初等幾何学/図形の性質/三角形

三角形では、各頂点を大文字のアルファベット、A, B, C などで表し、その角と向かい合う辺をそれぞれ対応する小文字で a, b, c と置くことが多い。これは必ずそうでないといけないわけではなく単なる慣習だが、こうすることによって定理の式が綺麗な形になって覚えやすくなることが多いのでこのような表記がされる。

内角の和

定理 1.1.1

三角形の内角の和は180°である。

証明

仮定

$DE//BC$, A は 線分DE上にある

$DE//BC$ より錯角から、

$\angle B=\angle DAB,\angle C=\angle EAC.$

これより、三角形の内角の和は

$\angle BAC+\angle B+\angle C=\angle BAC+\angle DAB+\angle EAC.$

右辺は直線上の点Aでの角度であるから、180°。よって、三角形の内角の和は180°であることが証明された。

内対角の和

定義

内対角の和は、三角形の任意の2角の和である。

定理 1.1.2

三角形の内対角の和は、残り角の外角に等しい。図では、$\angle A+\angle B=\angle ACD.$

証明

三角形の内角の和180°なので、（∵定理 1.1.1）

$\angle A+\angle B+\angle ACB=180^{\circ }$

また、

$\angle ACB+\angle ACD=180^{\circ }$

よって、

${\begin{aligned}\angle A+\angle B+\angle ACB&=&\angle ACB+\angle ACD\\\angle A+\angle B&=&\angle ACD\end{aligned}}$

以上より証明された。

二等辺三角形

定義

二等辺三角形は、$AB=AC$ となる三角形のことであり、$\angle A$ を頂角、$\angle B,\angle C$ を底角という。

定理 1.1.3

二等辺三角形の底角は等しい。

証明

二等辺三角形を $\triangle ABC\ \ \ (AB=AC)$ とおこう。このとき、BC の中点を X とおく。さて、$\triangle ABX,\ \triangle ACX$ について、仮定より

$AB=AC,\ BX=CX,\ AX=AX$ であるので、三辺相等から合同である。したがって、

$\angle B=\angle C.$

定理 1.1.4

二等辺三角形の頂角から対辺への垂線は、垂直二等分線である。また、頂角の二等分線でもある。

証明

二等辺三角形を $\triangle ABC\ \ \ (AB=AC)$ とおく。BC の中点を M 、A からの垂線の足を H とおく。

定理 1.1.3 の証明と同様にして、$\triangle ABM\equiv \triangle ACM$ より、$\angle AMB=\angle AMC.$

$\angle AMB+\angle AMC=180\circ$ より、$\angle AMB=\angle AMC=90\circ .$

さて、次は $\triangle AHB,\ \triangle AHC$ についてであるが、定理 1.1.3 より

$\angle B=\angle C\cdots (1),\ \angle AHB=\angle AHC=90\circ \cdots (2)$

したがって定理 1.1.1 より $\angle BAH=\angle CAH\cdots (3).$

(1) と (2) と仮定の $AB=AC$ より、$\triangle AHB,\equiv \triangle AHC.$

よって、$AH=BH$ となり、H は BC の中点である。中点は一つしか存在しないため、H と M は一致する。よって定理の前半は示された。また、(3) より定理の後半も示された。

定義

頂角が直角な二等辺三角形を、直角二等辺三角形という。直角二等辺三角形の底角は 45° である。また、全ての直角二等辺三角形は互いに相似である。