三角形の辺と角の大小関係について、次のようなことが言える。
とし、辺AC上に点Dを、
となるようにとれば
……(1)
ところで、
は
の
の外角だから
……(2)
また、点Dは辺AC上にあるから
……(3)
(1),(2),(3)より、
- 逆(
ならば
の証明)
であって、
ではないとすると、次のどちらかが成り立つ。
……(1)
……(2)
(1)が成り立つとすると、二等辺三角形になるので、
(2)が成り立つとすると、前半で示したとおり、
どちらの場合も、仮定
に反する。
よって、
でなければならない。(証明終)
よって、逆も成立する。なお、このような証明法を 転換法 という。
三角形の3辺について、次のようなことが言える。
三角形の2辺の和
|
三角形の2辺の和は、残りの辺よりも大きい。
|
において、
を証明する。
辺BAをAの方に延長し、その上に点Dを、
となるようにとる。
は二等辺三角形であるから
![{\displaystyle \angle D=\angle ACD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336b4b4d27e5e6dae9ddcc1b018aed4150552530)
において、点Aは辺BD上にあるから
![{\displaystyle \angle BCD>\angle ACD=\angle D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae0982bb2d59b4cebbd5cc4d4e3430342ec2f0c)
よって、三角形の辺と角の大小関係より
![{\displaystyle AB+AC=AB+AD=DB>BC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf50f42fcab9722f706fbc86c8bb96cf617e4e5)
の3辺の長さを、
とすると、上の定理より次のことがわかる。
![{\displaystyle b+c>a\ ,\ c+a>b\ ,\ a+b>c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394e6a95d713167aabf3190b037b28632f0736d4)
三角形の2辺の差
|
三角形の2辺の差は、残りの辺よりも小さい。
|
![{\displaystyle b+c>a\ ,\ c+a>b\ ,\ a+b>c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394e6a95d713167aabf3190b037b28632f0736d4)
であるから、
のとき、
より
![{\displaystyle a>b-c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80f21faa79e6e434552c0e51ce9820fa58fc6b6)
のとき、
より
![{\displaystyle a>c-b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2291728a61bce8c9df7be2f843f53c2d3d106859)
が成り立つ。
2つの定理より、三角形の3辺が
であるとき、
![{\displaystyle |b-c|<a<b+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ec42f8c8e85f0e67b4418fcf04a4af1236757c)
が成り立つことがわかる。(
は絶対値を表す記号。例えば
)
逆に、正の数
が不等式
を満たすとき、3辺の長さが
である三角形が存在する。
- 特に、最大のものが
ならば、
のみを満たせばよい。