体論

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ここでは体論について解説する。

体の定義

定義

環論で述べたように、体とは任意の元が単元である可換環のことである。念のためここにも公理的に書けば、下のとおりである。

公理　集合Kが体であるとは、加法と乗法という二つの演算が定義されていて、次が成り立つことである。

1. $a,b,c\in K\Rightarrow (a+b)+c=a+(b+c)$
2. $\exists 0\in K\ s.t.\ \forall a\in K,\ a+0=0+a=a$
3. $\forall a\in K\exists -a\in K\ s.t.\ a+(-a)=0$
4. $a,b\in K\Rightarrow a+b=b+a$
5. $a,b,c\in K\Rightarrow (ab)c=a(bc)$
6. $\exists 1\ s.t.\ \forall a\in K\ a1=1a=a$
7. $\forall a\in K\smallsetminus \{0\},\exists a^{-1}\in K\ s.t.\ aa^{-1}=1$
8. $a,b\in K\Rightarrow ab=ba$
9. $a,b,c\in K\Rightarrow (a+b)c=ac+bc,a(b+c)=ab+ac$
10. $0\neq 1$

標数

環論において任意の環は $\mathbb {Z}$ -代数であることをみた。特に体 $K$ も環であるので、自然な環準同型 $f:\mathbb {Z} \to K$ がある。このとき、$\mathbb {Z}$ は PID であることから、ある非負整数 $n$ を用いて $\ker f=n\mathbb {Z}$ と書ける。この $n$ を体 $K$ の標数という。

$K$ の標数が $n$ のとき、$\forall x\in K\ f(n)\cdot x=0$ である。すなわち、$K$ の任意の元は $n$ 回足すと（$n$ 倍すると）$0_{K}$ になる。標数とは、そのような数と理解することができる。 $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ の元はどんな正整数をかけても$0$ にはならない。すなわち標数は$0$である。

命題　体の標数は $0$ か素数である。

（証明）
体 $K$ の標数 $n$ が $n=n_{1}n_{2}(n_{1},n_{2}>0,n_{1},n_{2}\neq 1)$と分解すると仮定すると、$K$ において、

$1_{K}={\frac {n_{1}}{n_{1}}}{\frac {n_{2}}{n_{2}}}\cdot 1_{K}=n_{1}n_{2}{\frac {1}{n_{1}}}{\frac {1}{n_{2}}}\cdot 1_{K}=0_{K}$

ととなり、公理 10. と矛盾する。したがって体の標数は $0$ か素数である。

もっとも、これでは体の標数の必要条件を調べただけである。標数0の体が存在することは確かめたが、各素数に対してその素数を標数とする体は存在するだろうか？結論を先に言えば、存在する。

命題　素数pに対して$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$は（標数pの）体である。

（証明）
pと互いに素な任意の整数aに対して、ある整数m,nが存在して

$am+pn=1$

とできる。これを標準的な全射で$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$に移すことで、

${\bar {a}}{\bar {m}}=1$

であることがわかる。すなわち、${\bar {a}}^{-1}={\bar {m}}$が存在する。

体の拡大

群においては部分群、環においては部分環という概念があったように、体にも部分体という概念がある。

定義　体 $K,L$ が $K\subset L$ となっており、両者の演算と単位元が一致するとき、$K$ は $L$ の部分体、$L$は $K$ の拡大体であるという。またこのとき、「$L/K$ は体の拡大である」という。

拡大の記号は商の記号と若干紛らわしいが、混同するおそれはほとんどない。

命題　体の拡大 $L/K$ があるとき、$L$ は $K$ 上の線型空間である。

（証明）
線型代数学/線型空間#線型空間の公理の 5.～8. を満たす。//

この線型空間が有限次元のとき、$L/K$ は有限次拡大であるという。このときこの線型空間の次元を $[L:K]$ と書き、この拡大の拡大次数と呼ぶ。

補題　$L$ を体とする。ある添字集合 $\Lambda$ があって，任意の $\lambda \in \Lambda$ に $L$ の部分体 $K_{\lambda }$ が対応しているとする。これらの共通部分 $K:=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }K_{\lambda }$ は $L$ の部分体である。

