出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
位相空間の定義を述べる。
- 定義 1.1
- 集合
及び
について、以下の3つの条件を満たすとき、
を位相空間と言う。
![{\displaystyle \varnothing ,X\in {\mathcal {O}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84839fb1e2653a7c426b3c68154007268877260e)
![{\displaystyle \forall U,V\in {\mathcal {O}}\ (\ U\cap V\in {\mathcal {O}}\ )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b36e653c2090fef97e0a1a9263a506637a66cb)
の任意の集合族
について、![{\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }U_{\lambda }\in {\mathcal {O}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39af097a5b0b2f2790a7944ca0d4815eff60241)
- このときの
をそれぞれ台集合、位相ということがあり、位相が文脈から明らかなときは単に
は位相空間である、とも言われる。
の元を開集合という。また、位相を開集合系ということもある。
- 定義 1.2
を位相空間として、開集合の補集合を閉集合という。この位相空間の閉集合を全て集めた集合を、開集合系に対して、閉集合系という。閉集合系を式で書くと、
![{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\,U^{c}\ |\ U\in {\mathcal {O}}\,\}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce804286b848c27fd3647ad1631f629c28b08067)
ド・モルガンの法則より、以下が成り立つ。
- 命題 1.3
を位相空間とし、その閉集合系を
とする。このとき、閉集合系は以下の3つの条件を満たす。
![{\displaystyle \varnothing ,X\in {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c8c329fb5213cf6512ebcc55a115226bfc0bd1)
![{\displaystyle \forall U,V\in {\mathcal {F}}\ (\ U\cup V\in {\mathcal {F}}\ )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2a4b06bb6ac0785a8277295d3612c21abb0008)
の任意の集合族
について、![{\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda }F_{\lambda }\in {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b24cac90fa79614eb7050b6214d80bbfa5bb908)
- 証明
1 について
であるから、![{\displaystyle \varnothing ,X\in {\mathcal {F}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4daa4c185f3b76fae74817722e639c63b4105791)
2 について
とすると、閉集合は開集合の補集合であるから、閉集合の補集合は開集合である。すなわち、![{\displaystyle U^{c},V^{c}\in {\mathcal {O}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2232ede9587325105d7f5883246bb6de5c459282)
- 定義 1.1 の 2 より、
、ゆえに ![{\displaystyle U\cup V=(U^{c}\cap V^{c})^{c}\in {\mathcal {F}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a47b6298d86dd95a3de0d7decd3a08dfab64f64)
3 について
を
の集合族とする。先ほどと同様に、各
は開集合。
- 定義 1.1 の 3 より、
ゆえに ![{\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda }F_{\lambda }=(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }F_{\lambda }^{c})^{c}\in {\mathcal {F}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59157c73267906811999ccd0aeeeca389df2a88)