ここでは体論について解説する。
環論で述べたように、体とは任意の元が単元である可換環のことである。念のためここにも公理的に書けば、下のとおりである。
公理 集合Kが体であるとは、加法と乗法という二つの演算が定義されていて、次が成り立つことである。
![{\displaystyle a,b,c\in K\Rightarrow (a+b)+c=a+(b+c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1100ccef3c2913b41fc0a6eec4b2097d46a8712f)
![{\displaystyle \exists 0\ s.t.\ \forall a\in K\ a+0=0+a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5416d28d6dfa24a189b13072928ca55aa4ddaa51)
![{\displaystyle \forall a\in K\exists -a\in K\ s.t.\ a+(-a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32caff0e06d09f153d40250533ea012b3118ea3c)
![{\displaystyle a,b\in K\Rightarrow a+b=b+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f732e49df92cd1d92371bcda3db5c1673011a3)
![{\displaystyle a,b,c\in K\Rightarrow (ab)c=a(bc)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad33ee3fe0b8b7085ee59b585eb305cc38a12f87)
![{\displaystyle \exists 1\ s.t.\ \forall a\in K\ a1=1a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9278e3fa5fd3ea6a4b7385c0153d02dd51884f)
![{\displaystyle \forall a\in K\smallsetminus \{\ 0\}\ \exists a^{-1}\in K\ s.t.\ aa^{-1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6abb6657688c825c828fd7ae0d00563ecc6a269)
![{\displaystyle a,b\in K\Rightarrow ab=ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c95b088ea181d463bec60589e786021ad032623)
![{\displaystyle a,b,c\in K\Rightarrow (a+b)c=ac+bc,a(b+c)=ab+ac}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad5998dc8e9cc762709de9189e18d864ea1d5a9)
![{\displaystyle 0\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5add705e86314a6ce57c76d7493896b092661a75)
環論において任意の環は
-代数であることをみた。特に体
も環であるので、自然な環準同型
がある。このとき、
は PID であることから、ある非負整数
を用いて
と書ける。この
を体
の標数という。
の標数が
のとき、
である。すなわち、
の任意の元は
回足すと(
倍すると)
になる。標数とは、そのような数と理解することができる。
の元はどんな正整数をかけても
にはならない。すなわち標数は
である。
命題 体の標数は
か素数である。
- (証明)
体
の標数
が
と分解すると仮定すると、
において、
![{\displaystyle 1_{K}={\frac {n_{1}}{n_{1}}}{\frac {n_{2}}{n_{2}}}\cdot 1_{K}=n_{1}n_{2}{\frac {1}{n_{1}}}{\frac {1}{n_{2}}}\cdot 1_{K}=0_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0e5f29b9d5e7837d320c396db1c2b3d0519aab)
- ととなり、公理 10. と矛盾する。したがって体の標数は
か素数である。
もっとも、これでは体の標数の必要条件を調べただけである。標数0の体が存在することは確かめたが、各素数に対してその素数を標数とする体は存在するだろうか?結論を先に言えば、存在する。
命題 素数pに対して
は(標数pの)体である。
- (証明)
pと互いに素な任意の整数aに対して、ある整数m,nが存在して
![{\displaystyle am+pn=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c56caba4297d889114d50a111c6e169a724966)
- とできる。これを標準的な全射で
に移すことで、
![{\displaystyle {\bar {a}}{\bar {m}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eda63acedb83230dbbdf1fad16c383ba0fe3122)
- であることがわかる。すなわち、
が存在する。
群においては部分群、環においては部分環という概念があったように、体にも部分体という概念がある。
定義 体
が
となっており、両者の演算と単位元が一致するとき、
は
の部分体、
は
の拡大体であるという。またこのとき、「
は体の拡大である」という。
拡大の記号は商の記号と若干紛らわしいが、混同するおそれはほとんどない[1]。
命題 体の拡大
があるとき、
は
上の線型空間である。
- (証明)
線型代数学/線型空間#線型空間の公理の 5.~8. を満たす。//
この線型空間が有限次元のとき、
は有限次拡大であるという。このときこの線型空間の次元を
と書き、この拡大の拡大次数と呼ぶ。
補題
を体とする。ある添字集合
があって,任意の
に
の部分体
が対応しているとする。これらの共通部分
は
の部分体である。
- (証明)
とすると,任意の
について
あり、
は体であるから,
である.さらに
ならば
である.以上により
,
ならば
//
を体
の拡大体として,
とする.このとき
と
を含むような
の部分体のうち最小のものが存在する.実際
と
を含むような
のすべての部分体を考え,それらの共通部分をとればよい.この体を
と表して,
に
を添加した体,または
上
で生成される体という.特に
のとき,
を
の単純拡大(体)という.
