ここでは体論について解説する。
環論で述べたように、体とは任意の元が単元である可換環のことである。念のためここにも公理的に書けば、下のとおりである。
公理 集合Kが体であるとは、加法と乗法という二つの演算が定義されていて、次が成り立つことである。
環論において任意の環は -代数であることをみた。特に体 も環であるので、自然な環準同型 がある。このとき、 は PID であることから、ある非負整数 を用いて と書ける。この を体 の標数という。
の標数が のとき、 である。すなわち、 の任意の元は 回足すと( 倍すると) になる。標数とは、そのような数と理解することができる。 の元はどんな正整数をかけても にはならない。すなわち標数はである。
命題 体の標数は か素数である。
- (証明)
体 の標数 が と分解すると仮定すると、 において、
- ととなり、公理 10. と矛盾する。したがって体の標数は か素数である。
もっとも、これでは体の標数の必要条件を調べただけである。標数0の体が存在することは確かめたが、各素数に対してその素数を標数とする体は存在するだろうか?結論を先に言えば、存在する。
命題 素数pに対しては(標数pの)体である。
- (証明)
pと互いに素な任意の整数aに対して、ある整数m,nが存在して
- とできる。これを標準的な全射でに移すことで、
- であることがわかる。すなわち、が存在する。
群においては部分群、環においては部分環という概念があったように、体にも部分体という概念がある。
定義 体 が となっており、両者の演算と単位元が一致するとき、 は の部分体、は の拡大体であるという。またこのとき、「 は体の拡大である」という。
拡大の記号は商の記号と若干紛らわしいが、混同するおそれはほとんどない[1]。
命題 体の拡大 があるとき、 は 上の線型空間である。
- (証明)
線型代数学/線型空間#線型空間の公理の 5.~8. を満たす。//
この線型空間が有限次元のとき、 は有限次拡大であるという。このときこの線型空間の次元を と書き、この拡大の拡大次数と呼ぶ。
補題 を体とする。ある添字集合 があって,任意の に の部分体 が対応しているとする。これらの共通部分 は の部分体である。
- (証明)
とすると,任意の について あり、 は体であるから, である.さらに ならば である.以上により , ならば //
を体 の拡大体として, とする.このとき と を含むような の部分体のうち最小のものが存在する.実際 と を含むような のすべての部分体を考え,それらの共通部分をとればよい.この体を と表して, に を添加した体,または 上 で生成される体という.特に のとき, を の単純拡大(体)という.
命題 体 の元を係数とする多項式 が [2]で既約であれば,剰余環[3] は体である。
- (証明)零でない元 が乗法に関して逆元を持つことを示せばよい。 は既約多項式であるので, であれば と は互いに素である。したがって,
- を満たす多項式 が存在する。これにより となり, が乗法に関して逆元を持つ。//
は単射であり,体 の構造を保つ。によって、
と を同一視することにより、 は の拡大体である。
- ^ 体のイデアルは自明なものしかないので、イデアルによる剰余環を考える意味はほとんどないからである。
- ^ [[多項式環>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0]]
- ^ 環論#剰余環
を体として、 係数の多項式を任意に取ったとき、その根が にあるとは限らない。しかし、 を拡大した体には根があるかもしれない。そのような類のことについて少し考えてみよう。
定義 を体の拡大とする。
- の元 に対して、ある でない 係数の多項式 があって を満たすとき、 は 上代数的であるという。そうでないとき は 上超越的であるという。
- の任意の元が 上代数的であるとき、 は 上代数的であるといい、 は代数拡大であるという。そうでないとき、 は 上超越的であるといい、 は超越拡大であるという。
簡単にわかる例として、 は代数拡大である。実際、任意の元を考えると、係数の多項式に対してが成り立つからである。一方、 は超越拡大であることが知られている。
命題 有限次拡大は代数拡大である。
- (証明)
を 次拡大とする。すると、 の元 を任意に取ったとき、 個の元 は 上一次独立ではない。すなわち、どれかひとつは でない の元の組 で、 を満たすものが存在する。これは、 でない 係数多項式 が を根に持つということにほかならない。すなわち、 は 上代数的である。//
例 有理数体 の元 を平方数でない,すなわち となる有理数 が存在しないと,仮定する。
この仮定は が 上で既約であることと同値である。このとき,
は であれば の部分体であり、 であれば の部分体であり、 の拡大体である。
- (証明)
- であるので、 は、和と積に関して閉じている。また,
- となり、和に関する逆元も に含まれている。さらに、
- となり、積に関する逆元も に含まれている。//
定義 体 から体 への写像 が次の条件を満たすとき,
体 から 体 の中への同型 (into-isomorphism) という。
- の任意の元 に対して, かつ
- の単位元をともに と記すと
命題 体 から体 への写像 が,上記の1.を満たすならば, は零写像すなわち,
のすべての元 に対して であるか,または,中への同型写像である。
- (証明)
であるから、またはである。ならば は中への同型写像である。一方であれば、任意の元 に対してであるから、 は零写像である。//
命題 体 から体 への中への同型写像 は単射である。
- (証明)
とすると、 なので、 である。 ならば、 が存在する。 なので、 である。ところで、 なので、である。これは矛盾。よって、ならばである。すなわち、は単射である。//
定義 体 から体 への中への同型写像 が全射でもあるとき, は、 から への上への同型 (onto-isomorphisim) または 全射同型 (surjective isomorphisim) または単に同型といい、 と
とは体として同型であるという。
定義 体 と体 が共通の部分体 を持ち、中への同型写像 がさらに条件
- 任意の に対して
を満足するとき、 を 上の中への同型写像 (into-isomorphism over ) という。
定義 上の中への同型写像 において,特に であり、 が 上の全射同型写像であるとき、 を の 上の自己同型 (automorphismu over )という。
の 上の自己同型の全体を と記す。
命題 は写像の合成によって群をなす。
命題 体 の元を係数とする既約な 次多項式 の根 に対して
-
は 上の同型写像である。
- (証明) の2元 を
- とすると、
- 1. は直ちに成り立つ。
- 2. に対応する多項式 を
- とおくと、
- であり、二つの多項式の積を
- と書くと、
- である。したがって、 が成り立つ。
- 3. に対しては で恒等写像であるので, は 上同型写像である。//