中学数学1年 空間図形
小学校では直方体・立方体・円柱の勉強をしてきましたが、空間図形（くうかんずけい）には他にもさまざまなものがあります。ここではそれらの性質について学習しましょう。
様々な立体編
[編集]錐体
[編集]底面が1つだけで、底面の各頂点から出る辺が全て1点で交わる立体を錐（すい）あるいは錐体（すいたい）といいます。たとえば、角錐（かくすい）や円錐（えんすい）があります。「錐」という漢字は、木材に穴を開けるために使う「きり」を意味する漢字です。きりのように先が尖った（とがった）立体なので錐体といいます。
角錐
[編集]底面が三角形の錐体を三角錐（さんかくすい）といい、底面が四角形の錐体を四角錐（しかくすい）、…などといいます。 角錐の底面の形が、たとえ三角形でも四角形でも五角形でも、角錐の側面の形は必ず三角形です。
円錐
[編集]底面が円である円錐の側面を切り開くと扇形（おうぎがた）になります。
多面体
[編集]いくつかの平面で囲まれている図形を 多面体（ためんたい） といいます。面の数によって、面が4個なら四面体（しめんたい）といい、面が5個なら五面体（ごめんたい）と言います。
正多面体
[編集]全ての面が合同な正多角形で、1つの頂点に集まる面の数が全て同じ多面体を 正多面体（せいためんたい） といいます。以下の5種類があります。この5種類以外にはありません。
- 正四面体
同じ大きさの正三角形が4個集まってできた立体です。三角錐のうちの、すべての辺の長さが等しいものでもあります。
- 正六面体
同じ大きさの正方形が6個集まってできた立体です。立方体ともいいます。
- 正八面体
同じ大きさの正三角形が8個集まってできた立体です。すべての辺の長さが等しい正四角錐2つの底面をぴったりと重ねたものです。
- 正十二面体
同じ大きさの正五角形が12個集まってできた立体です。
- 正二十面体
同じ大きさの正三角形が20個集まってできた立体です。
| 名前 | 面の形 | 頂点に集まる面の数 | 頂点の数 | 辺の数 |
|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 正三角形 | 3 | 4 | 6 |
| 正六面体（立方体） | 正方形 | 3 | 8 | 12 |
| 正八面体 | 正三角形 | 4 | 6 | 12 |
| 正十二面体 | 正五角形 | 3 | 20 | 30 |
| 正二十面体 | 正三角形 | 5 | 12 | 30 |
正多面体は合同な正多角体が1つの頂点に同じ数ずつ集まったものです。
まず、正三角形を1つの頂点に同じ数ずつ集めた立体を考えよう。
正三角形を1つの頂点に2つずつ集めても立体にはならない。
正三角形を1つの頂点に3つずつ集めると正四面体になる。
正三角形を1つの頂点に4つずつ集めると正八面体になる。
正三角形を1つの頂点に5つずつ集めると正二十面体になる。
正三角形を1つの頂点に6つずつ集めると、平面になってしまい、立体にならない。（正三角形の1つの角は60°だが、6つ集めると360°になり、平面になる。）
正三角形を1つの頂点に7つ以上集めると、平面どころか、正三角形が重なってしまう。
次は正方形。
正方形を1つの頂点に2つずつ集めても立体にはならない。
正方形を1つの頂点に3つずつ集めると正六面体になる。
正方形を1つの頂点に4つずつ集めると、平面になってしまい、立体にならない。（正方形の1つの角は90°だが、4つ集めると360°になり、平面になる。）
正方形を1つの頂点に5つ以上集めると、平面どころか、正方形が重なってしまう。
今度は正五角形。
正五角形を1つの頂点に2つずつ集めても立体にはならない。
正五角形を1つの頂点に3つずつ集めると正十二面体になる。
正五角形を1つの頂点に4つ以上集めると、平面どころか、正五角形が重なってしまう。（正五角形の1つの角は108°だが、4つ集めると432°になり、360°より大きくなる。）
そして正六角形。
正六角形を1つの頂点に2つずつ集めても立体にはならない。
正六角形を1つの頂点に3つずつ集めると、平面になってしまい、立体にならない。（正六角形の1つの角は120°だが、3つ集めると360°になり、平面になる。）
正六角形を1つの頂点に4つ以上集めると、平面どころか、正六角形が重なってしまう。
これ以降は、正多面体ができない。
このように考えると、正多面体は、ここで挙げた5種類しかないことがわかる。