（証明）
$a,b\in K$ とすると，任意の$\lambda \in \Lambda$ について$a,b\in K_{\lambda }$ あり、$K_{\lambda }$ は体であるから，$a+b\in K_{\lambda },ab\in K_{\lambda }$ である．さらに $a\neq 0$ ならば $a^{-1}\in K_{\lambda }$である．以上により $a+b,ab\in K$ ，$a\neq 0$ ならば $a^{-1}\in K$ //

$L$ を体 $K$ の拡大体として，$\alpha _{1},...,\alpha _{n}\in L$ とする．このとき $K$ と $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ を含むような $L$ の部分体のうち最小のものが存在する．実際 $K$ と $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ を含むような $L$ のすべての部分体を考え，それらの共通部分をとればよい．この体を $K(\alpha _{1},...,\alpha _{n})$ と表して，$K$ に $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ を添加した体，または $K$ 上 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ で生成される体という．特に $n=1$ のとき，$K(\alpha _{1})$ を $K$ の単純拡大（体）という．

命題　体 $K$ の元を係数とする多項式 $f(x)$ が $K[x]$ で既約であれば，剰余環 $K[x]/(f(x))$ は体である。

（証明）零でない元 ${\overline {g(x)}}\in K[x]/(f(x))$ が乗法に関して逆元を持つことを示せばよい。$f(x)$ は既約多項式であるので，${\overline {g(x)}}\neq 0$ であれば $f(x)$ と $g(x)$ は互いに素である。したがって，

$r(x)f(x)+s(x)g(x)=1$

を満たす多項式 $r(x),s(x)\in K[x]$ が存在する。これにより ${\overline {s(x)}}\cdot {\overline {g(x)}}=1$となり，${\overline {g(x)}}\in K[x]$ が乗法に関して逆元を持つ。//

$\phi :K\to K[x]/(f(x));a\mapsto {\overline {a}}$ は単射であり，体 $K$の構造を保つ。$\phi$によって、 $a$ と ${\overline {a}}$を同一視することにより、$K/(f(x))$ は $K$の拡大体である。

定義　体 $K$ の元を係数とする $n$ 次多項式 $f(x)$ の根 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}$ を $K$ に添加してできる拡大体 $L=K(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ を多項式 $f(x)$ の（または方程式 $f(x)=0$ の）最小分解体、または単に分解体という。

代数拡大

$K$ を体として、$K$ 係数の多項式を任意に取ったとき、その根が $K$ にあるとは限らない。しかし、$K$ を拡大した体には根があるかもしれない。そのような類のことについて少し考えてみよう。

定義　$L/K$ を体の拡大とする。

1. $L$ の元 $a$ に対して、ある $0$ でない $K$ 係数の多項式 $f$ があって $f(a)=0$ を満たすとき、$a$ は $K$ 上代数的であるという。そうでないとき $a$ は $K$ 上超越的であるという。
2. $L$ の任意の元が $K$ 上代数的であるとき、$L$ は $K$ 上代数的であるといい、$L/K$ は代数拡大であるという。そうでないとき、$L$ は $K$ 上超越的であるといい、$L/K$ は超越拡大であるという。

簡単にわかる例として、$\mathbb {C} /\mathbb {R}$ は代数拡大である。実際、任意の元$z=a+bi\in \mathbb {C}$を考えると、$\mathbb {R}$係数の多項式$f(x)=x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}$に対して$f(z)=0$が成り立つからである。一方、$\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ は超越拡大であることが知られている。

命題　有限次拡大は代数拡大である。

（証明）
$L/K$ を $d$ 次拡大とする。すると、$L$ の元 $a$ を任意に取ったとき、$d+1$ 個の元 $1,a,a^{2},...,a^{d}$ は $K$ 上一次独立ではない。すなわち、どれかひとつは $0$ でない $K$ の元の組 $(c_{0},c_{1},...,c_{d})$ で、$c_{0}+c_{1}a+c_{2}a^{2}+...+c_{d}a^{d}=0$ を満たすものが存在する。これは、$0$ でない $K$ 係数多項式 $c_{0}+c_{1}X+c_{2}X^{2}+...+c_{d}X^{d}$ が$a$ を根に持つということにほかならない。すなわち、$L$ は $K$ 上代数的である。//

