体論

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ここでは体論について解説する。

体の定義[編集]

定義[編集]

環論で述べたように、体とは任意の元が単元である可換環のことである。念のためここにも公理的に書けば、下のとおりである。

公理 集合Kが体であるとは、加法と乗法という二つの演算が定義されていて、次が成り立つことである。

標数[編集]

環論において任意の環は -代数であることをみた。特に体 も環であるので、自然な環準同型 がある。このとき、 は PID であることから、ある非負整数 を用いて と書ける。この を体 標数という。

の標数が のとき、 である。すなわち、 の任意の元は 回足すと( 倍すると) になる。標数とは、そのような数と理解することができる。 の元はどんな正整数をかけても にはならない。すなわち標数はである。

命題 体の標数は か素数である。

(証明)
の標数 と分解すると仮定すると、 において、
ととなり、公理 10. と矛盾する。したがって体の標数は か素数である。

もっとも、これでは体の標数の必要条件を調べただけである。標数0の体が存在することは確かめたが、各素数に対してその素数を標数とする体は存在するだろうか?結論を先に言えば、存在する。

命題 素数pに対しては(標数pの)体である。

(証明)
pと互いに素な任意の整数aに対して、ある整数m,nが存在して
とできる。これを標準的な全射でに移すことで、
であることがわかる。すなわち、が存在する。

体の拡大[編集]

群においては部分群、環においては部分環という概念があったように、体にも部分体という概念がある。

定義 体 となっており、両者の演算と単位元が一致するとき、 の部分体、 の拡大体であるという。またこのとき、「 は体の拡大である」という。

拡大の記号は商の記号と若干紛らわしいが、混同するおそれはほとんどない[1]

命題 体の拡大 があるとき、 上の線型空間である。

(証明)
線型代数学/線型空間#線型空間の公理の 5.~8. を満たす。//

この線型空間が有限次元のとき、 は有限次拡大であるという。このときこの線型空間の次元を と書き、この拡大の拡大次数と呼ぶ。

命題 体 の元を係数とする多項式 [2]で既約であれば,剰余環[3] は体である。

(証明)零でない元 が乗法に関して逆元を持つことを示せばよい。 は既約多項式であるので, であれば は互いに素である。したがって,
を満たす多項式 が存在する。これにより となり, が乗法に関して逆元を持つ。//


は単射であり,体 の構造を保つ。によって、 を同一視することにより、の拡大体である。

  1. ^ 体のイデアルは自明なものしかないので、イデアルによる剰余環を考える意味はほとんどないからである。
  2. ^ [[多項式環>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0]]
  3. ^ 環論#剰余環

代数拡大[編集]

を体として、 係数の多項式を任意に取ったとき、その根が にあるとは限らない。しかし、 を拡大した体には根があるかもしれない。そのような類のことについて少し考えてみよう。

定義  を体の拡大とする。

  1. の元 に対して、ある でない 係数の多項式 があって を満たすとき、 上代数的であるという。そうでないとき 上超越的であるという。
  2. の任意の元が 上代数的であるとき、 上代数的であるといい、 は代数拡大であるという。そうでないとき、 上超越的であるといい、 は超越拡大であるという。

簡単にわかる例として、 は代数拡大である。実際、任意の元を考えると、係数の多項式に対してが成り立つからである。一方、 は超越拡大であることが知られている。

命題 有限次拡大は代数拡大である。

(証明)
次拡大とする。すると、 の元 を任意に取ったとき、 個の元 上一次独立ではない。すなわち、どれかひとつは でない の元の組 で、 を満たすものが存在する。これは、 でない 係数多項式 を根に持つということにほかならない。すなわち、 上代数的である。//

体の同型写像[編集]

中への同型[編集]

定義 体 から体 への写像 が次の条件を満たすとき, 体 から 体 中への同型 (into-isomorphism) という。

  1. の任意の元 に対して, かつ
  2. の単位元をともに と記すと

命題 体 から体 への写像 が,上記の1.を満たすならば, は零写像すなわち, のすべての元 に対して であるか,または,中への同型写像である。

(証明)
であるから、またはである。ならば は中への同型写像である。一方であれば、任意の元 に対してであるから、 は零写像である。//

命題 体 から体 への中への同型写像 は単射である。

(証明)
とすると、 なので、 である。 ならば、 が存在する。 なので、 である。ところで、 なので、である。これは矛盾。よって、ならばである。すなわち、は単射である。//

上への同型[編集]

定義 体 から体 への中への同型写像 が全射でもあるとき, は、 から への上への同型 (onto-isomorphisim) または 全射同型 (surjective isomorphisim) または単に同型といい、 とは体として同型であるという。

定義 体 と体 が共通の部分体 を持ち、中への同型写像 がさらに条件

  1. 任意の に対して

を満足するとき、 上の中への同型写像 (into-isomorphism over ) という。

自己同型[編集]

定義  上の中への同型写像 において,特に であり、 上の全射同型写像であるとき、 上の自己同型 (automorphismu over )という。 上の自己同型の全体を と記す。

命題  は写像の合成によって群をなす。

命題 の元を係数とする既約な 次多項式 の根 に対して

上の同型写像である。

(証明) の2元
とすると、
1. は直ちに成り立つ。
2. に対応する多項式
とおくと、
であり、二つの多項式の積を
と書くと、
である。したがって、 が成り立つ。
3. に対しては で恒等写像であるので, 上同型写像である。//