初等物理学公式集

以下に、日本の物理学教育において大学入学程度の水準までで用いられる、主な公式をジャンルごとに分けて記しておく。

古典力学

速度・加速度

速度
- 距離 x (m) を経過時間 t (s) で等速直線運動する物体の速さ v (m/s)
$v={\frac {x}{t}}$
- 時刻 t (s) における変位 x (m) の物体の平均の速さ ${\bar {v}}$ (m/s)
${\bar {v}}={\Delta x \over \Delta t}={{x_{2}-x_{1}} \over {t_{2}-t_{1}}}$
- 時刻 t (s) における変位 x (m) の物体の瞬間の速さ $v$ (m/s)
$v={\frac {dx}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta x \over \Delta t}=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{{x_{2}-x_{1}} \over {t_{2}-t_{1}}}$

加速度
- 経過時間 $\Delta t$ (s) の間の速度の変化 $\Delta v$ (m/s) の物体の平均の加速度 ${\bar {a}}$ (m/s²)
${\bar {a}}={\Delta v \over \Delta t}={{v_{2}-v_{1}} \over {t_{2}-t_{1}}}$
- 経過時間 $\Delta t$ (s) の間の速度の変化 $\Delta v$ (m/s) の物体の瞬間の加速度 $a$ (m/s²)
$a={\frac {dv}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta v \over \Delta t}=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{{v_{2}-v_{1}} \over {t_{2}-t_{1}}}$
等加速度直線運動
- 一定の加速度 a (m/s²) で加速する初速度 v₀ (m/s) の物体の時刻 t (s) における速度 v (m/s) と変位 x (m)
$v=\int a\,dt=v_{0}+at$

$x=\int v\,dt=v_{0}t+{1 \over 2}at^{2}$

$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$

運動方程式

$ma=F$

摩擦力

静止摩擦係数 $\mu$ 、垂直抗力 N の物体にはたらく最大静止摩擦力 F_max

F_{\mathbf {max} }=\mu N

動摩擦係数 $\mu '$ 、垂直抗力 N の物体にはたらく動摩擦力 $F'$

F'=\mu 'N

摩擦角 $\theta$ のときの静止摩擦係数 $\mu$

\mu =\tan \theta

浮力

大気圧をp₀として密度ρの水中で深さhの位置にある物体が受ける水圧
$p=p_{0}+\rho gh$
体積Vの物体が密度ρの水中で受ける浮力
$F=\rho Vg$ （アルキメデスの原理）

コリオリの力

速度 ${\vec {v}}$ 、角速度 $\omega$ で回転運動する質量 m の物体にはたらくコリオリの力 ${\vec {F}}$

{\vec {F}}=2m{\vec {v}}\omega

剛体

$M=Fl$ （力のモーメント）
$(x_{G},y_{G},z_{G})=(\sum _{k}{\frac {m_{k}x_{k}}{x_{k}}},\sum _{k}{\frac {m_{k}y_{k}}{y_{k}}},\sum _{k}{\frac {m_{k}z_{k}}{z_{k}}})$ （重心）

ケプラーの法則

惑星の公転周期 T、長半径 a

T^{2}=ka^{3}\Leftrightarrow {T^{2} \over a^{3}}=k

（第三法則）

万有引力の法則

質量 M, m、距離 r の物体間にはたらく万有引力 F

F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}

（G は万有引力定数）

重力場

\left\{{\begin{matrix}g&=&G{m \over r^{2}}\\F&=&mg\end{matrix}}\right.

重力質量と慣性質量の等価性

{\mathbf {}}a=g

落下

\left\{{\begin{matrix}x&=&v_{x0}t+x_{0}\\y&=&{1 \over 2}gt^{2}+v_{y0}t+y_{0}\end{matrix}}\right.

{\mathbf {}}v=gt+v_{0}

空気抵抗の比例定数をkとしたときの終端速度
$v_{f}={\frac {mg}{k}}$
位置エネルギー

{\mathbf {}}E_{\phi }=-{\frac {GMm}{r}}

第一宇宙速度

7.91 km/s

第二宇宙速度

11.2 km/s

第三宇宙速度

16.7 km/s

等速円運動

- $\left\{{\begin{matrix}x=r\cos \omega t\\y=r\sin \omega t\end{matrix}}\right.$
- ${\mathbf {}}v=r\omega$
- ${\mathbf {}}a=r\omega ^{2}$
- $T={2\pi \over \omega }$ （周期）
- ${\mathbf {}}F=-kx$ （弾性力）
- $E={1 \over 2}kx^{2}$ （弾性エネルギー）
- $\omega ={\sqrt {k \over m}}$ （単振動の角速度）
- $f={\frac {1}{T}}$ （単振動の振動数）
- $x=A\sin \omega t$ （単振動の変位）
- $\omega \simeq {\sqrt {g \over l}}$ （単振り子の角速度）

