中学校数学 2年生-図形/図形の性質

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この章では、2年生の図形の学習の基礎を学びます。

直線と角[編集]

Vertical angles.GIF

直線が2つ交わると、その交点の周りに4つの角ができます。

このとき、右図の∠a と∠c のような向かい合わせの位置にある2つの角を対頂角(たいちょうかく、英:vertical angles)といいます。∠b と∠d も対頂角です。

たとえば∠b が45°のとき、∠a と∠c の大きさを比べてみると、

a = 180°-45° = 135°
c = 180°-45° = 135°

つまり、∠a = ∠c となります。 これは、∠b が何度であっても成り立ちます。なぜなら、∠a も∠c も、(180-∠b )°になるからです。ですから、次のことが言えます。

対頂角の性質
対頂角は等しい。
Corresponding angles 3.svg

2直線を横切るようにもうひとつの直線が交わるとき、8つの角ができます(右図)。

このとき、∠a と∠e のように同じ位置にある2つの角を同位角(どういかく、英:corresponding angles)といいます。∠a と∠e はどちらも、左上の位置にあるため、同位角といえます。∠b と∠f は互いに同位角であり、∠c と∠g は互いに同位角であり、∠d と∠h もそれぞれ同位角です。

また、∠b と∠h のように、2直線の内側にあり、斜め向かいの2つの角を錯角(さっかく、英:alternate angles)といいます。∠c と∠e も錯角です。

2直線が平行(へいこう、英:parallel)であるとき、同位角どうしは等しくなり、錯角どうしは等しくなります。また、同位角や錯角が等しいとき、2直線は平行になります。なぜそうなるのかを説明すると難しくなるので、ここでは省きます。

平行線と同位角・錯角
1, 2直線が平行であるとき、その同位角は等しい。また、錯角も等しい。
2, 同位角や錯角が等しいとき、その2直線は平行である。

三角形[編集]

中学校数学では、主に円、三角形、四角形が登場します。2年生では三角形と四角形を主に学習します。まずは、三角形から調べてみましょう。

三角形の3つの内角(図形の内側の角)の和はいくつになるでしょうか。ここでは、平行線と角の性質を用いて調べていきます。

Sum-in-a SVG.svg

右図のΔABCに、辺BCの延長CDを引きます。

また、辺ABに平行で、Cを通る直線CEを引きます。

分かりやすいように、全ての角に右図のように名前をつけてみましょう。 このとき、平行線の同位角は等しいですから、

b = ∠e … (1)

また、平行線の錯角は等しいですから、

a = ∠d … (2)
c + ∠d + ∠e = 180°ですから、(1),(2)より、
a + ∠b + ∠c = 180°
三角形の3つの内角の和
三角形の3つの内角の和は180゚である。


External-angle.svg

実は上の証明は、外角に関する性質も導き出しています。
外角とは、内角と隣り合った角のことで、右図の1のような角を指します。2のような角は指しません。
それで、どのような性質かというと、

d + ∠e = ∠a + ∠bなので、

頂点Cの外角は、∠a + ∠b

三角形の外角
三角形の1つの外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しい