例 有理数体 $\mathbb {Q}$ の元 $D$ を平方数でない，すなわち $\beta ^{2}=D$ となる有理数 $\beta$ が存在しないと，仮定する。 この仮定は $x^{2}-D$ が $\mathbb {Q}$ 上で既約であることと同値である。このとき，

$\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]=\{a+b{\sqrt {D}}|a,b\in \mathbb {Q} \}$

は $D>0$ であれば $\mathbb {R}$ の部分体であり、$D<0$ であれば $\mathbb {C}$ の部分体であり、$\mathbb {Q}$ の拡大体である。

（証明）

$(a+b{\sqrt {D}})+(a'+b'{\sqrt {D}})=(a+a')+(b+b'){\sqrt {D}}$

$(a+b{\sqrt {D}})\cdot (a'+b'{\sqrt {D}})=(aa'+bb'D)+(ab'+a'b){\sqrt {D}}$

であるので、$\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ は、和と積に関して閉じている。また，

$-(a+b{\sqrt {D}})=(-a)+(-b){\sqrt {D}}\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$

となり、和に関する逆元も $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$に含まれている。さらに、

$(a+b{\sqrt {D}})^{-1}={\frac {1}{(a+b{\sqrt {D}})}}={\frac {a-b{\sqrt {D}}}{(a+b{\sqrt {D}})(a-b{\sqrt {D}})}}={\frac {a-b{\sqrt {D}}}{a^{2}-b^{2}D}}\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$

となり、積に関する逆元も $\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$に含まれている。//

体の同型写像

中への同型

定義　体 $L_{1}$ から体 $L_{2}$ への写像 $\phi :L_{1}\to L_{2}$ が次の条件を満たすとき， 体 $L_{1}$ から 体 $L_{2}$ の中への同型 (into-isomorphism) という。

1. $L_{1}$ の任意の元 $a,b$ に対して， $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$ かつ $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$
2. $L_{1},L_{2}$ の単位元をともに $1$ と記すと $\phi (1)=1$

命題　体 $L_{1}$ から体 $L_{2}$ への写像 $\phi :L_{1}\to L_{2}$ が，上記の1.を満たすならば，$\phi$ は零写像すなわち， $L_{1}$ のすべての元 $a$ に対して $\phi (a)=0$ であるか，または，中への同型写像である。

（証明）
$\phi (1)=\phi (1\cdot 1)=\phi (1)\phi (1)$であるから、$\phi (1)=1$または$\phi (1)=0$である。$\phi (1)=1$ならば$\phi$ は中への同型写像である。一方$\phi (1)=0$であれば、任意の元$a\in L_{1}$ に対して$\phi (a)=\phi (a\cdot 1)=\phi (a)\phi (1)=\phi (a)\cdot 0=0$であるから、$\phi$ は零写像である。//

命題

1. 加法の単位元に関して、$\phi (0)=0$。
2. 加法の逆元に関して、$\phi (-a)=-\phi (a)$。
3. 乗法の逆元に関して、$a\neq 0$ ならば $\phi (a^{-1})=\phi (a)^{-1}$。

（証明）

1. $\phi (0)=\phi (0+0)=\phi (0)+\phi (0)$ となり、両辺から $\phi (0)$ を減じて $\phi (0)=0$。
2. $0=\phi (0)=\phi (a-a)=\phi (a)+\phi (-a)$ となり、$\phi (-a)=-\phi (a)$。
3. $1=\phi (1)=\phi (aa^{1})=\phi (a)\phi (a^{1})$ となり、$\phi (a^{-1})=\phi (a)^{-1}$。//

命題　体 $L_{1}$ から体 $L_{2}$ への中への同型写像 $\phi :L_{1}\to L_{2}$は単射である。

（証明）
$\phi (a)=\phi (b)$ とすると、$\phi (a)-\phi (b)=0$ なので、$\phi (a-b)=0$ である。$a-b\neq 0$ ならば、$(a-b)^{-1}\in L_{1}$ が存在する。$(a-b)(a-b)^{-1}=1$ なので、$\phi (a-b)\phi ((a-b)^{-1})=1$ である。ところで、$\phi (a-b)=0$ なので、$0=1$である。これは矛盾。よって、$\phi (a)=\phi (b)$ならば$a=b$である。すなわち、$\phi :L_{1}\to L_{2}$は単射である。//

