中学校数学 2年生-図形/図形の性質

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この章では、2年生の図形の学習の基礎を学びます。

直線と角[編集]

2直線が交わってできる角[編集]

Vertical angles2.svg

直線が2つ交わると、その交点の周りに4つの角ができます。

このとき、右図の∠a と∠c のような向かい合わせの位置にある2つの角を対頂角(たいちょうかく、英:vertical angles)といいます。∠b と∠d も対頂角です。

たとえば∠b が120°のとき、∠a と∠c の大きさを比べてみると、

a = 180°-120° = 60°
c = 180°-120° = 60°

つまり、∠a = ∠c となります。 これは、∠b が何度であっても成り立ちます。なぜなら、∠a も∠c も、(180-∠b )°になるからです。ですから、次のことが言えます。

対頂角の性質
対頂角は等しい。

2直線に1つの直線が交わってできる角[編集]

Corresponding angles2.svg

2直線を横切るようにもうひとつの直線が交わるとき、8つの角ができます(右図)。

このとき、∠a と∠e のように同じ位置にある2つの角を同位角(どういかく、英:corresponding angles)といいます。∠a と∠e はどちらも、左上の位置にあるため、同位角といえます。∠b と∠f は互いに同位角であり、∠c と∠g は互いに同位角であり、∠d と∠h もそれぞれ同位角です。

また、∠b と∠h のように、2直線の内側にあり、斜め向かいの2つの角を錯角(さっかく、英:alternate interior angles)といいます。∠c と∠e も錯角です。

平行線と同位角・錯覚[編集]

Corresponding angles with parallel line.svg

右図のように2直線が平行(へいこう、英:parallel)であるとき、同位角どうしは等しくなります。また、同位角が等しいとき、2直線は平行になります。なぜそうなるのかを説明すると難しくなるので、ここでは省きます。

とにかく、右図のように直線l,m,nと角度a,bがある場合、

Cursive l for mathematics.svg//m ならば ∠a = ∠b

です。


Alternate angles with parallel line.svg

錯角どうしも、2直線が平行なときには、錯覚どうしも等しくなります。錯覚は、同位角とは対頂角の位置にあることを利用すれば、同位角の性質をもちいて、2直線が平行なとき(同位角どうしだけでなく)錯覚どうしも等しくなることも説明できます。

平行線と同位角・錯角
1, 2直線が平行であるとき、その同位角は等しい。また、錯角も等しい。
2, 同位角や錯角が等しいとき、その2直線は平行である。

多角形の角[編集]

三角形の内角と外角[編集]

中学校数学では、主に円、三角形、四角形が登場します。2年生では三角形と四角形を主に学習します。まずは、三角形から調べてみましょう。

三角形の3つの内角(図形の内側の角)の和はいくつになるでしょうか。ここでは、平行線と角の性質を用いて調べていきます。

Proof of internal angle sum = 180 degree type2.svg

右図のΔABCに、辺BCの延長CDを引きます。

また、辺ABに平行で、Cを通る直線CEを引きます。

分かりやすいように、全ての角に右図のように名前をつけてみましょう。 このとき、平行線の同位角は等しいですから、

b = ∠e   … (1)

また、平行線の錯角は等しいですから、

a = ∠d   … (2)

c, ∠d, ∠e は一直線上にあるので

c + ∠d + ∠e = 180°

ですから、これに(1),(2)を代入する事により、

a + ∠b + ∠c = 180°
三角形の3つの内角の和
三角形の3つの内角の和は180゚である。


External-angle.svg
外角

外角(がいかく)とは、内角と隣り合った角のことで、右図の1のような角を指します。2のような角は指しません。


External-angle double.svg

右図のように外角は1つの頂点につき大きさの等しい外角が2個あるが、普通はどちらか片方のことを言う。


Proof of internal angle sum = 180 degree type2.svg

外角には、次のような性質があります。

ある1つの三角形の頂点をA,B,C、それらの頂点に対応する3つの内角を ∠a, ∠b, ∠c とすると、

頂点Cの外角は、∠a + ∠b です。

なぜなら、さきほどの内角の和の説明の図で、

d + ∠e = ∠a + ∠bなので、

よって 頂点Cの外角は、∠a + ∠b です。

三角形の外角
三角形の1つの外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しい


多角形[編集]

Interior and exterior angles of 5-gon japanese.svg

多角形の内角と外角の位置は、右図のとおり。 右図では例として5角形の場合をしめす。



Triangular division of 7-gon.svg

n角形の内角の和は、 (nー2)×180 ° になる

なぜなら、n角形は、右図のように、(n-2) 個の三角形に分割できるからである。(なお、右図は7角形である。)


Concaved polygon.svg

ただし中学のこれらの多角形の公式では、右図のような、へこんだ多角形については考えていない。