環上の加群

ここでは、環上の加群について解説する。

定義

代数構造$(M,+)$がアーベル群（すなわち、$\mathrm{\forall }x,y\in Mx+y=y+x$）であるとき、Mを加群という。ここでは加群であって、さらに環Rの作用が定まっているもの（これをR加群と呼ぶ）を扱う。

より明瞭に、公理の形で書いておくと、R加群とは次の公理を満たす集合Mのことである。

公理 Rを環、Mを集合とする。Mの元どうしの演算「+」と、Mの元に対するRの元によるスカラー倍「・」が定められていて、次の条件のすべてを満たすとき、Mは（左）R加群であるという。

1. $\mathrm{\forall }x,y,z\in M(x+y)+z=x+(y+z)$
2. $\mathrm{\forall }x,y\in Mx+y=y+x$
3. $\mathrm{\exists }0\in M\mathrm{\forall }x\in Mx+0=x$
4. $\mathrm{\forall }x\in M\mathrm{\exists }y\in Mx+y=0$
5. $\mathrm{\forall }a,b\in R,\mathrm{\forall }x,y\in Ma\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y,(ab)\cdot x=a\cdot (bx),(a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x$
6. $1\cdot x=x$

この公理を見ると、線型空間の公理の体を環に取り替えただけであることがわかる。すなわち、環上の加群の概念は線型空間の概念の一般化である。

例　Kを体とするとK線型空間はK上の加群である。

しかし、ここではスカラーは体ではなく環で十分としているので、他にも多様な例が考えられる。

例　任意の加群Gは$\mathbb{Z}$加群である。

実際、$x\in G$への整数nの作用を$nx=x+x+\cdot +x$（n個の和）と定めればよい。（負の数のときは-xをn個足したものとすればよい）。

例　環RのイデアルはR加群である。

通常の積がR加群としての作用になっていることは、イデアルの定義からすぐにわかる。特に、R自身はR加群である。この意味で、加群の概念はイデアルの概念の一般化であるともいえる。

基本的な諸概念

部分加群と商加群

線型空間における部分空間・商空間に当たる概念は同様に定義することができる。

定義　R加群Mの部分集合Nが、Mの作用を制限した作用によって再びR加群となるとき、NをMの部分R加群という。

定義　MをR加群、NをMの部分R加群とする。このとき、剰余群M/Nは自然な作用によりR加群という。これをMのNによる商R加群という。

商加群の演算と作用の定義は線型空間の場合と同様なので省略する。演算のwell-defined性や、R加群になっていることの確認も、同様に容易にできるので省略する。

問　M/Nの演算と作用を定義し、R加群になっていることを確かめよ。

準同型

線型写像の概念も同様に一般化できる。

定義　M, M' をR加群とする。写像$f:M\to M^{\prime }$が次の条件を満たすとき、これをR準同型（写像）という。

1. $\mathrm{\forall }x,y\in Mf(x+y)=f(x)+f(y)$
2. $\mathrm{\forall }a\in R\mathrm{\forall }x\in Mf(ax)=af(x)$

準同型であってさらに全単射の写像をR同型（写像）という。

公理1は群としての準同型であること、公理2は作用を保つことを要請している。特に群としての準同型であるので、kernelとimageは自然に定義でき、加群としての部分群であるだけでなく部分R加群であることが確かめられる。

また、準同型定理も同様に成り立つ。

定理　M, M' をR加群、写像$f:M\to M^{\prime }$をR準同型とすると、自然なR同型写像

$\overline{f}:M/\ker f\to imf$

が存在する。

群としての全単射な準同型が構成できることは群の準同型定理より従う。あとはこれがRの作用を保つことを確かめればよい。

問　確かめよ。