中学校数学/1年生/数量/文字と式

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
ナビゲーションに移動 検索に移動

文字を使った式[編集]

文字を使った式[編集]

数学では、小学校までの算数と違って、数字の代わりとして、文字を置くことがある。

まず、小学校のように文字を使わない場合を述べる。

例えば、式を書いているとき、

のように、全ての数が分かれば文字を使わなくても問題はない。


しかし、

太郎君の持っている(あめ)の数は2個で、太郎君の持っている飴の数と、花子さんの飴の数とを合わせると5個になりました。花子さんの持っていた飴は何個ですか。


というような場合を考えると、分からない数が出てくる。このような時、小学校では

答え 3個

と、求めてきた。

では、中学校の方法を説明する。

今回は、この節の、冒頭(ぼうとう)の問題で、すでに花子さんの飴の個数が3個と分かってしまっているが、仮に、まだ、花子さんの飴の個数が分からなかったとして式を立てるとしよう。

さきほどの飴の個数の問題で、花子さんの持っていた飴の個数はわからないけれども、ひとまず文字(エックス)で花子さんの持っていた飴の個数を表すことにしておくと、次のように式が書ける。

上のようにすれば、例の問題の場合には、足し算だけで式を立てることができる。このように、文字を使うことで、あとで、数を求めたい物の数量(今回の問題の場合では、花子さんの飴の個数)を求めることが簡単になる。

なお、上記の式のように、文字をふくんだ式のことを、文字式(もじしき)という。

また、この式中にある のように、具体的な数ではなく、大きさが不明である数のことを未知数(みちすう)という。


なお、文字式のアルファベットの書き方は、英語の授業でならうアルファベットと同じ書き方ではない。


文字式の立て方のコツ

なお、このような文字式を立てるためには、問題文

太郎君の持っている(あめ)の数は2個で、太郎君の持っている飴の数と、花子さんの飴の数とを合わせると5個になりました。花子さんの持っていた飴は何個ですか。

を、自分で次のように置き()えると、式を考えやすい。

太郎君は飴を2個持っていました。太郎君の持っている飴の数と、花子さんの飴の数とを合わせると5個になりました。花子さんは何個の飴を持っていましたか?

(なお定期テストなどでは、問題文で「何個」などと問われている語句のそばなどに、「」や「」などと、自分の使いたい文字をメモしておくと便利である。

さらに、問題文を読み直して、「太郎君の持っている飴の数と、花子さんの飴の数とを合わせると5個になりました。」とあるので、これに、それぞれ、飴の文字や数をメモすると、次のようになる。

太郎君は飴を2個持っていました。太郎君の持っている飴の数(2)と、花子さんの飴の数()とを合わせると5個になりました。花子さんは何個()の飴を持っていましたか?

とテストの問題用紙にメモをすると、もはや問題文中に「太郎君の持っている飴の数(2)と、花子さんの飴の数()とを合わせると5個になりました。」と、式の立て方が書いてあるのに近い状態になる。

なお、

太郎君は飴を2個持っていました。太郎君の持っている飴の数(2)と、花子さんの飴の数()とを合わせる()と5個になりました。花子さんは何個()の飴を持っていましたか。

のように、「合わせると」などの文字の上に、足し算の式を書くのも、便利な場合がある。

そして、あとは、これらのメモのとおりに、

というふうに式を立てることで、目的の式を、かんたんに立てることができる。


このように、文字は、分からない数の代わりに置いて使うのである。このように式を立てることが簡単になる。

この のように、具体的な数値はあるのに、まだ大きさのわかっていない数を未知数(みちすう)という。

文字の式とは、このような文字を含んだ式のことである。数字の代わりの文字には、「a」「bx」「」「」といったアルファベットなどを置く。「あ」や「数」などの日本語の文字や「○」などの記号は、数式中の文字には用いない。


なぜ文字を置くのか[編集]