立体の見方
[編集]立体を普通に見えるように描いた図を 見取り図（みとりず） と言い、立体の面をダンボールの箱を崩すように開いて平面にしたものを 展開図(てんかいず) と言います。四角錐の展開図を書いてみましょう。底面が四角形で、側面が三角形ですから、中心が四角形で、四角形の各辺に三角形の底辺がくっついた図を書けばいいのです。
角柱や円柱は、1つの多角形や円を、その面に垂直な方向に積み重ねてできた立体と考えられます。
平面を回転させたとき、その通り道の全体となるような立体を 回転体（かいてんたい） といい、そのときの軸を 回転の軸（かいてんのじく） といいます。たとえば、二等辺三角形、長方形、円はすべて線対称な平面図形ですが、それぞれ対称軸を回転の軸として回転させると、円錐、円柱、球ができます。ですから、円錐、円柱、球はすべて回転体です。
平面や直線の位置関係
[編集]空間にある二直線の位置関係
[編集]平らに限りなく広がっている面を、平面（へいめん）と言います。空間に直線ABと、AB上にない点Cがあるとき、ABCをすべて通る平面はただひとつあります。
空間にある2本の直線ℓの位置関係は、かならず次の3通りのうちの、どれか1つになる。（※ 図では補助的に平面を追加してあるが、しかし平面と直線の位置関係は、この話題では考えてない。）
また、同じ空間内にある2本の直線が、交わらず、平行でもないとき、その2直線は、ねじれの位置にある、と言います。
空間にある直線と平面の位置関係
[編集]空間にある1本の直線ℓと1枚の平面Pの位置関係は、かならず次の3通りのうちの、どれか1つになる。
直線ℓと平面Pが交わらないとき、直線ℓと平面Pは平行であるといい
- ℓ//P
と書く。
直線ℓが平面と交わり、ℓが平面との交点Aを通るP内のほかのどの直線にとも垂直であるならば、 直線ℓは平面Pに垂直である といい、
- ℓ⊥P
であらわす。 また、直線ℓを平面Pの 垂線 （すいせん）という。
ある線mが平面P内の二直線と垂直であることを確認できれば、その線mは平面Pと垂直である。
- 点と平面の距離
ある点と平面の距離は、右図のように、その点から平面に向かって線を垂直になるように、まっすぐにおろした線分の長さである。
右図の場合、線分AHの長さのことを 点Aと平面Pの距離という。
図のように、線AHと平面Pは垂直なので、
- AH⊥P
とあらわせる。
また、線分AHの長さは、点Aと平面P上のほかのどの点をむすぶ長さよりも短い。
- ※ 図中に「H」とあるが、点と平面との距離にかぎらず、一般にある垂線とほかの線や面との交点をあらわすのに、慣習的によく「H」という文字を使うことも多い。べつにHで書かなくてもよく、BやCなど他の文字でもいい。
二平面の位置関係
[編集]二つの平面がある場合には、かならず下図の二通りのうちのどちらかになる。
(イ)のように、平面Pと平面Qが交わらないとき、平面PとQは平行である といい、
- P//Q
で表す。
PとQが交わるときは、その交わりはかならず直線である。PとQが交わる部分の直線のことを 交線 （こうせん）という。
- 例
平行な2平面に別の平面が交わってできる2本の交線どうしは、平行である。
つまり、右図の場合、
- P//Q ならば l//m
である。
平面Pと平面Qがあって、平面Qに垂直な線
を平面Pがふくんでいるとき、平面Pと平面Qは垂直であるといい,
- P⊥Q
であらわす。
平面Pと平面Qが平行のとき（P//Q）、右図にのように、二平面の間の距離は、平面上のどの点を取っても一定である。右図の場合、どの点を取っても、線分ABの長さと同じになる。
この距離を、二平面P,Q間の距離 （きょり）という。
面積
[編集]立体の表面の面積を表面積（ひょうめんせき）といい、側面の面積を側面積（そくめんせき）といい、底面の面積を底面積（ていめんせき）といいます。
体積
[編集]角柱または円柱の底面積をS、高さをh、体積をVとすると、
と表わされます。
また、錐体の体積は、
と表されます。
投影図
[編集]
立体を1つの方向から見て平面に表した図を投影図（とうえいず）といい、上から見た投影図を平面図（へいめんず）といい、正面から見た投影図を立面図（りつめんず）という。
立体を投影図で表すときには、平面図と立面図を使って表すことが多い。
平面図と立面図とだけでは、その立体の形がよくわからないこともある。このようなときは、横から見た図をつけ加えて表すこともある。