中学数学2年 三角形と四角形

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図形の性質[編集]

直角三角形[編集]

Hypotenuse of right triangle japanese.svg

まず、直角三角形の用語を学ぼう。

直角三角形で、直角に対する線を 斜辺(しゃへん) という。

直角三角形

直角三角形の場合、三角形の合同条件に加え、次の条件がある。

  1. 斜辺とそれ以外の辺の1組がそれぞれ等しい
  2. 斜辺と1組の鋭角がそれぞれ等しい

内角に直角を持つこと、斜辺の長さが等しいことに、もう一つの条件が加わるので、条件の個数は3つ。これは、一般の三角形の合同条件と変わらないように思われがちだが、一般の三角形の合同条件には、向かい合った辺と角の大きさに注目したものはなかったのに対し、直角三角形の場合には、直角と斜辺が向かい合っているにもかかわらず、これに1つの条件を付け加えることで合同であることが明らかになる点が大きく異なる。 斜辺とそれ以外の辺の1組がそれぞれ等しい」については、直角三角形の外心が斜辺の中点に位チすることから、「3組の辺がそれぞれ等しい」ことを用いた合同から1組の鋭角が等しいことを導出できる。 「斜辺と1組の鋭角がそれぞれ等しい」については、三角形の内角の和が180°であることから、もう一つの鋭角がわかり、三角形の合同条件「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」が利用できる。

二等辺三角形[編集]

Definition of terms in each part of isosceles triangle japanese.svg

中学以上では、二等辺三角形の各部の用語を、右図および下記のように定義する。

  • 二等辺三角形では、長さの等しい2辺を等辺と呼び、等辺のつくる角(図では ∠A )を 頂角 (ちょうかく)という。
  • 頂角の見込む辺(二等辺三角形の周から、頂角が切り取る辺の意味)を 底辺 (ていへん)という。
  • 底辺の両端の角を 底角 (ていかく)という。

さて、二等辺三角形の重要な性質として、

二等辺三角形の底角の性質
二等辺三角形の底角は等しい。

という性質があります。

では、これから、このことを証明してみましょう。

証明
Theorem of base angles of isosceles triangles.svg

まず、頂角 ∠ A の二等分線を引き、この二等分線と辺BCとの交点をDとする。

すると、△ABDと△ACDは合同である。 なぜなら、

まず、点Dの決め方から、∠BAD と ∠CAD が等しい。
△ABDの辺ADと△ACDの辺ADは、もともと同じ線分ADだから長さは当然、等しい。
辺ABと辺ACは二等辺三角形△ABC 等辺だという仮定より、等しい長さを持つ。

よって、一つの角度と、その両端の辺の長さが等しいので、三角形の合同条件を満たしているので、

△ABD ≡ △ACD

である。

よって、合同な図形の対応する角どうしは等しく、角Bと角Cについては、頂点Bと頂点Cが 式 △ABD ≡ △ACD の2番目にある文字であることからも分かるように角Bと角Cは合同図形の対応しあう点なので、

∠ B = ∠ C

である。

そして、この角Bと角Cはそもそも底角であったので、よって二等辺三角形の底角どうしは等しい。 (証明 おわり)


上で証明された、「二等辺三角形の底角どうしは等しい」という性質は、数学では、さまざまな図形の性質の証明でも、説明の根拠として、よく利用される。

証明された ことがら のうち、説明の根拠として、よく利用されるものを 定理 (ていり)という。


定理:二等辺三角形の底角
二等辺三角形の底角は等しい。
※ イメージ図
「どうせ二等辺三角形だろう」という先入観を防ぐため、このイメージ図では、実際の図とは多少、辺の長さや角度を変えています。

では、二等辺三角形かどうかわかっていない、ある三角形ABC で、3つある内角のうち、2つの内角の大きさが等しいとき、その三角形ABCは、二等辺三角形といえるでしょうか? このことは、次のような証明で、検証できます。