文字を数の代わりに置くことには理由がいくつかある。 未知数の他にも文字を数の代わりに置く場合がある。例えば、具体的な数値はわからないが、それがどんな数でもよい場合である。このような数を変数(へんすう)(英語:variable バリアブル)という。変数については関数(かんすう)のところで(くわ)しく解説する。

もうひとつ、決まった数についてもうまく表せないときに文字を使って表すことがある。代表的なものは、円周率をであらわすことであるが(詳しくは後の節で説明する)、高校の物理や化学では、多くの「決まった数(定数)」を文字で表すことがある。

数の代わりに置く文字の種類
いずれにしても、「1つの決まった数字で表せない」という点で共通している。

文字の式の決まり[編集]

文字の式を書くときには決まりがある。

積のあらわし方の約束 1
  • 「×」の記号を省く。 例:
  • 数と文字との積では、先に数を書く。 例:

特別な事情がないかぎり、中学以降の数学では、これらの決まりに従います。


練習

つぎの式を、文字の積の書き方の決まりにしたがって書きましょう。

問題:
(答え)
 
問題:
(答え)
 
問題:
(答え)
 
問題:
(答え)
 
問題:
(答え)
 
問題:
(答え)

さらに、次のような決まりもあります。

積のあらわし方の約束 2
  • 同じ文字の積は、指数(しすう)(英語:exponent イクスポーネント)を使う。 例:
  • 1と文字との積は1を省く。また、-1と整数との積は1を省いて「-」のみ書く。 例: ,

練習

問題:
(答え)
 
問題:
(答え)
 
問題:
(答え)
 
問題:
(答え)
 
問題:
(答え)
 
問題:
(答え) または
 
問題:
(答え) または

さらにさらに、次のような決まりもあります。

商のあらわし方の約束
  • 文字式の除法では、原則として分数を使う。ただし、帯分数は原則として用いない。除法に「÷」は原則として用いない。 例:
練習

つぎの ÷ を使った式を、分数の形に直しなさい。

 
問題:
(答え) または
 
問題:
(答え)

また、決まりというほどではないですが、2つ以上の積の場合、次のような習慣があります。

2つ以上の文字の積について
  • 1つの項の中で未知数が2個以上ある場合には、文字はアルファベット順に書くのが、普通である。 例:
    • 規則性がある場合は例外。例: とはしない)

次のような決まりもあります。

数をあらわす文字には、 などの図形は、中学入学以降は原則として使わない。
  • これらの記号は中学入学以降では は四角形をあらわすときに使い、 は三角形の図形をあらわすときに用いるからである。中学以降で数をあらわす文字には a,b,c や A,B,C などのアルファベットを原則的に用いる。

練習

(※ 問題作成中)


まとめ
  1. 「×」の記号は省く(はぶく)。 例:
  2. 数と文字との積では、先に数を書く。 例:
  3. 同じ文字を2回以上かける時は、指数(しすう、exponent イクスポーネント)を使う。 例:
  4. かけ算の1は省略する。 例: ,
  5. 除法では、原則として分数を使う。ただし、帯分数は原則として用いない。除法に「÷」は原則として用いない。 例:
  6. 1つの項の中で未知数が2個以上ある場合には、文字はアルファベット順に書くのが、普通である。 例:
  7. 数をあらわす文字には、 などの図形は、中学入学以降は原則として使わない。なぜなら、これらの記号は中学入学以降では は四角形をあらわすときに使い、 は三角形の図形をあらわすときに用いるからである。中学以降で数をあらわす文字には a,b,c や A,B,C などのアルファベットを原則的に用いる。
なぜ「帯分数は原則として用いない」のか
  • 帯分数は、 のような形式をしており、これは を意味する。
  • 文字式で、 は、 を意味する。

このように似かよった表現で意味が異なるので、文字式では帯分数を用いてはいけない。

文字をふくむ式の加法・乗法などの計算法則[編集]

