中等教育前期の数学/幾何編/上巻/三角形の辺と角

三角形の辺と角

三角形の辺と角の大小関係について、次のようなことが言える。

三角形の辺と角の大小

$\triangle ABC$ において $AB<AC$ ならば $\angle B>\angle C$

• 証明

$AB<AC$ とし、辺AC上に点Dを、 $AD=AB$ となるようにとれば

$\angle ABD=\angle ADB$ ……(1)

ところで、$\angle ADB$ は $\triangle DBC$ の $\angle BDC$ の外角だから

$\angle ADB>\angle C$ ……(2)

また、点Dは辺AC上にあるから

$\angle B>\angle ABD$ ……(3)

(1),(2),(3)より、$\angle B>\angle C$

• 逆($\angle B>\angle C$ ならば $AB<AC$　の証明）

$\angle B>\angle C$ であって、$AB<AC$ ではないとすると、次のどちらかが成り立つ。

$AB=AC$ ……(1)

$AB>AC$ ……(2)

(1)が成り立つとすると、二等辺三角形になるので、$\angle B=\angle C$

(2)が成り立つとすると、前半で示したとおり、$\angle B<\angle C$

どちらの場合も、仮定 $\angle B>\angle C$ に反する。

よって、$AB<AC$でなければならない。(証明終)

よって、逆も成立する。なお、このような証明法を 転換法 という。

三角形の3辺について、次のようなことが言える。

三角形の2辺の和

三角形の2辺の和は、残りの辺よりも大きい。

• 証明

$\triangle ABC$ において、$AB+AC>BC$ を証明する。

辺BAをAの方に延長し、その上に点Dを、$AD=AC$ となるようにとる。

$\triangle ACD$ は二等辺三角形であるから

$\angle D=\angle ACD$

$\triangle BCD$ において、点Aは辺BD上にあるから

$\angle BCD>\angle ACD=\angle D$

よって、三角形の辺と角の大小関係より

$AB+AC=AB+AD=DB>BC$

$\triangle ABC$ の3辺の長さを、$BC=a\ ,\ CA=b\ ,\ AB=c$ とすると、上の定理より次のことがわかる。

$b+c>a\ ,\ c+a>b\ ,\ a+b>c$

三角形の2辺の差

三角形の2辺の差は、残りの辺よりも小さい。

• 証明

$b+c>a\ ,\ c+a>b\ ,\ a+b>c$

であるから、$b\geqq c$ のとき、$c+a>b$ より

$a>b-c$

$b<c$ のとき、$a+b>c$ より

$a>c-b$

が成り立つ。

2つの定理より、三角形の3辺が $a\ ,\ b\ ,\ c$ であるとき、

$|b-c|<a<b+c$

が成り立つことがわかる。($||$は絶対値を表す記号。例えば$|-2|=2$)

逆に、正の数 $a\ ,\ b\ ,\ c$ が不等式 $|b-c|<a<b+c$ を満たすとき、3辺の長さが $a\ ,\ b\ ,\ c$ である三角形が存在する。

特に、最大のものが$c$ならば、$a+b<c$ のみを満たせばよい。