中等教育前期の数学/代数編/上巻/一次不等式と連立不等式

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中高一貫校の学習 >中等教育前期の数学・代数編(上)> 一次不等式と連立不等式


1次不等式[編集]

同じ大きさの量を「=」で結んだ式を方程式と呼ぶことを既に学習した。ここでは、異なった量の大きさの違いを表す記号と、その性質についてまとめる。

ある数A,Bがあるとき、AがBより大きいことをと表し、AがBより小さいこと(AがB未満)をと表す。ここで、「」と「」のことを不等号と呼び、このような式を不等式と呼ぶ。また、「」という不等号もあり、「」は、それぞれ「AがB以下」「AがB以上」という意味で、「」に、A=B、つまり、AとBが等しい値である場合をふくんだものである。なお、国際的には「」を使うことがある。


という不等式があるとき、xは7より大きい数である。また、の時には、xは7以上の数である。

不等式では等式と同じように、両辺に演算をしても不等号の関係が変わらないことがある。例えば、両辺に同じ数を足しても、両辺の大小関係は変化しない。ただし、両辺に負の数をかけたときには、不等号の向きが変化することに注意が必要である。これは、負の数をかけると両辺の値は、0を中心に数直線を折り返した地点に移されることによる。

不等式の性質
1. ならば、
2. ならば、
3. ならば、

が成り立つときには、も成り立つ。また、が成り立つ。

不等式の性質を使って

の両辺から3を引くと

よって

となる。
このように、不等式でも移項することができる

  • 問題

次の不等式を解きなさい。

  • 解答

不等式と数直線[編集]

は、数直線上では図1,2,3,4のようにあらわすことがある。


連立不等式[編集]

いくつかの不等式を組み合わせたものを連立不等式といい、これらの不等式を同時に満たすの値の範囲を求めることを、連立不等式を解くという。

  • 問題例
    • 問題

次の連立不等式を解きなさい。

(i)

(ii)

    • 解答

(i)
から 

……(1)

から 

……(2)

(1),(2)を同時に満たすの値の範囲は

Xは-2より大きく4以下.png

右の図のように、2つの範囲が重なるところを探すと

(ii)
から 

……(1)

から 

……(2)

(1),(2)を同時に満たすの値の範囲は

の形の連立不等式[編集]

の形の連立不等式は、

の形に直して解く。
や、
とはしない。