中学校数学 2年生-図形/合同な図形

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合同[編集]

三角形の合同[編集]

図のような三角形ABCと三角形DEFは合同である。

右図のように、2つの図形が、その図形の位置や向きをかえるだけで、形と大きさをかえずに一致させることができる場合、その2つの図形は 合同(ごうどう、英:congruence) である、という。

三角形GHIも、三角形ABCを左右にひっくり返して位置をズラしただけなので、三角形GHIと三角形ABCは合同である。


合同な図形には、次の性質があります。

合同な図形の性質
合同な図形では、対応する線分どうしの長さが等しい。
合同な図形では、対応する角どうしの角度が等しい。


四角形以上の合同[編集]

合同な2つの四角形。

四角形や五角形といった四角形以上でも同様に、ある図形が「合同である」とは、その図形の位置や向きをかえるだけで、形と大きさをかえずに一致させることができる場合のことである。

右の図の例では、

四角形ABCDと四角形EFGHは合同である。


記法[編集]

三角形ABCと三角形DEFが合同の場合に、合同であることをあらわす記号≡を使って、

    △ABC ≡ △DEF

のように書くことで、三角形ABCと三角形DEFが合同であることを記述したことになる。


なお、合同の記号 ≡ を使う時には、対応する頂点が同じ順番になるように書く。

たとえば、 △ABC ≡ △DEF なら、頂点AとDが対応、頂点BとEが対応、頂点CとFが対応、というふうに対応していると主張していることになる。


四角形や五角形などの場合の記法

四角形ABCDと四角形EFGHが合同の場合に、そのことを表す記法として、

    四角形ABCD ≡ 四角形EFGH

のように書く。三角形の場合とちがい、四角形では、四角であることを表す数学記号が無いので、上式のように式中に日本語(「四角形」)を使ってもよい。

四角形以上の場合でも、対応する頂点が同じ順番になるように書く。


五角形以上の場合も同様に、式中に

   五角形ABCDE ≡ 五角形 FGHIJ

のように、日本語を式中に使ってもよい。

合同条件[編集]

2つの図形が合同であるために、満たすべき条件を 合同条件(ごうどうじょうけん) という。

三角形[編集]

2つの三角形において、つぎの条件のいずれかが成り立つとき、その2つの三角形は合同である。


Triangles unique conditions japanese.svg


三角形の合同条件
2つの三角形は、次の3つの条件のどれかを満たす場合に、合同です。
  1. 3組の辺がそれぞれ等しい場合       
  2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい場合 
  3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい場合

2個の三角形が、上記の3つの条件のいずれかを満たすと、その2個の三角形は合同である。 この3つの条件のことを 三角形の合同条件(さんかっけい の ごうどうじょけん) という。

三角形の合同条件はまた、三角形を作図する際に、その三角形の形を1通りにするための条件でもあります。 言い方をかえると、もし、ある三角形について、合同条件を満たせる辺や角度の情報が当たれられたなら、その三角形と合同な三角形を作図できます。

直角三角形[編集]

直角三角形

直角三角形のうち、直角の対辺を斜辺という。

直角三角形の場合、三角形の合同条件に加え、次の条件がある。

  1. 斜辺とそれ以外の辺がそれぞれ等しい
  2. 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

たったこれだけの情報だけでも、直角三角形が合同だといえる。「斜辺とそれ以外の辺がそれぞれ等しい」については、中学3年で学ぶ「三平方の定理」が利用できる。「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい」については、三角形の内角の和が180°であることから、もう一つの鋭角がわかり、三角形の合同条件、「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」が利用できる。

図形の性質[編集]

二等辺三角形[編集]

三角形の辺のうちの2辺の長さが等しいとき、この三角形を 二等辺三角形(にとうへん さんかっけい) と呼ぶ。

二等辺三角形は、つぎの性質を持つ。

  1. 底角(2つの角)は等しい
  2. 頂角の二等分線は、底辺を2等分する
図の場合、角度α(アルファ)が底角である。

ここで、長さが等しい2辺を除いたもう1つの辺のことを 底辺(ていへん) と呼ぶ。 また、底辺のまわりにある2つの角のことを 底角(ていかく) と呼ぶ。さらに、 底角でない角のことを 頂角(ちょうかく) と呼ぶ。 二等辺三角形は次の性質を持っている。

底角の大きさは等しい。
頂角から底辺に下ろした垂線は、底辺を2等分する。
  • 導出

頂角に対応する点を点Aとし、底角に対応する点をそれぞれB,Cとする。 更に、頂角から底辺に下ろした垂線と底辺が交わる点を点Hと呼ぶ。 ここで、直角三角形ABHとACHに注目すると、 仮定から

であり、更にAHを共有している。 よって、直角三角形の2辺の長さが等しいことから 直角三角形ABHとACHは互いに合同であることが分かる。このことから、

となる。更に、

から、頂角から底辺に下ろした垂線が底辺をニ等分することが分かる。

よって、上の2つの性質が示された。

平行四辺形[編集]

  1. 2組の対辺はそれぞれ等しい
  2. 2組の対角はそれぞれ等しい
  3. 対角線はそれぞれの中点で交わる


平行四辺形は2組の向かい合う2辺がどちらも互いに平行である四角形である。 このとき、平行線の性質と三角形の合同条件を用いて平行四辺形の性質を 示すことが出来る。平行四辺形の性質は

向かい合う2辺の長さは等しい。
向かい合う2つの頂点で辺がなす角度は等しい。
対角線は互いに他を2等分する。
  • 導出

平行四辺形の頂点をある頂点から時計回りにABCDとする。更に、2本の対角線を 取り、その交点をMとする。

平行四辺形.png

まず、

向かい合う2辺の長さは等しい。

を示すため、三角形ADCと三角形ABCに注目し、これらが合同であることを示す。 まず、これらの2つの三角形は共通の辺ACを持つ。 更に、 ABとCDは平行、ADとBCは平行 なので、平行線における錯角の関係から、

が成り立つ。 よって、三角形ADCと三角形ABCは、1辺とそのまわりの2角が等しいこと から合同である。 このことから合同な三角形で対応する辺の長さが等しいことから、

となり、平行四辺形の対応する辺の長さが等しいことが分かった。 次に、

向かい合う2つの頂点で辺がなす角度は等しい。

については、例えば、

については、平行線の錯角の関係より

と、

が成り立つことから、

が成り立つことがわかる。よって、平行四辺形の向かい合う角は等しい。 更に、

対角線は互いに他を2等分する。

については、三角形ABEと三角形CDEが合同であることを示す。 まず、上で示したことから

となる。また、平行線の錯角の関係から

が得られる。よって、1辺とそのまわりの2角が等しいことから、 三角形ABEと三角形CDEが合同となる。よって、対応する辺であることから

が得られる。よって、平行四辺形の対角線は互いに他を2等分することが示された。