命題 体
の元を係数とする多項式
が
[2]で既約であれば,剰余環[3]
は体である。
- (証明)零でない元
が乗法に関して逆元を持つことを示せばよい。
は既約多項式であるので,
であれば
と
は互いに素である。したがって,
![{\displaystyle r(x)f(x)+s(x)g(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945378e7f5ef3a646db631374e782f9b8bec13ff)
- を満たす多項式
が存在する。これにより
となり,
が乗法に関して逆元を持つ。//
は単射であり,体
の構造を保つ。
によって、
と
を同一視することにより、
は
の拡大体である。
- ^ 体のイデアルは自明なものしかないので、イデアルによる剰余環を考える意味はほとんどないからである。
- ^ [[多項式環>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0]]
- ^ 環論#剰余環
を体として、
係数の多項式を任意に取ったとき、その根が
にあるとは限らない。しかし、
を拡大した体には根があるかもしれない。そのような類のことについて少し考えてみよう。
定義
を体の拡大とする。
の元
に対して、ある
でない
係数の多項式
があって
を満たすとき、
は
上代数的であるという。そうでないとき
は
上超越的であるという。
の任意の元が
上代数的であるとき、
は
上代数的であるといい、
は代数拡大であるという。そうでないとき、
は
上超越的であるといい、
は超越拡大であるという。
簡単にわかる例として、
は代数拡大である。実際、任意の元
を考えると、
係数の多項式
に対して
が成り立つからである。一方、
は超越拡大であることが知られている。
命題 有限次拡大は代数拡大である。
- (証明)
を
次拡大とする。すると、
の元
を任意に取ったとき、
個の元
は
上一次独立ではない。すなわち、どれかひとつは
でない
の元の組
で、
を満たすものが存在する。これは、
でない
係数多項式
が
を根に持つということにほかならない。すなわち、
は
上代数的である。//
例 有理数体
の元
を平方数でない,すなわち
となる有理数
が存在しないと,仮定する。
この仮定は
が
上で既約であることと同値である。このとき,
![{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]=\{a+b{\sqrt {D}}|a,b\in \mathbb {Q} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ee54bb608487cd6899d054b8c712d95229506a)
は
であれば
の部分体であり、
であれば
の部分体であり、
の拡大体である。
- (証明)
![{\displaystyle (a+b{\sqrt {D}})+(a'+b'{\sqrt {D}})=(a+a')+(b+b'){\sqrt {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67164c3dfce6ae83e380c617c2135cc358db7a86)
![{\displaystyle (a+b{\sqrt {D}})\cdot (a'+b'{\sqrt {D}})=(aa'+bb'D)+(ab'+a'b){\sqrt {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22666cb54381d6e57c90af415c2a10cacda69d1)
- であるので、
は、和と積に関して閉じている。また,
![{\displaystyle -(a+b{\sqrt {D}})=(-a)+(-b){\sqrt {D}}\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d2f733daf20de26e104f85a2a4427c2c1e683f)
- となり、和に関する逆元も
に含まれている。さらに、
![{\displaystyle (a+b{\sqrt {D}})^{-1}={\frac {1}{(a+b{\sqrt {D}})}}={\frac {a-b{\sqrt {D}}}{(a+b{\sqrt {D}})(a-b{\sqrt {D}})}}={\frac {a-b{\sqrt {D}}}{a^{2}-b^{2}D}}\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189f079e16b7fabe29da52efde7bb3a31cf80e9e)
- となり、積に関する逆元も
に含まれている。//
定義 体
から体
への写像
が次の条件を満たすとき,
体
から 体
の中への同型 (into-isomorphism) という。
の任意の元
に対して,
かつ ![{\displaystyle \phi (ab)=\phi (a)\phi (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b07bd401ab1b2d6630cea97801a02e14f4677a34)
の単位元をともに
と記すと ![{\displaystyle \phi (1)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57555c3ad71e8e6164d70b1713fe0b80e84113a1)
命題 体
