電磁気学/電磁波の式の導出

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ここではマクスウェルの方程式から電磁波の波動方程式を導く。

通常、マクスウェルの式は E を電場の強度、B を磁束密度、D を電束密度、H を磁場の強度、ρ を電荷密度、j を電流密度として、作用素 ∇ を用いて

${\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {B} (t,\mathbf {x} )&=0\\\nabla \times \mathbf {E} (t,\mathbf {x} )+{\dfrac {\partial \mathbf {B} (t,\mathbf {x} )}{\partial t}}&=0\\\nabla \cdot \mathbf {D} (t,\mathbf {x} )&=\rho (t,\mathbf {x} )\\\nabla \times \mathbf {H} (t,\mathbf {x} )-{\dfrac {\partial \mathbf {D} (t,\mathbf {x} )}{\partial t}}&=\mathbf {j} (t,\mathbf {x} )\end{cases}}$

と表記されるが、真空中ではE-B対応とE-H対応により、電束密度 D と電場 E 及び磁場の強度 H と磁束密度 B がそれぞれ

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$

$\mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B}$

と言う関係にあるため、ベクトル解析の回転（「∇×」）と勾配（「∇」）及び発散（「∇·」）とラプラシアン（「∇²」）の演算子をそれぞれ

$\operatorname {rot} ,~\operatorname {grad} ,~\operatorname {div} ,~\Delta$

と定義すると

${\begin{cases}\operatorname {div} \mathbf {B} =0&\cdots \,(1)\\\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\dfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}&\cdots \,(2)\\\operatorname {div} \mathbf {E} ={\dfrac {\rho }{\varepsilon _{0}}}&\cdots \,(3)\\\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\dfrac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}&\cdots \,(4)\end{cases}}$

と表わせる。

まず、(2)式の両辺のベクトル場それぞれの回転をとり

$\operatorname {rot} (\operatorname {rot} \mathbf {E} )=-\operatorname {rot} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

と変形して、この式の左辺にベクトル解析の公式 $\operatorname {rot} (\operatorname {rot} \mathbf {F} )=-\Delta \mathbf {F} +\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {F} )$ を適用し、右辺は時間微分と空間微分とを交換すると

$-\Delta \mathbf {E} +\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\operatorname {rot} \mathbf {B} )$

となる。そしてこの式に、(3)式及び(4)式を代入すると

$\therefore -\Delta \mathbf {E} +{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\operatorname {grad} \rho =-\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\,\cdots \,(5)$

となる。

また、(4)式の両辺のベクトル場それぞれの回転をとり

$\operatorname {rot} (\operatorname {rot} \mathbf {B} )=\mu _{0}\operatorname {rot} \mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\operatorname {rot} {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

と変形した後、電場の場合と同様に

$-\Delta \mathbf {B} +\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {B} )=\mu _{0}\operatorname {rot} \mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\operatorname {rot} \mathbf {E} )$

と式変形して、この式に(1)式及び(2)式を代入すると

$\therefore -\Delta \mathbf {B} =\mu _{0}\operatorname {rot} \mathbf {j} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\cdots \,(6)$

となる。

ここで、ダランベルシアンを

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta$

と定義すると、(5)式及び(6)式は

∴ ${\begin{aligned}&\square \mathbf {E} =-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\operatorname {grad} \rho -\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\left({\frac {1}{c^{2}}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}\right){\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\&\square \mathbf {B} =\mu _{0}\operatorname {rot} \mathbf {j} +\left({\frac {1}{c^{2}}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}\right){\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

と表され、電磁波を伝播速度が

$c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$

で表される波であると仮定すると

∴ ${\begin{aligned}&{\begin{aligned}\square \mathbf {E} &=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\left(\operatorname {grad} \rho +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}\right)\\&=-\mu _{0}\left(c^{2}\operatorname {grad} \rho +{\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}\square \mathbf {B} &=\mu _{0}\operatorname {rot} \mathbf {j} \\&={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}\operatorname {rot} \mathbf {j} \end{aligned}}\end{aligned}}$

となり、真空の透磁率 μ₀ か真空の誘電率 ε₀ のどちらか一方のみを係数として表す事も出来る。更に、電流が存在しなければ ρ 及び j が消えるので、(5)式及び(6)式は完全に電磁波に関する波動方程式となる。