この単元で使う用語や公式などを紹介する。

加法の交換法則(こうかんほうそく)
加法の計算では、項の順を入れ替えても値が変わらないという法則を、加法(かほう)の交換法則(こうかんほうそく、英:Commutative property コミュータティヴ・プロパティ)という。
例:

これらの式のaやbに入る数は、正の数でも、負の数でも、加法の交換法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。


加法の結合法則(けつごうほうそく)
加法の計算では、項同士をどのように()でくくっても値が変わらないという法則を、加法の結合法則(けつごうほうそく、英:associative law アソシエイティブ・ロー)という。
例:

これらの式のaやbやcに入る数は、正の数でも、負の数でも、加法の結合法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。


乗法の交換法則
乗法(かけ算)の式で、項の順を入れ替えても値が変わらないという法則を、乗法の交換法則という。

これらの式のaやbに入る数は、正の数でも、負の数でも、乗法の交換法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。

乗法の結合法則
乗法の式で、項同士をどのように()でくくっても値が変わらないという法則を、乗法の結合法則という。

これらの式のaやbやcに入る数は、正の数でも、負の数でも、乗法の結合法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。


※ 要するに、加法でも乗法でも、交換法則も結合法則も成り立つ。

分配法則(ぶんぱいほうそく)
次のように、aに b+c を掛けても、aをb、cにそれぞれ分配するように掛けてから2つを足しても値が変わらないという法則を、分配法則 (ぶんぱいほうそく、英:distributive property ディストゥリビュティヴ・プロパティ)という。

Distributivity 2.svg

例: (どちらも65)

文字の中身が正の数の場合なら、加法でも乗法でも交換法則・結合法則・分配法則がすべて成り立つことは、小学校で習っている。

理解がむずかしいのは、文字の中身がマイナスであっても、はたして本当に交換法則・結合法則・分配法則が成り立つと決めても問題が起きないのだろうか、という事である。

では、これから、文字の中身がマイナスであっても交換法則・結合法則・分配法則が成り立つと決めても、まったく問題の起きないことを、確かめよう。


そのために、まず、いくつか前の単元で教えた、マイナス掛けるマイナスはプラスであることの説明のための長方形の図を使うと、簡単に分かる。

前の単元でつかった図は再掲しておく。

(-1)×(-1)=(+1)の幾何学的な説明図。

参考にせよ。



とあるが、あらたに文字 E と 文字F を用意して、



とすれば、

例の長方形の面積は


と書ける。


このことから、まず、文字の中身がマイナスの場合であっても、この場合すらも、長方形の面積計算に対応させることができることがわかった。

ここまでくれば、あとはもう、長方形の面積計算の基本的な性質として、交換法則や結合法則や分配法則が成り立つことが、簡単に感じられるだろう。


例として、乗法の交換法則が成り立つことを確かめてみよう。

まず、長方形は、90度回転させてタテとヨコを入れ替えても、面積は同じである。なので交換法則は成り立つ。マイナスの数の掛け算も四角形で表せることが、さっきの図形の議論で分かってるので、よってマイナスの数でも交換法則は成り立つ。

同様に、乗法の分配法則や結合法則についても、例の図形の議論により文字の中身がマイナスの数の場合でも長方形の面積であらわせる事が分かっているので、よって、文字の中身がマイナスであっても分配法則や結合法則も成り立つ。


文字の累乗と逆数[編集]

累乗
※ 文字をふくまない数の累乗と逆数については、単元『中学校数学 1年生-数量/正の数・負の数』で説明した。本ページでは、文字の累乗と逆数を説明する。

回 掛けた積を と表し、「(じょう)」と読む。

なお、このときの にあたる数のことを指数(しすう)(英:exponent イクスポウネント)という。

2乗のことを平方(へいほう)(英:square スクウェア)とも言い、3乗のことを立方(りっぽう)(英:cube キューブ)ともいう。


逆数(ぎゃくすう)
となるときの に対する のことを逆数(ぎゃくすう)という。かけて1になるということは、分母と分子がひっくり返れば約分されて1になるので、ある数の逆数を作るためには、分母と分子をひっくり返せばよい。

例えば

の逆数は

である。

の逆数は

である。

例: 負の数の逆数 の逆数は である。

代入と式の値[編集]

例題
1個40円のみかんをx 個と50円のりんごを1個買ったとき、この代金を文字式で表すと 40x + 50 (円) となる。では、みかんを5個買ったときの代金はいくらになるだろうか?

