中学数学2年 1次関数

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関数の基礎※中1の範囲

まず、関数（かんすう）とはどういうものなのかというと、2つの変数 $x,y$があって、$x$の値を決めると、それに対応する$y$の値が1つだけ決まるとき、この関係を $y$は$x$の関数である という。

関数とは

たとえば、一日の気温の変化を1時間ごとに観測した折れ線グラフを考えよう。このとき、xを時刻、yを気温とすれば、xの値を決めるとそれに対応するyの値が1つだけ決まる。

このように、xの値を決めるとそれに対応するyの値が1つだけ決まる場合、2数xとyの関係をyはxの関数であるあるいはxの関数yという。

関数とは何かについて、さきほど「xの値を決めるとそれに対応するyの値が1つだけ決まる」と説明したが、実はこの決まりさえ守れば、yがxを計算して求めることができなくても、yはxの関数である。（たとえば、気温の値yは、時刻xから計算して求めることはできない。）

このように「xの値を決めるとそれに対応するyの値が1つだけ決まる」とだけ関数の要件を決めておくことにより、xの文字式であらわせないものであっても、必要に応じて関数として利用できるので、活用しやすくなる。

また、この気温の折れ線グラフの例からも分かるように、関数は折れ線であってもいいし、yの値がxの文字式であらわせなくてもいい。ただし、中学校で学ぶ関数のほとんどは、yの値がxの文字式で表され、xの値を文字式に代入することで、対応するyの値を計算して求めることができるような関数を扱う。この文字式を、関数の関係式と呼ぶ。そして中学数学では、関係式の持つ形によって関数を分類し、それぞれの特徴について学習する。

関数のうち、正比例や反比例などの比例関係は、小学校ではxの値の変化に伴うyの値の挙動で捉えたが、中学数学ではそれぞれの持つ関係式の形によって理解する。

なお、中学二年で習う「一次関数」とは、yの値がxの一次式で表せる場合である。

関数の変域

気温の折れ線グラフでは、気温を測定してない時間帯には、当然、関数が存在しない。

たとえば、その日の朝6時から夕方5時まで気温を測定したら、そのあいだの時間だけが、関数の値が存在する時間帯である。

この、気温グラフで気温測定した時間帯のように、関数の値が存在する変数の領域のことを変域(へんいき)という。

なお、関係式を持つ関数にも、変域が考えられる場合がある。

たとえば、反比例の式の関数

$y={\frac {1}{x}}$

では、x＝0 は、変域から除いて考える(どんな数も0では割れない)。

一次式であらわせる式でも、文章題などの応用問題では変域が存在する。 たとえば

窓があります。窓の高さは90 cmとします。窓を x cmあけたときの、あけられた部分の面積 y （単位はcm2とする）は、いくらでしょうか？

という問題では、

$y=90x$

と式で表せるが、 窓のあけられた長さを0よりも小さくはできないし、窓の可動範囲までしか窓を開けないので、xに上限も存在する。

さいごに

中学1年で習う『関数』の単元は入門的な内容であるが、それまで小学算数では変数の値の変化のようすとして捉えていた「比例」や「反比例」を関係式を使って捉え、対応表やグラフで表すことを学び、関係式に現れる比例定数の値と変化のようすの関連づけたり、負数の領域も含めた変化のようすやその意味付けを理解するなど、後の学年で学ぶ様々な関数の扱い方の基礎を学ぶ意味で、たいへん重要である。

最終的に、読者が中学高校の数学で習う関数の理論は、yがxの一次式、二次式、あるいはそれより高次の関係式で表されたり、xの値がどの領域にあるかによって複数の関係式を使い分けたり、yの値の変化をxの多項式によらず、新たな関数として定義したりする考え方をあつかう理論である。

※ 下記から中2の範囲

一次関数

一次関数とは？

xとyの関係を式で表したときに、$y=2x$ とか、$y=4x+3$などのようにyの値がxの一次式の値で表せるとき、yはxの一次関数(いちじ かんすう)である、という。

xの一次関数y は一般に、

$y=ax+b$（$a\neq 0$、$a,b$ は定数）

という式で表される。

そして一次関数の関係式 $y=ax+b$ に現れる定数 $a$ をxの係数(けいすう)といい、$b$ を 定数項(ていすうこう)という。

xの係数$a$は、xの値が増加することによって、yの値がxの増加量の何倍増えるのかを表しており、これを一次関数の変化の割合(へんか の わりあい)と呼ぶ。この値はyの増加量を対応するxの増加量で割って得た割合に等しく、またxが+1だけ増加する際にyの値がどれだけ変化するかを表している。定数$a$が正の値であれば、yの値はxの増加にともなって増加するためグラフは右上がりになり、負の値であれば、yの値はxの増加にともなって減少するためグラフは右下がりとなる。グラフがどちらの向きに、どれだけの傾き具合になるか、定数$a$の値に従うため、定数$a$をグラフの傾き(かたむき)とよぶ。

