電気回路理論/オームの法則

回路中の抵抗Rとその両端にかかる電圧v、および抵抗を流れる電流iについて

$v = Ri$

の関係が成り立ち、これをオームの法則(Ohm's law)と呼ぶ。

直列合成抵抗

抵抗が複数接続されている場合、その複数の抵抗をまとめてあたかも1つの抵抗が接続されているかのような等価的な回路を考えることができる。複数の抵抗と等価な1つの抵抗を合成抵抗という。

直列抵抗

抵抗がn個直列に接続されている場合を考える。抵抗$R_1, R_2, \cdots, R_n$が直列に接続されている場合、各抵抗を流れる電流は等しく、これをiとする。各抵抗$R_k (k = 1, 2, \cdots, n)$にかかる電圧を$v_k$とすると、オームの法則より

$v_k = R_ki (k = 1, 2, \cdots, n)$

が成り立つ。このとき直列抵抗の両端の電圧vは、

$v = \sum_{k=1}^n v_k = \sum_{k=1}^n R_k i = i\sum_{k=1}^n R_k$

である。これと等価な抵抗Rが1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、

$v = Ri$

が成り立つから、したがってこれらのn個の直列抵抗の合成抵抗Rとして

$R = \sum_{k=1}^n R_k$

を得る。すなわち、直列合成抵抗は各抵抗の総和となる。

並列合成抵抗

並列抵抗

同様に、抵抗がn個並列に接続されている場合を考える。抵抗$R_1, R_2, \cdots, R_n$が並列に接続されている場合、各抵抗の両端の電圧は等しく、これをvとする。各抵抗$R_k (k = 1, 2, \cdots, n)$を流れる電流を$i_k$とすると、オームの法則より

$v = R_ki_k (k = 1, 2, \cdots, n)$

が成り立つ。このとき並列抵抗へ流れ込む電流iは、

$i = \sum_{k=1}^n i_k = \sum_{k=1}^n \frac{v}{R_k} = v\sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k}$

である。これと等価な抵抗Rが1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、

$v = Ri$

が成り立つから、したがってこれらのn個の並列抵抗の合成抵抗Rとして

$\frac{1}{R} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k}$

を得る。すなわち、並列合成抵抗の逆数は各抵抗の逆数の総和となる。

並列抵抗の場合は、抵抗の代わりにコンダクタンスを用いると見通しがよい。コンダクタンス$G_1, G_2, \cdots, G_n$の抵抗が並列に接続されている場合、これは抵抗$R_k$の逆数であることに注意すれば、合成コンダクタンスGは

$G = \sum_{k=1}^n G_k$

となる。並列合成コンダクタンスは各コンダクタンスの総和である。