体論

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ここでは体論について解説する。

体の定義[編集]

定義[編集]

環論で述べたように、体とは任意の元が単元である可換環のことである。念のためここにも公理的に書けば、下のとおりである。

公理 集合Kが体であるとは、加法と乗法という二つの演算が定義されていて、次が成り立つことである。

標数[編集]

環論において任意の環は代数であることをみた。特に体Kも環であるので、自然な環準同型がある。このとき、はPIDであることから、ある非負整数nを用いてと書ける。このnを体K標数という。

Kの標数がnのとき、である。すなわち、Kの任意の元はn回足すと(n倍すると)0になる。標数とは、そのような数と理解することができる。の元はどんな正整数をかけても0にはならない。すなわち標数は0である。

命題 体の標数は0か素数である。

(証明)
Kの標数nと分解するとする。このとき、Kにおいて
となり矛盾する。したがって体の標数は0か素数である。

もっとも、これでは体の標数の必要条件を調べただけである。標数0の体が存在することは確かめたが、各素数に対してその素数を標数とする体は存在するだろうか?結論を先に言えば、存在する。

命題 素数pに対しては(標数pの)体である。

(証明)
pと互いに素な任意の整数aに対して、ある整数m,nが存在して
とできる。これを標準的な全射でに移すことで、
であることがわかる。すなわち、が存在する。

体の拡大[編集]

群においては部分群、環においては部分環という概念があったが、もちろん体にも部分体という概念がある。

定義 体K,Lがとなっており、両者の演算と単位元が一致するとき、KはLの部分体、LはKの拡大体であるという。またこのとき、「L/Kは体の拡大である」という。

拡大の記号は商の記号と若干紛らわしいが、混同するおそれはほとんどない[1]。体の拡大L/Kがあるとき、LがK線型空間であることはほぼ明らかであろう。この線型空間が有限次元のとき、L/Kは有限次拡大であるという。このときこの線型空間の次元を[L:K]と書き、この拡大の拡大次数と呼ぶ。

  1. ^ 体のイデアルは自明なものしかないので、イデアルによる剰余環を考える意味はほとんどないからである。

代数拡大[編集]

Kを体として、K係数の多項式を任意に取ったとき、その根がKにあるとは限らない。しかし、Kを拡大した体には根があるかもしれない。そのような類のことについて少し考えてみよう。

定義 L/Kを体の拡大とする。

  1. Lの元aに対して、ある0でないK係数の多項式fがあってf(a)=0を満たすとき、aはK上代数的であるという。そうでないときaはK上超越的であるという。
  2. Lの任意の元がK上代数的であるとき、LはK上代数的であるといい、L/Kは代数拡大であるという。そうでないときLはK上超越的であるといい、L/Kは超越拡大であるという。

よく知られている例として、は代数拡大である。一方、は超越拡大である。

命題 有限次拡大は代数拡大である。

(証明)
L/Kをd次拡大とする。すると、Lの元aを任意に取ったとき、1,a,a2,...,adはK上一次独立ではない。すなわち、どれかひとつは0でないKの元の組(c0,c1,...,cd)で、c0+c1a+c2a2+...+cdad=0を満たすものが存在する。これは、0でないK係数多項式c0+c1X+c2X2+...+cdXdがaを根に持つということにほかならない。すなわち、LはK上代数的である。//