一次関数の関係式に現れる定数項 $b$ は、$x=0$ に対応するyの値に他ならない。これを一次関数の初期値(しょきち)と呼ぶ。関数のグラフを描くとき、 グラフは $y=b$ でy軸を横切る。そこで定数$b$のことを、y軸上の切片(せっぺん) あるいは単に y切片(わい せっぺん)とよぶ。中学数学で切片といえばy切片のことを指すが、将来的にはx切片やz切片も考えられるので注意しよう。

ここで特に、$b=0$ のとき、この場合の一次関数の関係式は

$y=ax$

となり、これは比例の式に他ならない。そこで比例は、一次関数 $y=ax+b$ において、$b=0$ となった場合である、一次関数の特殊な例だと考えられる。一次関数 $y=ax+b$ のグラフの傾きは、比例 $y=ax$ の傾きと等しく、両者のグラフは平行線を描く。一次関数 $y=ax+b$ のグラフは、比例 $y=ax$ のグラフを y軸正の向きに$b$ だけ平行移動したものとなる。

一方、反比例の場合、一般式は

$y={\frac {a}{x}}$

であり、これはyがxの一次式で表されていないから、一次関数の一種とは考えられない。

一次関数のグラフ

1次関数 $y$=2x+3のグラフ

一次関数のグラフがどんなものか考えてみよう。

問題
     $y=2x+3$ のグラフを書きなさい。

グラフを書くために、まずは$x$ の値に応じて$y$ の値がどう変化するのか調べる。対応表を書いて調べると、

$x$	……	-3	-2	-1	0	1	2	3	……
$y$	……	-3	-1	1	3	5	7	9	……

これをグラフ用紙の上にとっていくと、全ての点は直線に乗っていることがわかる。xの値をもっと細かく、連続的に変化させると、グラフはひとつながりの線となって、直線を描く。

まず、$y$ 軸とは(0,3)で交わっている。

なお、この例からも分かるように、

一次関数$y=ax+b$の定数項 b は、グラフで考えたさいの一次関数の直線とy軸との交点のy座標である。

また、グラフの傾きから分かるように、$y=ax$ の傾きと同じである。つまり、一次関数 $y=ax+b$ と $y=ax$ とは平行である。

つまり、

一次関数 $y=ax+b$ のグラフは、原点を通る直線$y=ax$の傾きと平行で、切片の座標(0,b)を通る直線である。

と言える。 または、

一次関数 $y=ax+b$ のグラフは、原点を通る直線のグラフ $y=ax$をy軸の正の向きに bだけ移動した直線である。

とも言える。

また、右図のように、傾きの数aだけ、xが1増えたときにyもa増える。

関数において、xの値(定義域)が変化したとき、yの値(値域)も変化しますが、このときyの変化量をxの変化量で割ったものを変化の割合といいます。一次関数$y=ax+b$において、変化の割合は$a$(直線の傾き)となります。 たとえば、一次関数$y=3x+1$において、xの値が-2から5まで変化したとき、yの値はx=-2のとき-5で、x=5のとき、y=16なので、yの値は-5から16となる。よってxの変化量は7で、yの変化量は21なので、変化の割合は${\frac {21}{7}}=3$となります。これは、この一次関数の傾きと等しいですね。

※ 範囲外: なぜ「関数」という概念が必要か？

※ 範囲外: なぜ「関数」という概念が必要か？

なぜ、「比例」という概念をそのまま使わずに、わざわざ「一次関数」という概念を用いるのだろう？

まず、上述したように、気温のグラフなど比例であらわせないグラフも関数であるので、「関数」という考えかたは必要である。

二次関数のグラフ

それとは別に、読者は「一次関数」という名前から予想すると思うが、じつは数学には「二次関数」や「三次関数」という関数もある。（※ 「二次関数」以降の計算式を習う学年は高校なので（2017年現在では）、中学生はまだ覚えなくていい。）

なお、二次関数の一般式は

$f(x)=ax^{2}+bx+c\quad (a\neq 0)$

である。

二次関数の式やグラフからも分かるように、二次関数はもはや比例式ではない。

高校では、数学や理科などで、二次関数のように、比例的でない関数がたくさん登場する。

二次関数の計算は、高校生ですら、なかなか難しい。中学生は、まず一次関数の性質と計算法を勉強する必要がある。

右の二次関数のグラフを見れば分かるように、曲がっている図形をあらわす場合、二次関数を使うことになる場合もある。

方程式と関数

2元1次方程式の解が形作る図形

2つの文字x , yを含む2元1次方程式 $x+2y=2$ を考える。

この方程式の表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	-3	-2	-1	0	1	2	3	$\cdots$
$y$	$\cdots$	${\frac {5}{2}}$	2	${\frac {3}{2}}$	1	${\frac {1}{2}}$	0	$-{\frac {1}{2}}$	$\cdots$

$x+2y=2$ を成り立たせるx , yの値の組は無数にある。この x , y の値の組を座標とする点を座標平面上にとると、その点が形作る図形は、直線になっており、ちょうど一次関数のグラフと同じ形になっている。

また、$x+2y=2$ をyについて解くと $y=-{\frac {1}{2}}x+1$ となり、一次関数の関係式と同じ形になっていることからも、方程式の解が形作る図形は、一次関数のグラフの形と同じ直線であることが分かる。

