三角形の辺と角[編集]
三角形の辺と角の大小関係について、次のようなことが言える。
とし、辺AC上に点Dを、
となるようにとれば
……(1)
ところで、
は
の
の外角だから
……(2)
また、点Dは辺AC上にあるから
……(3)
(1),(2),(3)より、
- 逆(
ならば
の証明)
であって、
ではないとすると、次のどちらかが成り立つ。
……(1)
……(2)
(1)が成り立つとすると、二等辺三角形になるので、
(2)が成り立つとすると、前半で示したとおり、
どちらの場合も、仮定
に反する。
よって、
でなければならない。(証明終)
よって、逆も成立する。なお、このような証明法を 転換法 という。
三角形の3辺について、次のようなことが言える。
三角形の2辺の和
|
三角形の2辺の和は、残りの辺よりも大きい。
|
において、
を証明する。
辺BAをAの方に延長し、その上に点Dを、
となるようにとる。
は二等辺三角形であるから

において、点Aは辺BD上にあるから

よって、三角形の辺と角の大小関係より

の3辺の長さを、
とすると、上の定理より次のことがわかる。

三角形の2辺の差
|
三角形の2辺の差は、残りの辺よりも小さい。
|

であるから、
のとき、
より

のとき、
より

が成り立つ。
2つの定理より、三角形の3辺が
であるとき、

が成り立つことがわかる。(
は絶対値を表す記号。例えば
)
逆に、正の数
が不等式
を満たすとき、3辺の長さが
である三角形が存在する。
- 特に、最大のものが
ならば、
のみを満たせばよい。