位相空間論/位相空間

位相空間の定義を述べる。

定義 1.1

集合 $X$ 及び ${\mathcal {O}}\subseteqq {\mathcal {P}}(X)$ について、以下の3つの条件を満たすとき、$(X,{\mathcal {O}})$ を位相空間と言う。

1. $\varnothing ,X\in {\mathcal {O}}$
2. $\forall U,V\in {\mathcal {O}}\ (\ U\cap V\in {\mathcal {O}}\ )$
3. ${\mathcal {O}}$ の任意の集合族 $\{U_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ について、$\bigcup _{\lambda \in \Lambda }U_{\lambda }\in {\mathcal {O}}$

このときの $X,{\mathcal {O}}$ をそれぞれ台集合、位相ということがあり、位相が文脈から明らかなときは単に $X$ は位相空間である、とも言われる。

${\mathcal {O}}$ の元を開集合という。また、位相を開集合系ということもある。

定義 1.2

$(X,{\mathcal {O}})$ を位相空間として、開集合の補集合を閉集合という。この位相空間の閉集合を全て集めた集合を、開集合系に対して、閉集合系という。閉集合系を式で書くと、

${\mathcal {F}}=\{\,U^{c}\ |\ U\in {\mathcal {O}}\,\}\ .$

ド・モルガンの法則より、以下が成り立つ。

命題 1.3

$(X,{\mathcal {O}})$ を位相空間とし、その閉集合系を ${\mathcal {F}}$ とする。このとき、閉集合系は以下の3つの条件を満たす。

1. $\varnothing ,X\in {\mathcal {F}}$
2. $\forall U,V\in {\mathcal {F}}\ (\ U\cup V\in {\mathcal {F}}\ )$
3. ${\mathcal {F}}$ の任意の集合族 $\{F_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ について、$\bigcap _{\lambda \in \Lambda }F_{\lambda }\in {\mathcal {F}}$

証明

1 について

${\begin{cases}\varnothing ^{c}=X\\X^{c}=\varnothing \end{cases}}\ \ \$ であるから、$\varnothing ,X\in {\mathcal {F}}.$

2 について

$U,V\in {\mathcal {F}}$ とすると、閉集合は開集合の補集合であるから、閉集合の補集合は開集合である。すなわち、$U^{c},V^{c}\in {\mathcal {O}}.$

定義 1.1 の 2 より、$U^{c}\cap V^{c}\in {\mathcal {O}}$ 、ゆえに $U\cup V=(U^{c}\cap V^{c})^{c}\in {\mathcal {F}}.$

3 について

$\{U_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ を ${\mathcal {F}}$ の集合族とする。先ほどと同様に、各 $F_{\lambda }^{c}$ は開集合。

定義 1.1 の 3 より、$\bigcup _{\lambda \in \Lambda }F_{\lambda }^{c}\in {\mathcal {O}}.$ ゆえに $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }F_{\lambda }=(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }F_{\lambda }^{c})^{c}\in {\mathcal {F}}.$