中学校数学 1年生-図形/立体図形

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小学校では直方体・立方体・円柱の勉強をしてきましたが、立体図形(りったいずけい、英:solid figure)には他にもさまざまなものがあります。ここではそれらの性質について学習しましょう。

様々な立体編[編集]

錐体[編集]

底面が1つだけで、底面の各頂点から出る辺が全て1点で交わる立体を(すい)あるいは錐体(すいたい)といいます。たとえば、角錐(かくすい、英:pyramid ピラミッド)や円錐(えんすい、英:cone コーン)があります。「錐」という漢字は、木材に穴を開けるために使う「きり」を意味する漢字です。きりのように先が尖った(とがった)立体なので錐体といいます。

角錐[編集]

底面が三角形の錐体を三角錐(さんかくすい、英:triangular pyramid)といい、底面が四角形の錐体を四角錐(しかくすい、英:quadrilateral pyramid)、…などといいます。 角錐の底面の形が、たとえ三角形でも四角形でも五角形でも、角錐の側面の形は必ず三角形です。

円錐[編集]

底面が円である円錐の側面を切り開くと扇形(おうぎがた)になります。

多面体[編集]

いくつかの平面で囲まれている図形を 多面体(ためんたい、英: polyhedron ポリ・ヒードロン) といいます。面の数によって、面が4個なら四面体(しめんたい、英:tetrahedron テトラ・ヒードロン)といい、面が5個なら五面体(ごめんたい、英:pentahedron ペンタ・ヒードロン)と言います。

正多面体[編集]

全ての面が合同な正多角形で、頂点に集まる面の数が全て同じ多面体を 正多面体(せいためんたい) といいます。以下の5種類があります。

名前 面の形 頂点に集まる面の数 頂点の数 辺の数
正四面体 正三角形 3 4 6
正六面体(立方体) 正方形 3 8 12
正八面体 正三角形 4 6 12
正十二面体 正五角形 3 20 30
正二十面体 正三角形 5 12 30

立体の見方[編集]

立体を普通に見えるように描いた図を 見取り図(みとりず) と言い、立体の面をダンボールの箱を崩すように開いて平面にしたものを 展開図(てんかいず、英: net) と言います。四角錐の展開図を書いてみましょう。底面が四角形で、側面が三角形ですから、中心が四角形で、四角形の各辺に三角形の底辺がくっついた図を書けばいいのです。

角柱や円柱は、1つの多角形や円を、その面に垂直な方向に積み重ねてできた立体と考えられます。

平面を回転させたとき、その通り道の全体となるような立体を 回転体(かいてんたい、英: solid of revolution) といい、そのときの軸を 回転の軸(かいてんのじく) といいます。たとえば、二等辺三角形、長方形、円はすべて線対称な平面図形ですが、それぞれ対称軸を回転の軸として回転させると、円錐、円柱、球ができます。ですから、円錐、円柱、球はすべて回転体です。

平面と直線[編集]

平らに限りなく広がっている面を、平面(へいめん、英:plane)と言います。空間に直線ABと、AB上にない点Cがあるとき、ABCをすべて通る平面はただひとつあります。

また、同じ空間内にある2本の直線が、交わらず、平行でもないとき、その2直線は、ねじれの位置(ねじれ の いち)にある、と言います。

面積[編集]

立体の表面の面積を表面積(ひょうめんせき、英:surface area サーフェス・エリア)といい、側面の面積を側面積(そくめんせき、英:lateral area ラテラル・エリア)といい、底面の面積を底面積(ていめんせき)といいます。

体積[編集]

角柱または円柱の底面積をS、高さをh、体積をVとすると、

と表わされます。

また、錐体の体積は、

と表わされます。

球の表面積、体積[編集]

半径rの球の表面積をS、体積をVとするとき

と表わされます。

投影図[編集]

三角柱の投影図

立体を1つの方向から見て平面に表した図を投影図(とうえいず)といい、上から見た投影図を平面図(へいめんず)といい、正面から見た投影図を立面図(りつめんず)という。

立体を投影図で表すときには、平面図と立面図を使って表すことが多い。

平面図と立面図とだけでは、その立体の形がよくわからないこともある。このようなときは、横から見た図をつけ加えて表すこともある。