位相空間論/導入

解析学において、収束や連続という概念が重要であるが、これらの概念はかなり実数の公理系に依存している。しかし、これらの概念は非常に有用なので、実数とは違う集合に対しても同様にこの概念を考えたい、ということで位相空間の理論が始まった。

位相空間は「開集合」というもので定義される。実数において連続という概念は ε-δ 論法で定義されるが、実はこの開集合という概念で連続を定義できる。まず、開集合の定義と ε-δ 論法での連続の定義を確認する。

定義 （開集合の定義）

集合 $U\subseteqq \mathbb {R}$ が開集合であるとは、$\forall u\in U\ \exists \varepsilon >0(|x-u|<\varepsilon \Rightarrow x\in U)$ が成り立つことをいう。

定義 （連続の定義）

関数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ が $a$ で連続であるとは、

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon )$ が成り立つことをいう。

$\mathbb {R}$ の全ての点で連続のとき、$\mathbb {R}$ で連続、または単に連続であるという。

このとき、次の命題が成り立つ。

命題

関数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ が連続

$\iff$ 任意の開集合 $U$ について、$f^{-1}(U)$ が開集合

証明

（$\Rightarrow$）

$x_{0}\in f^{-1}(U)$ として、$y_{0}=f(x_{0})$ とおく。$y_{0}\in U$ なので、開集合の定義より、$\exists \varepsilon >0\ \forall y\ (\ |y-y_{0}|<\varepsilon \Rightarrow y\in U\ )\ \ \ \cdots (1)$が成り立つ。

さて、ここで $f$ が連続であるという仮定から、この $\varepsilon$ に対して、$\exists \delta >0\ \forall x\ (\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-y_{0}|<\varepsilon \ )\ \ \cdots (2)$

(1), (2) より、$\exists \delta >0\ \forall x\ (\,|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow f(x)\in U\,).\ \ \cdots (3)$

$f^{-1}(U)=\{x\in \mathbb {R} \ |\ f(x)\in U\}$ であり、$f(x)\in U\iff x\in f^{-1}(U)$ より、(3) から$\exists \delta >0\ \forall x\ (\,|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow x\in f^{-1}(U)\,)$

ところで、$x_{0}$ の取り方は任意だったので、つまり $f^{-1}(U)$ は開集合である。

（$\Leftarrow$）

$a,\varepsilon >0$ を任意に取る。$U=\{\,y\in \mathbb {R} \ |\ |y-f(a)|<\varepsilon \,\}$ は開集合なので、仮定より $f^{-1}(U)$ も開集合である。

$f^{-1}(U)=\{x\in \mathbb {R} |f(x)\in U\}=\{x\in \mathbb {R} ||f(x)-f(a)|<\varepsilon \}$ であるから、つまりこの $\varepsilon$ に対して

$\exists \delta >0\ (\,|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon \,).$ すなわち $f$ は連続である。 q.e.d.