オートマトン/第一類/数学的準備/集合

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』

集合に関した基礎的な事項を簡単にまとめておく.

集合(set)とは,要素(element)の集まりである.対象となる要素はなんであってもいいし,特に集合を要素とする集合も通常は許容される. ある集合 があるとき,どんな要素が に属するかは明瞭に記述されなければならない. 例えば「0 と 1 からなる文字列」の集まりは集合である. 一つの集合には,同じ要素が重複して含まれることはない. 有限個の要素よりなる集合を有限集合(finite set),無限個の要素より成る集合を無限集合(infinite set)という.

集合の記法[編集]

要素 0, 1 の二つからなる集合は と表す. 個の要素 ならば )からなる集合は, と表す. 要素の順序は任意であり, は同じ集合である.

集合を表す記法として次のような方法もある. は実数の集合 に属し,かつ は, “ は実数の集合の集合 に属し,かつ ” という性質を満足するような をすべて集めた集合であり, 要素を列挙する記法で表せば, である.

一般に, に関する性質を としたとき,性質 を満足するような をすべて集めた集合を

と表す.さらに性質 と性質 をともに満足するような をすべて集めた集合を

かつ

と表す.

特に要素を一つも持たない集合は空集合(empty set) という.空集合は記号 で表す.

要素と集合[編集]

集合 が要素として を持つとき, に属する,あるいは を含むといい,

と表す. の要素ではないときは,

と表す.前提としてのすでに明らかな集合 があって,今は性質 に論述の力点があるときに

かつ

のように表示されることもある.例えば実数の集合を としたとき,先にあげた集合

とも表すことができる.

部分集合[編集]

集合 において,集合 の要素は必ず集合 であるとき, の部分集合(subset) であるという.またこのとき, に含まれる, あるいは, を含むといい,

と表す.例えば . 定義より 自身は の部分集合である.

また,空集合 はすべての集合の部分集合である,と定義する.

集合 において かつ であるとき,集合 は等しいといい,

と表す.


集合に対する演算[編集]

和集合[編集]

集合 に対し,そのいずれかに属する要素をすべて集めた集合 または 構文解析失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikibooks.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c \in B\}} を, の和集合 (union) という.これを

と表す.一般に集合 に対して あるいは あるいは の和集合といい,

と表す.

積集合[編集]

集合 とに共通して含まれる要素を集めた集合 かつ の積集合 (intersection, product) という.これを

と表す.一般に集合 に対して かつ かつ の積集合といい,

と表す.

差集合・補集合[編集]

集合 の要素の中から,集合 にも属する共通要素をすべて除いて得られる集合 かつ を, から を引いた差集合 (difference) という.これを

と表す.考察の前提または対象となる全要素が先に提示されていて,これを集合 (omega; これを全体集合あるいは普遍集合(universal set)という)とし, の部分集合 が与えられたときの の差集合

の( に関する)補集合 (complement) という.これを または と表す. 定義より が成り立つ.

次の公式はド・モルガン則と呼ばれている.

集合族・べき集合[編集]

集合を要素とする集合を,特に集合族 (family),あるいは集合のクラス (class) という.

集合 のすべての部分集合全体を考えたとき,これは集合の集合すなわち集合族である.すなわち は集合族をなす. この集合を のべき集合 (power set) といい, あるいは と記す.

例: のとき,

である.