この問題を解くためには、未知数であるx の代わりに5を入れて計算すればよい。

40x+50 = 40×5+50 = 200+50 = 250 答.250円

この問題で行ったように、式の中の文字を数でおきかえることを、文字にその数を代入(だいにゅう、英:substitution サブスティテューション)するという。また、文字式に具体的な数を代入して計算した結果を、そのときの式の値(値は「あたい」と読む。)という。

上の問題を今説明した言葉で言うと、x = 5 のとき、40x+50 の値は 250 であると言える。


活用

たとえば、次のような理科の計算をするとき、代入が活用できる。

問題 (1)
空気中を伝わる音の速さは、そのときの気温 t ℃ によって変わり、秒速 (331.5 + 0.6t) m の式であらわされることが分かっています(末尾の m は長さの単位のメートル記号)。
気温が 30 ℃のときの音の速さを求めなさい。
(解法と答え)

与えられた公式に実際に代入をする。

331.5 + 0.6 × 30 = 331.5 + 18 = 349.5

よって30℃のときの音の速さは秒速 349.5 m である。


問題 (2)
気温10度のときに、(かみなり)が光ってから2秒後に雷の音が聞こえました。音の速さは秒速 (331.5 + 0.6t) m の式であらわされます。雷の光は瞬時に伝わるとします。雷の発生地点の真下の地面から、観測者がいる場所までの距離は何メートルでしょうか?
(解法と答え)

まず、気温10℃のときの音の速さを求める。

331.5 + 0.6 × 10 = 331.5 + 6 = 337.5

より、10℃での音の速さは秒速 337.5 m となる。

雷が光ってから2秒後に雷の音が聞こえたので、このあいだに音がつたわった距離は、

337.5×2 = 660+15 = 675

よって答えは 675mの距離である。

※ 東京書籍や大日本図書や学校図書や教育出版の検定教科書に、音の速さの計算の出題がある。なお、教科書会社によっては雷ではなく花火の場合もある。
問題(3)
気温が-10℃のときの音の速さを求めてください。音の速さの公式は秒速 (331.5 + 0.6t) m です。(tは気温)

(解法と答え)

公式にt = 6 を代入すると
331.5 - 6 = 325.5
なので 、よって答えは秒速 325.5 m である。


高さと気温の問題
気温は、高さ10km までは、その地点の上空にむかって 高さが 1km 高くなるごとに気温が 6 ℃ 低くなることが、すでに実験的に分かっています。つまり高さ0mの場所の気温がa℃の場合、b km 高くなるにつれて
      ( a - 6b )℃
の公式で、上空の気温があらわされることが分かっています。(末尾の「℃」は温度の単位の記号。)

この式をもとにして、次の条件のときの気温をもとめてください。

(問題 ) 地上の気温が 30 ℃ のとき、4km 上空の気温をもとめてください。


(解法と答え)

公式に a = 30 と b = 4 を代入すると、
( 30 - 6×4 )= 30 - 24 = 6
よって上空4kmでの気温は 6℃ である。
※ 日本文教出版、大日本図書の教科書に、似たような出題がある。

式の項[編集]

文字を含む項[編集]

「項」(こう)については、正の数・負の数で、一度、説明した。例えば、2+5-9+4の式の項といえば、2、5、-9、4の4つのことである。この章では文字を含む項について考える。例えば、

7+5xy

という式の場合、和の形で表すと 7 + 5x + (-y ) となる。したがって、この式の項は7、5x、-y の3つである。このように文字を含んだ式も含まない式も、項についての考え方は同じである。

