集合に関した基礎的な事項を簡単にまとめておく.
集合(set)とは,要素(element)の集まりである.対象となる要素はなんであってもいいし,特に集合を要素とする集合も通常は許容される.
ある集合
があるとき,どんな要素が
に属するかは明瞭に記述されなければならない.
例えば「0 と 1 からなる文字列」の集まりは集合である.
一つの集合には,同じ要素が重複して含まれることはない.
有限個の要素よりなる集合を有限集合(finite set),無限個の要素より成る集合を無限集合(infinite set)という.
要素 0, 1 の二つからなる集合は
と表す.
個の要素
(
ならば
)からなる集合は,
と表す.
要素の順序は任意であり,
と
は同じ集合である.
集合を表す記法として次のような方法もある.
は実数の集合
に属し,かつ
は,
“
は実数の集合の集合
に属し,かつ
” という性質を満足するような
をすべて集めた集合であり,
要素を列挙する記法で表せば,
である.
一般に,
に関する性質を
としたとき,性質
を満足するような
をすべて集めた集合を
![{\displaystyle \{x\ |\ P(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05dc8186017646d9974b649aacc5e9fa5f4778b3)
と表す.さらに性質
と性質
をともに満足するような
をすべて集めた集合を
かつ ![{\displaystyle Q(y)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e4f2c0f4ce4a9a8e8ea44c14757571ea119566)
![{\displaystyle \{y\ |\ P(y),Q(y)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6d40bd87efcbab151bdc0a5dd3f0ef95c07885)
と表す.
特に要素を一つも持たない集合は空集合(empty set) という.空集合は記号
で表す.
集合
が要素として
を持つとき,
は
に属する,あるいは
は
を含むといい,
![{\displaystyle a\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97387981adb5d65f74518e20b6785a284d7abd5)
![{\displaystyle A\ni a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c041060d76b4f9b9e6e813cfd586a7dd7344e4)
と表す.
が
の要素ではないときは,
![{\displaystyle a\not \in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e4e150952933e385315fa2e5c1c93c84368502)
![{\displaystyle A\not \ni a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19dec0e0cd590972412ef227f47a75ffae776eef)
と表す.前提としてのすでに明らかな集合
があって,今は性質
に論述の力点があるときに
かつ ![{\displaystyle P(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3e8584b1aa5fee0009a55482ca6769cb0a1dd1)
は
![{\displaystyle \{x\in S\ |\ P(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de36b59d5b21ad8e03efd85198b467df7cf8981)
のように表示されることもある.例えば実数の集合を
としたとき,先にあげた集合
を
![{\displaystyle D=\{x\in {\mathit {R}}\ |\ x^{6}=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f36d65721671bd42135bb1eee7aabd607432e39e)
とも表すことができる.
集合
において,集合
の要素は必ず集合
であるとき,
は
の部分集合(subset) であるという.またこのとき,
は
に含まれる,
あるいは,
は
を含むといい,
![{\displaystyle A\subseteq B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09068bd2f7ba899aeb883ebe670b2ad07b0c851)
![{\displaystyle B\supseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fd7d8e0fa00d29c0d6a35ab2c3d4cd636bd136)
と表す.例えば
.
定義より
自身は
の部分集合である.
![{\displaystyle A\subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ce5093be9e30238b83393aed738eafd3a43030)
また,空集合
はすべての集合の部分集合である,と定義する.
集合
において
かつ
であるとき,集合
と
は等しいといい,
![{\displaystyle A=B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045cafe35b1e9c9ac889481fd7178d6f59a77fdb)
と表す.
集合
に対し,そのいずれかに属する要素をすべて集めた集合
または
を,
と
を
と
の和集合 (union) という.これを
![{\displaystyle C=A\cup B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93263fbf6f1bac90048d33794a0ff0c9da2dfba8)
と表す.一般に集合
に対して
あるいは
あるいは
を
の和集合といい,
![{\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots \cup S_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e99831a31264192502886d1c4a48a3b249ce0a9)
![{\displaystyle =\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c738f50c85db580dec2d95b9233d2bdded751c)
と表す.
集合
と
とに共通して含まれる要素を集めた集合
かつ
を
と
の積集合 (intersection, product) という.これを
![{\displaystyle C=A\cap B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c9b07a9a5d43def2756eb93434d5b250657ce3)
と表す.一般に集合
に対して
かつ
かつ
を
の積集合といい,
![{\displaystyle S=S_{1}\cap S_{2}\cap \cdots \cap S_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa38f472e35348014dac6252475b301f258ae15)
![{\displaystyle =\bigcap _{i=1}^{n}S_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66519bee4db498e9a462d11bb5376a3254140dab)
と表す.
集合
の要素の中から,集合
にも属する共通要素をすべて除いて得られる集合
かつ
を,
から
を引いた差集合 (difference) という.これを
![{\displaystyle C=A-B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e2f222cfc140db3a5e4bde302592416d5c1c10)
と表す.考察の前提または対象となる全要素が先に提示されていて,これを集合
(omega; これを全体集合あるいは普遍集合(universal set)という)とし,
の部分集合
が与えられたときの
と
の差集合
![{\displaystyle \Omega -A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88552175c9aa7125d8720dffd8487ba64672c684)
を
の(
に関する)補集合 (complement) という.これを
または
と表す.
定義より
が成り立つ.
次の公式はド・モルガン則と呼ばれている.
![{\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b63669c8a93e8ab33faecff37c72eaf8e93cb32)
![{\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6221733eae7cb566a727a5f49a3ee7955b760f)
集合を要素とする集合を,特に集合族 (family),あるいは集合のクラス (class) という.
集合
のすべての部分集合全体を考えたとき,これは集合の集合すなわち集合族である.すなわち
は集合族をなす.
この集合を
のべき集合 (power set) といい,
あるいは
と記す.
例:
のとき,
である.