証明

内角Aの二等分線をひき、辺BCとの交点をDとする。

△ABDと△ACDにおいて、

まず、点Dの決め方から、∠DAB = ∠DAC  ・・・ (1)
2内角が等しい仮定から、∠ABD = ∠ACD  ・・・ (2)

三角形の内角の和180°から、(1),(2)を辺々引いた残りも等しくなることから、

180°-((1)+(2))   ∠ADB = ∠ADC  ・・・ (3)

また、共通な線分が辺となり DA = DA     ・・・ (4)

(1),(3),(4) より、三角形の合同条件が満たされて、

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、△ABD ≡ △ACD

合同な図形の対応する辺は等しいので、

AB=AC ・・・(5)

(5)は、三角形ABCが二等辺三角形となることを表している。 そして、「2つの内角の大きさが等しい」で仮定した、大きさの等しい2つの内角が、二等辺三角形の底角に相当している。 このことから、三角形の2内角が等しいなら、二等辺三角形であることが証明できた。(証明 おわり)


このことから、次の定理が証明できました。

定理
2つの角が等しいならば二等辺三角形である。


この定理「2つの角が等しいならば二等辺三角形である」は、一つ前に紹介した定理「二等辺三角形の2つの底角は等しい」の仮定と結論を入れかえたものになっています。

文章だと分かりづらいかそいれませんが、式で表すと、定理「二等辺三角形の2つの底角は等しい」は、

「 AB = AC ならば ∠ B = ∠ C 」

です。

いっぽう、定理「2つの角が等しいならば二等辺三角形である」は、

「 ∠ B = ∠ C ならば AB = AC 」

です。

こうやって数式で見ると、仮定と結論とを入れかえたものになっています。

当然、ここでいう「仮定」と「結論」とは、どこの部分かというと、

「(仮定) ならば (結論)」

の箇所のことです。


これらの定理のように、ある定理の仮定と結論を入れ替えた定理のことを、定理の といいます。


定理「2つの角が等しいならば二等辺三角形である」の逆は、定理「二等辺三角形の2つの底角は等しい」です。

定理「二等辺三角形の2つの底角は等しい」の逆は、定理「2つの角が等しいならば二等辺三角形である」です。


このように、定理の 逆 があるとき、相手方の定理から見れば、もとの定理のほうが 逆 です。

たとえば、

「a>0 で b>0 ならば、a+b > 0 である。」

という主張は、もし正しいとしても、

逆の「a+b > 0 ならば、a>0 で b>0 である。」は正しくない。

なぜなら、たとえば a = 100 で b = -1 とすれば、a+b > 0 なのに a<0 (aが0より小さい)であるからだ。


また、これらの例(たとえば a = 100 で b = -1 とする)のように、 ある主張(「a+b > 0 ならば、a>0 で b>0 である。」)が成り立たないことを説明する具体例のことを 反例(はんれい) といいます。 反例は、1つ出せば、その内容が正しくないことを説明するのに、数学的には充分です。

数学で 逆 が正しくない場合があるのは、けっして文字式の分野だけではなく、図形の問題でも、逆が正しくない場合があります。

たとえば、「△ABCと△DEFが合同ならば、2つの三角形は等しい面積を囲む」(△ABC≡△DEF ならば △ABC=△DEF)は正しいが、その逆、 その逆の、「△ABCと△DEFが等積ならば、2つの三角形は合同な形を持つ」 (△ABC=△DEF ならば △ABC≡△DEF)は正しくない。 なぜなら、面積が同じでも、合同にならない三角形の例など、いくらでも出せるだろう(その一つ一つが反例となりうる)。

四角形[編集]