項の種類と係数[編集]

7+5xy

について、文字xについている +5 と文字についている -1 のことを、それぞれ係数(けいすう)という。7は係数ではない。

つまり、文字をふくむ項についている数字と符号との積が係数である。


定数項と係数[編集]

では、次の式を考えてみよう。


3y + 5x - 2

この式の中で、文字を含む項は 3y、5x、文字を含まない項は -2 である。

文字を含む多項式の中で、文字を含まない項を定数項(ていすうこう)という。ここでは -4 が定数項である。

また、3y という項について、具体的な数字である 3 を yの係数(けいすう、英:coefficient コエフィシェント) という。 同様に、xの係数は5である。

定数項
文字を含まない項
係数
文字と数の積で表せる項のうち、数の部分


同類項[編集]

文字の部分が同じ項のことを同類項(どうるいこう、英:like terms)という。次の式について考えてみよう。

4x+8x+2y-3y2

この式で 4x と 8x は、係数をのぞくと同じxとなりますから同類項だといえる。しかし、2y と 3y2同類項ではない。文字の部分がそれぞれ y と y2 となっていて指数が違うので、これらは文字の部分が同じとはいえない。したがって、同類項ではないということになる。


もし文字式のなかに同類項の加減算があれば、

4x+8x+2y-3y2 = 12x+2y - 3y2

のように、同類項どうしで計算できて、式を短くできる場合が多い。

また、上記の計算例から分かるように、同類項の加減算の計算では、係数だけを加減算すればいい。

たとえば、右側の式 12x の係数 12 は、左側の式の項 4x と 項 8x という同類項どうしの係数4と8を足し合わせたもの(4+8)と同じ値になっている。

文字の式の利用[編集]

等式[編集]

次のようなときを考えてみよう。

「ガム1枚で5円します。そのとき、ガムをa枚買うとb円になります。」

この場合、

5a=b 

という式が立てられる。このように等号(=)で2つの式が等しいことを表している物を等式(とうしき)という。また、等号の右側を 右辺 (うへん、英:right-hand side)といい、等号の左側を 左辺(さへん、英:left-hand side) という。つまり、5a=bは等式で、左辺は5a、右辺はbである。

右辺と左辺をあわせて 両辺 (りょうへん)という。

不等式[編集]

次のようなときを考えてみよう。

「1冊a円のノートを2冊と、1本b円の鉛筆を3本買うと、代金の合計は500円より多い。」

この場合、という式が立てられる。このように2つの数量の間の関係を不等号 ≦、≧、>、< を使って表した式を 不等式 (ふとうしき、英:inequality イニクウォリティ)という。また、不等式の右側を 右辺 と言い、不等式の左側を 左辺 という。つまり、は不等式で、左辺は、、右辺は500である。

右辺と左辺をあわせて 両辺 という。

「xは50より大きい または xは50と等しい」を と表す。

「xは50より小さい または xは50と等しい」を と表す。

も不等号である。

一次式と二次式[編集]

3x-4y+5

のように、文字の指数が 1 までである式を一次式(いちじしき)という。(指数の 1 は記載を省略するので、上記の式中には書かれてない。)


いっぽう、

3x2-4y2+5

のように文字の指数に2を含み、最大の指数が 2 までである式を二次式という。


なお、

x+6xy-2y+5

のような文字 xy をふくむ式については、説明を省略する(※ 検定教科書でも省略している)。中学1年生は考えなくて良い。


実用の問題[編集]

お金の計算[編集]

問題

a円の 8% を文字式であらわしてみましょう。(2018年度の消費税)

解法 1% とは である。なので 8% は になる。
(答え) 円 または 0.08a 円


約分をして と書いても数学的には間違いではない。しかし、百分率の計算などの実務の問題の場合、あとの計算のことまで考えて、約分しないで分母を100のままにしておく場合もある。


