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ここではマクスウェルの方程式から電磁波の波動方程式を導く。
通常、マクスウェルの式は E を電場の強度、B を磁束密度、D を電束密度、H を磁場の強度、ρ を電荷密度、j を電流密度として、作用素 ∇ を用いて
![{\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {B} (t,\mathbf {x} )&=0\\\nabla \times \mathbf {E} (t,\mathbf {x} )+{\dfrac {\partial \mathbf {B} (t,\mathbf {x} )}{\partial t}}&=0\\\nabla \cdot \mathbf {D} (t,\mathbf {x} )&=\rho (t,\mathbf {x} )\\\nabla \times \mathbf {H} (t,\mathbf {x} )-{\dfrac {\partial \mathbf {D} (t,\mathbf {x} )}{\partial t}}&=\mathbf {j} (t,\mathbf {x} )\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6d69187cff29cee49bb4e7e7a75324c1505504)
と表記されるが、真空中ではE-B対応とE-H対応により、電束密度 D と電場 E 及び磁場の強度 H と磁束密度 B がそれぞれ
![{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee45da083eaae9013927ec92511afbefec4937e)
![{\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba622921731f24d26c5b86045ad4881a5cefcc35)
と言う関係にあるため、ベクトル解析の回転(「∇×」)と勾配(「∇」)及び発散(「∇·」)とラプラシアン(「∇²」)の演算子をそれぞれ
![{\displaystyle \operatorname {rot} ,~\operatorname {grad} ,~\operatorname {div} ,~\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c6b6df5ab800617ab5dd951a0cd303f8741faf)
と定義すると
![{\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {div} \mathbf {B} =0&\cdots \,(1)\\\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\dfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}&\cdots \,(2)\\\operatorname {div} \mathbf {E} ={\dfrac {\rho }{\varepsilon _{0}}}&\cdots \,(3)\\\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\dfrac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}&\cdots \,(4)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c384971d87f0ae0cd05a6e3dee51cf661318b25a)
と表わせる。
まず、(2)式の両辺のベクトル場それぞれの回転をとり
![{\displaystyle \operatorname {rot} (\operatorname {rot} \mathbf {E} )=-\operatorname {rot} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb12a9bf6eb1812e9241f2b6de0539669f3a836)
と変形して、この式の左辺にベクトル解析の公式
を適用し、右辺は時間微分と空間微分とを交換すると
![{\displaystyle -\Delta \mathbf {E} +\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\operatorname {rot} \mathbf {B} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083f60ee92d7f66771f1ff0fcd4f3bff3c6ce500)
となる。そしてこの式に、(3)式及び(4)式を代入すると
![{\displaystyle \therefore -\Delta \mathbf {E} +{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\operatorname {grad} \rho =-\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\,\cdots \,(5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63664a1e25df65ac80c24584cfa923122cb8c744)
となる。
また、(4)式の両辺のベクトル場それぞれの回転をとり
![{\displaystyle \operatorname {rot} (\operatorname {rot} \mathbf {B} )=\mu _{0}\operatorname {rot} \mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\operatorname {rot} {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a537072c5f8f7ce82305248a3b0ea9e0f14fe706)
と変形した後、電場の場合と同様に
![{\displaystyle -\Delta \mathbf {B} +\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {B} )=\mu _{0}\operatorname {rot} \mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\operatorname {rot} \mathbf {E} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b64ff948b9fc2b1f0fef7b669965bf60a21d0d58)
と式変形して、この式に(1)式及び(2)式を代入すると
![{\displaystyle \therefore -\Delta \mathbf {B} =\mu _{0}\operatorname {rot} \mathbf {j} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\cdots \,(6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f6856ca3a1ed1dce75c7d717526f999ccb94db)
となる。
ここで、ダランベルシアンを
![{\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20ae9dd8652a7b4cf4ba5602a8663aa03098091)
と定義すると、(5)式及び(6)式は
- ∴
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\square \mathbf {E} =-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\operatorname {grad} \rho -\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\left({\frac {1}{c^{2}}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}\right){\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\&\square \mathbf {B} =\mu _{0}\operatorname {rot} \mathbf {j} +\left({\frac {1}{c^{2}}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}\right){\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef35aa7bc7d72469f29c8f36bb4e19e18f815dd5)
と表され、電磁波を伝播速度が
![{\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71677838a5d6660a32242c0493d13469ef258c95)
で表される波であると仮定すると
- ∴
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}\square \mathbf {E} &=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\left(\operatorname {grad} \rho +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}\right)\\&=-\mu _{0}\left(c^{2}\operatorname {grad} \rho +{\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}\square \mathbf {B} &=\mu _{0}\operatorname {rot} \mathbf {j} \\&={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}\operatorname {rot} \mathbf {j} \end{aligned}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0448f9fe0b12402f26258651b5139ee221999e)
となり、真空の透磁率 μ0 か真空の誘電率 ε0 のどちらか一方のみを係数として表す事も出来る。更に、電流が存在しなければ ρ 及び j が消えるので、(5)式及び(6)式は完全に電磁波に関する波動方程式となる。