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位相空間論/位相空間

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』

位相空間の定義を述べる。

定義 1.1
集合 及び について、以下の3つの条件を満たすとき、位相空間と言う。
  1. の任意の集合族 について、
このときの をそれぞれ台集合位相ということがあり、位相が文脈から明らかなときは単に は位相空間である、とも言われる。
の元を開集合という。また、位相を開集合系ということもある。


定義 1.2
を位相空間として、開集合の補集合を閉集合という。この位相空間の閉集合を全て集めた集合を、開集合系に対して、閉集合系という。閉集合系を式で書くと、


ド・モルガンの法則より、以下が成り立つ。

命題 1.3
を位相空間とし、その閉集合系を とする。このとき、閉集合系は以下の3つの条件を満たす。
  1. の任意の集合族 について、
証明

1 について

であるから、

2 について

とすると、閉集合は開集合の補集合であるから、閉集合の補集合は開集合である。すなわち、
定義 1.1 の 2 より、 、ゆえに

3 について

の集合族とする。先ほどと同様に、各 は開集合。
定義 1.1 の 3 より、 ゆえに