問題

税抜きの値段が a円 の品物は、消費税こみ(消費税は8%とする)で、合計いくらになるか、文字式であらわしなさい。

解法 a + 0.08a
(答え) 円 または 1.08a 円


問題

花子さんの地元のスーパーでは、お弁当の値段が、午後5時から午後6時までは定価から3割引きになります。 値引き前のお弁当の値段を、消費税込みで a円とした場合、午後5時から午後6時までの、お弁当を買うさいに払う値段を、文字式であらわしなさい。(※ すでに税込みの値段にしてあるので、消費税については考えなくてよいとする。)

解法 a - 0.3a = 0.7a
(答え) 円 または 0.7a 円

※ まちがえて 0.3a 円 を答えとするような計算ミスが時々あるので、気をつけよう。

図形の数量[編集]

Square and algebra for education.svg
問題

一辺の長さを a cm(センチメートル)とする正方形の面積はいくらかを、文字式であらわしてください。

(答え) a2 cm2

また、この正方形の周の長さを文字式で あらわしてください。


問題
Rectangle and algebra for education.svg

長方形があります。縦の長さを a cm 、横の長さをb cm とします。面積を文字式であらわしてください。また、周の長さを文字式であらわしてください。

(※ 答えは省略) 検定教科書でも答えは省略されている。 自分で考えてみて、どうしても分からなかったら学校などで教わろう。



問題

三角形があります。底辺が a cm , 高さが h cm だとします。この三角形の面積はいくらかを、文字式であらわしてください。

解法 三角形の面積は (底辺)×(高さ)÷2 である。これを文字式であらわせばいい。
(答え) cm2


※ なお h とは、高さを意味する英語 height (ハイト)の(かしら)文字。 なので、高さをあらわす文字として、数学や理科では、よく h が使われる。


そのほか[編集]

問題

自動車が時速80km でa時間つづけて走っていたとします(※ 現実世界の自動車道路は途中でインターチェンジなどがあって停車するかもしれないが、しかし、そういうことは、この問題では考えない)。 この自動車がa時間によって走った 道のりは、いくらかを、文字式であらわしてください。

(答え) 80a km


速さの単位の記号
※ 東京書籍の検定教科書(平成27年検定版, p.75)に km/h がある。

時速 60 km のことを、数学や理科では「 60 km/h 」のように書くことがあります。

h とは、1時間(=60分)を意味する英語 hour の頭文字です。

つまり、時速をあらわす記号は km/h です。



問題

タカシくんは a km の道のりを 2時間で歩き終えました。タカシくんの歩行の時速を文字式であらわしてください。

(答え)時速 (km)

円の数量[編集]

小学校では、「円周率は3.14」としましたが、実際には円周率は3.141592653589793…と無限に続き、数では表せません。そこで、円周率を文字で表すときには (パイ)という記号を使います。この記号は、ギリシャ文字の小文字のひとつです。(※ 中学では、ギリシャ文字に深入りしなくてよいです。)

円周の長さは、

(円周の長さ) = 2 ×(半径) ×(円周率)

です。

円の面積は、

(円の面積) = (円周率)×(半径)×(半径)

です。

では、円の半径を r (cm)として、円周の長さと、円の面積とを、それぞれ文字式になおしてみましょう。(円の半径を表す文字には、よく r をつかう。)

円周の長さ
(円周の長さ) = 2 ×(半径) ×(円周率)
= 2 ×r ×
= 2 r

よって、円周の式は 2r cm です。


円の面積
(円の面積) = (円周率)×(半径)×(半径)
× r × r
r 2

よって、円の面積の式は r 2 cm2 です。


文字式に、円周率を表すのように、ある決まった数をあらわす文字が含まれる場合、書く順序は、
    定数を表す数字 → 定数を表す文字 → その他の文字
の順に書きます。 例:a××4 → 4a


※ なお半径を意味する文字 r は、半径を意味する英語 radius (レイディウス)が由来。