出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
位相空間の定義を述べる。
- 定義 1.1
- 集合
及び
について、以下の3つの条件を満たすとき、
を位相空間と言う。


の任意の集合族
について、
- このときの
をそれぞれ台集合、位相ということがあり、位相が文脈から明らかなときは単に
は位相空間である、とも言われる。
の元を開集合という。また、位相を開集合系ということもある。
- 定義 1.2
を位相空間として、開集合の補集合を閉集合という。この位相空間の閉集合を全て集めた集合を、開集合系に対して、閉集合系という。閉集合系を式で書くと、

ド・モルガンの法則より、以下が成り立つ。
- 命題 1.3
を位相空間とし、その閉集合系を
とする。このとき、閉集合系は以下の3つの条件を満たす。


の任意の集合族
について、
- 証明
1 について
であるから、
2 について
とすると、閉集合は開集合の補集合であるから、閉集合の補集合は開集合である。すなわち、
- 定義 1.1 の 2 より、
、ゆえに 
3 について
を
の集合族とする。先ほどと同様に、各
は開集合。
- 定義 1.1 の 3 より、
ゆえに 