から体
への写像
が,上記の1.を満たすならば,
は零写像すなわち,
のすべての元
に対して
であるか,または,中への同型写像である。
- (証明)
であるから、
または
である。
ならば
は中への同型写像である。一方
であれば、任意の元
に対して
であるから、
は零写像である。//
命題 体
から体
への中への同型写像
は単射である。
- (証明)
とすると、
なので、
である。
ならば、
が存在する。
なので、
である。ところで、
なので、
である。これは矛盾。よって、
ならば
である。すなわち、
は単射である。//
定義 体
から体
への中への同型写像
が全射でもあるとき,
は、
から
への上への同型 (onto-isomorphisim) または 全射同型 (surjective isomorphisim) または単に同型といい、
と
とは体として同型であるという。
定義 体
と体
が共通の部分体
を持ち、中への同型写像
がさらに条件
- 任意の
に対して ![{\displaystyle \phi (a)=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dba084f86963e045da42143bd3e5720932114e9)
を満足するとき、
を
上の中への同型写像 (into-isomorphism over
) という。
定義
上の中への同型写像
において,特に
であり、
が
上の全射同型写像であるとき、
を
の
上の自己同型 (automorphismu over
)という。
の
上の自己同型の全体を
と記す。
![{\displaystyle \operatorname {Aut} _{K}(L)=\{\phi :L\to L\;|\;\phi (a)=a,\;a\in K\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75c7740cfcc3ffb6b18c09509ac48f4a287dccc)
命題
は写像の合成によって群をなす。
命題 体
の元を係数とする既約な
次多項式
の根
に対して
![{\displaystyle a_{0}+a_{1}\alpha +\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1}\mapsto a_{0}+a_{1}\beta +\cdots +a_{n_{1}}\beta ^{n-1},\;a_{j}\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e66a251152e2ba9acb46bc7fd10949925ce850)
は
上の同型写像である。
- (証明)
の2元
を
![{\displaystyle u=a_{0}+a_{1}\alpha +\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e31400a5a7cbffda770cdff7e9cf8ab37acd017)
とすると、
- 1.
は直ちに成り立つ。
- 2.
に対応する多項式
を
![{\displaystyle g(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a33a81acd0dfd2736c2642c7e75e5a819ec27f0)
とおくと、
![{\displaystyle u=g(\alpha )\;\mapsto \phi (u)=g(\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97246c4d9162ba34e3a48c35185cb341a7291a56)
![{\displaystyle v=h(\alpha )\;\mapsto \phi (v)=h(\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff73812522ce72401c85e7924df63caf6d2f35e2)
- であり、二つの多項式の積を
![{\displaystyle g(x)h(x)=s(x)f(x)+e(x),\;\;\operatorname {deg} e(x)<\operatorname {deg} f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a80b95e0a972573bbf9bd7b9b388df3e644f55)
- と書くと、
![{\displaystyle uv=g(\alpha )h(\alpha )=s(\alpha )f(\alpha )+e(\alpha )=s(\alpha )\cdot 0+e(\alpha )=e(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d884d686e31332f71bbc9976123d371492d44e)
![{\displaystyle \phi (u)\phi (v)=g(\beta )h(\beta )=s(\beta )f(\beta )+e(\beta )=s(\beta )\cdot 0+e(\beta )=e(\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a48c429bd8d11b7fb178cd8d635d4c17c7b01c2)
- である。したがって、
が成り立つ。
- 3.
に対しては
で恒等写像であるので,
は
上同型写像である。//