よって、方程式 $x+2y-2=0$ の解が成す図形は、傾きが$-{\frac {1}{2}}$、切片が1の直線になる。
この直線は 方程式 $x+2y=2$ の解 を図示したものである。

このように、2元1次方程式は、一次関数と同様の計算手法で扱うことができる。また、2元1次方程式のグラフは、方程式を変形して一次関数の関係式と見なすことで、解を表す直線の傾きと切片を容易に求めることができる。

方程式 $y=k$ の解が座標平面上に描く図形

方程式 $y=k$ の解は、右図のようになる。

なぜなら、この方程式 y=3 を満たすxとyの解の組み合わせは、

・・・(ー1,3), (0,3), (1,3), (2,3), (3,3), (4,3),・・・

と無数にあり、それらの点のある位置は、右図のように、x軸に平行で、y軸正の向きに原点から3だけx軸を移動させた直線の上にあるからである。

一般に、方程式 $y=k$ の解は、点 $(0\ ,\ k)$ を通り、x軸に平行な直線で図示される。

この方程式 $y=k$ は、2元1次方程式 $ax+by=c$ において、 $a=0$ となった場合の特殊な例と考えてよい。

一方、$y=k$ には、xが含まれていないが、x の値を何に決めようとお構いなく、そのとき yの値が ただひとつ $k$ に決まるため、このyは、xの関数と考えてよい。 一次式 $ax+b$ で x の係数 $a$ が 0 になることは、xの一次式では認められないため、これは一次関数の一種とは認められないが、中3数学で学ぶ「いろいろな関数」では「継ぎはぎ関数」とよばれる関数の構成要素として現れるため、この x軸と平行に伸びるグラフの形と、yの値が全く変化しない様子は「定数関数」の名とともに、記憶にとどめておこう。

方程式 $x=h$ の解が座標平面上に描く図形

方程式 $x=2$ の解は、右図の図形を描く。

なぜなら、この方程式をみたすxとyの組み合わせ (x,y) は、

・・・（2,ー1) ,(2,0) ,(2,1) ,(2,2) ,(2,3) ,・・・

のようになるからである。

一般に、方程式 $x=h$ の解は、座標平面上で点 $(h\ ,\ 0)$ を通り、y軸に平行な直線で図示される。

$x=h$ は、2元1次方程式 $ax+by+c=0$ で $b=0$ となった場合の特殊な例と考えてよい。

一方、座標平面上の図形を見てもわかる通り、ひとつのx の値に対して、あらゆる yの値が対応しているため、このようなグラフを持つような関数は考えられない。

直線の式を求める

傾きと切片が分かっている場合

例題

傾きが-3、切片4の直線の式を求めなさい。

これは、一次関数の関係式 $y=ax+b$ に、xの係数 $a=-3$, 定数項 $b=4$ を代入して、

直線の式 $y=-3x+4$

を得ます。

傾きと通過する1点が分かっている場合

例題

傾きが2で、(3,7)を通る一次関数の式を求めなさい。

一次関数の関係式を使う

これは、一次関数の関係式 $y=ax+b$ に、xの係数 $a=2$ を用いて

$y=2x+b$

この式に $x=3$ を代入したとき、$y=7$ となるように

定数項$b$の値を定めて、$b=1$

これより、求める直線の式は,

$y=2x+1$

比例の関係式を使う

(3,7)を代入したとき、(0,0)になるように $x-3,y-7$ を作っておく。

これが、比例定数2の比例になるように式を組んで。

$y-7=2(x-3)$ この式を変形整理して、求める式は,

$y=2x+1$

通過する2点が分かっている場合

例題

2点 (-3,8),(1,-4) を通る直線の式を求めなさい。

連立方程式を使う

点の座標を$(x,y)$に代入して連立方程式を作ると、

$\left\{{\begin{matrix}-3a+b=8\\a+b=-4\end{matrix}}\right.$

これを解いて、

$(a,b)=(-3,-1)$

よって、求める直線の式は、

$y=-3x-1$

傾きと通過する1点から求める

xが+4 増加する間の yの増加量は-12 であることから、変化の割合は-3

$y=-3x+b$

この式に $x=1$ を代入したとき、$y=-4$ となるように 定数項$b$の値を定めて、$b=-1$

これより、求める直線の式は,

$y=-3x-1$

連立方程式と解の直線

二元一次方程式を連立して作る、二元一次連立方程式の解の意味を考えよう。

次の方程式を例に考えよう。

${\begin{cases}4y+3x=3\qquad \cdot \cdot \cdot (1)\\3x-y=2\qquad \cdot \cdot \cdot (2)\end{cases}}$

まず式(1)をyについて解くと $y=-{\frac {3}{4}}x+3$ に変形できる。

  式(2)をyについて解くと $y=3x-2$ に変形できる。

それぞれ、一次関数の関係式と考えて直線のグラフを描き、右のグラフを得る。

一次関数をどうしの線どうしの交点は、それに対応する連立方程式の解になる。