代数学入門

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抽象代数学の概要[編集]

世の中には、さまざまな演算がある。足し算や掛け算は、小学校の算数でもおなじみだろう。

代数学とは、足し算や掛け算といった数々の演算について、具体的な演算を行うのではなく、その性質を切り出してきて、議論するものである。抽象代数学における代表的な代数構造には、以下のようなものがある。

  • 束(そく)
  • 群(ぐん)
  • 環(かん)
  • 体(たい)

入門ということで、あえて、非常に厳密でないないが、直感的に解説をしてみる。厳密な定義は後述する。

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束(そく、lattice)は、集合の包含関係を抽象化した代数構造である。集合A,Bがあったときに、(AB) ∪ A = Aと(AB) ∩ A=Aが成り立つが、逆に、集合以外のものに対しても、この関係が成り立つかどうかに注目したものが束である。

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群(ぐん、group)は、いわゆる足し算や掛け算を抽象化した代数構造である。 具体的には、次のような演算·が定められているとき、

  • 単位元の存在。単位元eGとは、∀ xGに対して、x · e = e · x = xとなるようなeのこと。
  • すべての元の逆元が存在すること。逆元x-1とは、xGに対して、x · x-1 = eとなるような元のことである。
  • 結合則 a · (b · c) = (a · b) · c

おなじみの、整数の足し算や、有理数の掛け算などは、すべて、群になっている。

環・体[編集]

環(かん、ring)は、群にもう一つ演算を加え、二つの演算の関係について同時に論じたものである。例えば、おなじみの整数には、足し算と掛け算という二つの演算がある。足し算と掛け算は、独立に存在しているわけではなく、互いにある関係(分配法則という)をもっているので、関連付けて論じなければならない。

体(たい、英:field,ドイツ語: Körper,フランス語: corps)は、環の特殊なケースである。体は四則演算の自由にできる代数的構造を備えた集合のことである。

代数学の有用性とこのページの方針[編集]

代数学は、非常に抽象的であるので、さまざまな数学的対象について、応用できる。つまり、各論について深く論じようと思うと、きりがないほど深く論じることができる。

しかし、そのような各論についての学習は、多くの人の希望するところではないだろう。代数学は、主に情報科学の分野やコンピューターを利用する計算の仕組みの理解に役立つ。すなわち、工学的に応用できる。

にもかかわらず、代数学は、技術者教育の中では、あまり取り扱われていないように思える。このページでは、代数学に触れたことのない工学専攻の者を対象に、代数学の応用を交えながら、述べることにする。