}d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{3}}d\theta \\&={\frac {2}{3}}\pi \end{aligned}}$

である。先ほどよりも簡単な計算になったことが分かる。

線積分とグリーンの定理

2つの2変数関数の組$(u(x,y),v(x,y))$と、パラメタ表示された滑らかな曲線$C:x=x(t),y=y(t)(0\leq t\leq 1)$があるとき、次の（1変数関数の）定積分の値をCに沿った線積分という。

$\int _{0}^{1}\left(u(x(t),y(t)){\frac {dx}{dt}}+v(x(t),y(t)){\frac {dy}{dt}}\right)dt$

この積分を、

$\int _{C}(u(x,y)dx+v(x,y)dy)$

という記号で表す。

$(x(0),y(0))=(x(1),y(1))$かつ$t\mapsto (x(t),y(t))$が半開区間[0,1)上で単射なとき、Cは単純閉曲線であるという。単純閉曲線は平面の一部のある有界領域を囲む境界線となっている。単純閉曲線に沿った線積分とその内部の領域での重積分の間に、次のような関係式が成り立つことが知られている。

定理（グリーンの定理） Cは単純閉曲線で、Cで囲まれる有界の領域をDとするとき、Dで定義される連続微分可能な関数$u(x,y),v(x,y)$に対して、

$\int _{C}(u(x,y)dx+v(x,y)dy)=\int _{D}\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)dxdy$

である。ただしCはDの境界線を反時計回りに進むものとする。

グリーンの定理の適用例と適用できない例をあげる。

例（面積） $u(x,y)=-y,v(x,y)=x$とすると$-{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=2$である。 一方、重積分$\int _{D}dxdy$は領域Dの面積を表す。よって、グリーンの定理より

${\frac {1}{2}}\int _{C}(-ydx+xdy)$

は単純閉曲線Cで囲まれる有界領域の面積を表す。たとえば、$C:x=\cos 2\pi t,y=\sin 2\pi t$（単位円周）とすると

${\frac {1}{2}}\int _{C}(-ydx+xdy)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}(-\sin 2\pi t(-2\pi \sin 2\pi t)+\cos 2\pi t(2\pi \cos 2\pi t))dt=\pi \int _{0}^{1}dt=\pi$

は単位円板Dの面積である。

例（領域D内で定義されない点がある） $u(x,y)=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},v(x,y)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}$とすると$-{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {x^{2}+y^{2}-2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}+{\frac {x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=0$であるから、任意の領域Dについて$\int _{D}\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)dxdy=0$である。ところが、$C:x=\cos 2\pi t,y=\sin 2\pi t$（単位円周）とすると

$\int _{C}{\frac {-ydx+xdy}{x^{2}+y^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {-\sin 2\pi t(-2\pi \sin 2\pi t)+\cos 2\pi t(2\pi \cos 2\pi t)}{\cos ^{2}2\pi t+\sin ^{2}2\pi t}}dt=2\pi \int _{0}^{1}dt=2\pi$

である。