上への同型

定義　体 $L_{1}$ から体 $L_{2}$ への中への同型写像 $\phi :L_{1}\to L_{2}$ が全射でもあるとき，$\phi$ は、$L_{1}$ から $L_{2}$ への上への同型 (onto-isomorphisim) または 全射同型 (surjective isomorphisim) または単に同型といい、$L_{1}$ と $L_{2}$ とは体として同型であるという。

定義　体 $L_{1}$ と体 $L_{2}$ が共通の部分体 $K$ を持ち、中への同型写像 $\phi :L_{1}\to L_{2}$ がさらに条件

1. 任意の$a\in K$ に対して $\phi (a)=a$

を満足するとき、$\phi$ を $K$ 上の中への同型写像 (into-isomorphism over $K$) という。

自己同型

定義　$K$ 上の中への同型写像 $\phi :L_{1}\to L_{2}$ において，特に $L_{1}=L_{2}$ であり、$\phi$ が $K$ 上の全射同型写像であるとき、$\phi$ を $L$ の $K$ 上の自己同型 (automorphismu over $K$ )という。 $L$ の $K$ 上の自己同型の全体を $\operatorname {Aut} _{K}(L)$と記す。

$\operatorname {Aut} _{K}(L)=\{\phi :L\to L\;|\;\phi (a)=a,\;a\in K\}$

命題　$\operatorname {Aut} _{K}(L)$ は写像の合成によって群をなす。

命題　体 $K$ の元を係数とする既約な $n$ 次多項式 $f(x)$ の根 $\alpha ,\beta$ に対して

$\phi :K(\alpha )\to K(\beta )\;;\;$

$a_{0}+a_{1}\alpha +\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1}\mapsto a_{0}+a_{1}\beta +\cdots +a_{n_{1}}\beta ^{n-1},\;a_{j}\in K$

は $K$ 上の同型写像である。

（証明）$K(\alpha )$ の2元 $u,v$を

$u=a_{0}+a_{1}\alpha +\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1}$

$v=b_{0}+b_{1}\alpha +\cdots +b_{n-1}\alpha ^{n-1}$

とすると、

1. $\phi (u+v)=\phi (u)+\phi (v)$ は直ちに成り立つ。

2. $u,v$ に対応する多項式 $g(x),h(x)$ を

$g(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}$

$h(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}$

とおくと、

$u=g(\alpha )\;\mapsto \phi (u)=g(\beta )$

$v=h(\alpha )\;\mapsto \phi (v)=h(\beta )$

であり、二つの多項式の積を

$g(x)h(x)=s(x)f(x)+e(x),\;\;\operatorname {deg} e(x)<\operatorname {deg} f(x)$

と書くと、

$uv=g(\alpha )h(\alpha )=s(\alpha )f(\alpha )+e(\alpha )=s(\alpha )\cdot 0+e(\alpha )=e(\alpha )$

$\phi (u)\phi (v)=g(\beta )h(\beta )=s(\beta )f(\beta )+e(\beta )=s(\beta )\cdot 0+e(\beta )=e(\beta )$

である。したがって、$\phi (uv)=e(\beta )=g(\beta )h(\beta )=\phi (u)\phi (v)$ が成り立つ。

3. $a_{0}\in K$ に対しては $\phi (a_{0})\mapsto a_{0}$ で恒等写像であるので，$\phi$ は $K$ 上同型写像である。//

定義　(ガロア群) $L=K(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ の $K$ 上の自己同型の全体 $\operatorname {Aut} _{K}(L)$ を $Gal(L/K)$ または $G_{f}$ と記し、 多項式 $f(x)$ の ( または方程式 $f(x)=0$，あるいは分解体 $L$ の $K$ 上の ) ガロア群 (Galois group) という。すなわち

$Gal(L/K)=\operatorname {Aut} _{K}(L)$

である。