中学校数学 2年生-数量/確率

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
移動先: 案内検索

場合の数[編集]

この例の場合の樹形図
組み合わせの樹形図(上)/その他の方法(下)

場合の数とは、ある事柄の起こり方が何通りあるかを示す数である。たとえば、コインを2回投げたときにでる面の組み合わせは4通りである。なぜなら、表-表、表-裏、裏-表、裏-裏の4通りが考えられるからだ。

このようなことを求めるときには、考えられるすべての順番を整理して考えるのが重要である。このとき、樹形図(じゅけいず、英:tree diagram)と呼ばれる図がよく用いられる。樹形図とは、右の図のようなものである。

また、総当たり戦の試合数など、順番を考えないで組み合わせを考えるとき(A-BとB-Aを同じものと考えること)にも樹形図は使うことができる。ただし、図のように、違った方法でもこれを求めることはできる。 左の図には4チームで総当たり戦をするときの試合数(つまり、4チームを2組ずつ組み合わせる場合の数)を求める図を示した。

確率とはなにか[編集]

コインの表が出る確率

100円玉を投げたとき、表面(絵が描いてある面)が出る確率を求めてみよう。

実験
  1. 100円玉を10回投げ、そのうち何回表が出たか記録する。これを100回繰り返し、合計1000回投げる。
  2. 表が出た割合を10回ごとに出す。たとえば120回投げ終わって、今までに65回表が出たなら、65 ÷ 120 = 0.541666667となる。
  3. それをグラフにする。

実際にやってみた結果が右のグラフである。

回数が少ないうちは割合にばらつきがあるが、回数が多くなるにつれて0.5に近い値になっていることがわかる。では、0.5とは何か。0.5は分数で表すと、である。これは、100円玉を2回投げるうち、1回は表が出ると期待されることを表している。つまり、2回投げれば1回は必ず表が出るということではなく、そうだと期待される程度が0.5なのである。

このように、ある事柄についてそれが起こると期待される程度を表す数を、その事柄の起こる確率(かくりつ、英:probability)という。この実験の場合、「100円玉を投げて表が出る確率は0.5」と言うことができる。

また、ある事柄が絶対に起こらないとき、その事柄が起こる確率は0である。ある事柄が絶対に起こるとき、その事柄が起こる確率は、1である。

確率の求め方[編集]

それでは、前の章で取り上げた、「100円玉を投げて表が出る確率」を、計算で求めてみましょう。これは、次のように考えていけば、求めることができます。

  1. 100円玉を投げたときにでる面は、表と裏の2通りである。
  2. どちらの面が出るのも、同じ程度に期待される。つまり、どちらかの面ばかりが出るような偏りがない。このことを、同様に確からしい(どうようにたしからしい、be equally likely)という。
  3. この2通りのうち、表の面が出るのは1通りである。

このとき、表が出る確率は、3の場合の数の1の場合の数に対する割合と考え、となる。これは、実験で出た値と一致しているので、正しいと考えられる。

このように、起こる場合の一つ一つが、どれも同様に確からしいとき、確率は場合の数の割合として求めることができる。

確率の求め方
起こる場合が全部でn通りあり、どれも同様に確からしいとする。そのうち、事柄Aの起こる場合がa通りで、その確率をpとすると、


0≦p≦1