対辺と対角.svg

平行四辺形にかぎらず、一般に四角形において、向かい合う角どうしを 対角( たいかく)という。

たとえば図の場合、角Aと角Cは対角である。

向かい合う辺どうしを 対辺 (たいへん)という。



「対辺」という言葉を使うと、平行四辺形は、次のように定義される。

平行四辺形
平行四辺形の定義
2組の対辺がそれぞれ平行な四角形を、平行四辺形(へいこう しへんけい)という。


対辺という言葉を使わない場合、次のようにして平行四辺形は定義される。

対辺という言葉を使わない場合の、平行四辺形の定義
四角形ABCDで、AB//DC かつ AD // BC なら、その四角形ABCDは平行四辺形であるという。

平行四辺形[編集]

平行四辺形の図を見ると、平行四辺形では、対辺どうしの長さが等しいように見える。けれども、対辺の長さが等しくなることは、定義のどこにも含まれていない。そこで、平行四辺形でありさえすれば、対辺の長さはそれぞれ等しくなることを、証明してみよう。ここでは、平行四辺形ABCDについて、対辺ABとCDの長さが等しくなることを、三角形の合同を用いて証明する。準備として、図の中に対角線ACを引き、三角形を作っておこう。


証明
平行四辺形の対辺どうしの長さは等しいことの証明の図.svg

△ABCと△CDAに注目して、対応する辺や角の大きさを比較すると、

平行線 AB//DC の錯角で等しくなるため、∠CAB = ∠ACD ・・・(1)
平行線 BC//DA の錯角で等しくなるため、∠BCA = ∠DAC ・・・(2)
双方の三角形に共通している辺であるから、 CA = AC ・・・(3)

(1),(2),(3) より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しくなっているので、

△ABC ≡ △CDA

合同な図形の対応する辺の長さは等くなることが分かっているので、

AB=CD (証明 おわり)


(再掲)

ここでは、平行四辺形の対辺のうち、左右の1組(ABとCD)について、その長さが等しくなることを証明したが、平行四辺形の上下にあるもう1組の対辺(BCとDA)についても、平行四辺形の頂点の名前をひとつづつずらして読み替えることで、今の証明と全く同じ方法で明らかにすることができる。対辺が2組あるからと言って、それぞれについて証明しなくても、どちらか一方の組について証明できれば、すべての対辺について示されたことになる。 また、さきほど導いた右の図からも分かるように、等式(1)と(2)の辺々の和を考えると、平行四辺形の対角どうしの角度も等しいことが示される。

このことから、次の定理が証明できました。

定理
平行四辺形の対辺は等しい長さを持つ。


定理
平行四辺形の対角は等しい大きさを持つ。
対辺どうしの等しい四角形

いくつか前の定理で、平行四辺形では、対辺どうしの長さが等しいことを証明した。

では、逆の問題を考えてみよう。

つまり、対辺どうしの等しい四角形は、平行四辺形だろうか?


(証明)

Parallelogram ABCD and diagonal BD.svg

証明の方針としては、対角線を引き、錯角が等しいことを利用して辺が平行であることを導きだせばいい。 では、実際に証明にとりかかる。


まず、対角線BDを引く。

すると、△ABDと△CDBは、仮定と合わせると結果的に、3つの辺の長さが等しいから合同であり、記号であらわすと

△ABD ≡ △CBD

である。

念のためになぜ三辺が等しいかを述べると、

BDとDBは共通だし、

仮定から対辺どうしは等しいので、

AB=AD であり
BC=DA であるから

である。


ともかく、三辺が等しいために合同であるのでしたがって、 ∠ADB=∠CBD である。

錯角の角度が等しいので、よって  AD//BC ある。

同様にして AB // DC も証明できる。

そして、対辺どうしが平行の四角形であるので、平行四辺形であることが導ける。 (証明 おわり)

ひし形[編集]

長方形[編集]

平行線と面積[編集]

図において、ℓ//mであるとき, △ABC=△A'BC=△ABCとなります。
平行線と面積
定理 右上の図でℓ//mならば、△ABC=△A'BC=△ABCとなる。
平行線と面積の逆
定理 右上の図で△ABC=△A'BC=△ABCならば、ℓ//mとなる。