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解析学において、収束や連続という概念が重要であるが、これらの概念はかなり実数の公理系に依存している。しかし、これらの概念は非常に有用なので、実数とは違う集合に対しても同様にこの概念を考えたい、ということで位相空間の理論が始まった。
位相空間は「開集合」というもので定義される。実数において連続という概念は ε-δ 論法で定義されるが、実はこの開集合という概念で連続を定義できる。まず、開集合の定義と ε-δ 論法での連続の定義を確認する。
定義 (開集合の定義)
- 集合
が開集合であるとは、
が成り立つことをいう。
定義 (連続の定義)
- 関数
が
で連続であるとは、
が成り立つことをいう。
の全ての点で連続のとき、
で連続、または単に連続であるという。
このとき、次の命題が成り立つ。
命題
- 関数
が連続
任意の開集合
について、
が開集合
証明
- (
)
として、
とおく。
なので、開集合の定義より、
が成り立つ。
- さて、ここで
が連続であるという仮定から、この
に対して、![{\displaystyle \exists \delta >0\ \forall x\ (\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-y_{0}|<\varepsilon \ )\ \ \cdots (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490fcbd869b9846ff4398b4ece50408530d17882)
- (1), (2) より、
![{\displaystyle \exists \delta >0\ \forall x\ (\,|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow f(x)\in U\,).\ \ \cdots (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fc3815fb69d6187106b1168d0a3473e9c1bc2b)
であり、
より、(3) から![{\displaystyle \exists \delta >0\ \forall x\ (\,|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow x\in f^{-1}(U)\,)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5993af91782ceedd60665f38dac1344be4708465)
- ところで、
の取り方は任意だったので、つまり
は開集合である。
- (
)
を任意に取る。
は開集合なので、仮定より
も開集合である。
であるから、つまりこの
に対して
すなわち
は連続である。 q.e.d.