角速度 $\omega$ で回転運動する質量 m の物体が回転の中心から ${\vec {r}}$ の位置にあるときの遠心力 ${\vec {F}}$

{\vec {F}}=m{\vec {r}}\omega ^{2}

力学的保存量

- ${\mathbf {}}{\vec {p}}=m{\vec {v}}$ (運動量)
- $m\Delta |{\vec {v}}|=f\Delta t$ （力積）
- $\sum _{i}{m_{i}v_{i} \over dt}=0$ （運動量保存）
- $E_{v}={1 \over 2}mv^{2}$ （運動エネルギー）
- $\sum _{i}{E_{vi}+E_{\phi i} \over dt}=0$ （力学的エネルギー保存則）
- $e=-{\frac {v'_{1}-v'_{2}}{v_{1}-v_{2}}}$ （反撥係数）
- $E={\vec {F}}\cdot {\vec {x}}=|{\vec {F}}||{\vec {x}}|\cos \theta$ （仕事）
- $P={dE \over dt}$ （仕事率、ワット）

熱力学

以下、理想気体の場合を想定する。

気体の圧力

P={F \over S}

気体の仕事

{\mathbf {}}E=P\Delta V

アボガドロ数

N_{0}=6.02214076\times 10^{23}

気体定数

R=8.31

kJ/(mol・K)

ボルツマン定数

k={\frac {R}{N_{0}}}=1.38\times 10^{-23}

J/K

気体の状態方程式

{\mathbf {}}PV=nRT

単原子分子理想気体の内部エネルギー

U={3 \over 2}nRT

分圧と全圧の関係式

P=\sum _{i}P_{i}=\sum _{i}{n_{i}RT \over V}

運動エネルギーと熱エネルギー

{\frac {1}{2}}m{\bar {v^{2}}}={\frac {3}{2}}kT

熱量と熱機関

比熱

{dQ \over dT}=mc

比熱比

\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}

気体のモル比熱

{dQ \over ndT}=C

熱エネルギー保存

{\mathbf {}}\Delta Q=\Delta U+\Delta W

定圧モル比熱と定積モル比熱の差

{\mathbf {}}C_{P}-C_{V}=R

（マイヤーの関係式）

変換熱量とP-V図の面積

\Delta Q=\int \Delta P(V)dV

閉じた系の内部エネルギー変化

\Delta U=\delta Q-\delta W

（熱力学第一法則）

ポアソンの法則

pV^{\gamma }=const.

熱効率

e={\frac {W}{Q}}={\frac {Q_{in}-Q_{out}}{Q_{in}}}

熱力学第二法則

e\neq 1

波動力学

横波: 振動方向と進行方向が直交
縦波: 振動方向と進行方向が同じ

波形の公式

{\mathbf {}}y=A\sin\{2\pi ({\frac {t}{T}}-{\frac {x}{\lambda }})+\phi \}

振動数を f (Hz)、周期を T (s) とすると:

f={1 \over T}

振動数 f (Hz)、波長 λ (m) のときの波の速さ v (m/s)

v=f\lambda ={\lambda  \over T}

重ね合わせの原理

Y=y_{1}+y_{2}

干渉による強め合い

|l_{1}-l_{2}|=m\lambda

干渉による弱め合い

|l_{1}-l_{2}|=\left(m+{1 \over 2}\right)\lambda

入射角を i (rad)、入射波の速さと波長を v_i (m/s)、λ_i (m)、屈折角を r (rad)、屈折波の速さと波長を v_r (m/s)、λ_r (m) としたときの屈折率 n

{\frac {\sin i}{\sin r}}={\frac {v_{i}}{v_{r}}}={\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{r}}}=n

（スネルの法則、屈折の法則）

波の速さ V (m/s)、観測者の速さ v_o (m/s) (近づくとき正)、音源の速さ v_s (m/s) (近づくとき正)、元の周波数 f (Hz) としたときに観測される周波数 f' (Hz)

f'={\frac {V-v_{o}}{V-v_{s}}}f

音の場合

うなり振動数

f={\begin{vmatrix}f_{1}-f_{2}\end{vmatrix}}

弦、両閉、両開気柱の振動

\lambda _{n}={2l \over n}

片開気柱の振動

\lambda _{n}={4l \over 2n-1}

弦の振動周波数

f\propto {\sqrt {F \over \rho }}

光の場合

真空中の光速（定義値）

c=299\,792\,458\,{\rm {{m/s}\approx 3.0\times 10^{8}\,{\rm {m/s}}}}

絶対屈折率

n={c \over v}

全反射の条件

{\mathbf {}}\sin \theta _{c}>n_{12}

光路長

L=nl

強めあう回折条件(波長ズレなし)

{\mathbf {}}d\sin \theta =m\lambda

弱めあう回折条件(波長ズレなし)

d\sin \theta =\left(m+{1 \over 2}\right)\lambda

レンズと鏡

{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{f}}

（写像公式）

m=|{\frac {b}{a}}|

（倍率）

電気回路

電流の強さ I (A)、電圧 V (V)、抵抗 R (Ω)
$I={V \over R}\Leftrightarrow V=RI\Leftrightarrow R={V \over I}$ （オームの法則）
$\left\{{\begin{matrix}\sum _{i}I_{i}=0\\\sum _{i}V_{i}=0\end{matrix}}\right.$ （キルヒホッフの法則）
電気抵抗
$R=\rho {l \over S}$ （形状と抵抗値）
${\mathbf {}}R=\sum _{i}R_{i}$ （直列接続の合成則）
${1 \over R}=\sum _{i}{1 \over R_{i}}$ （並列接続の合成則）
$R_{1}R_{4}=R_{2}R_{3}\Leftrightarrow {R_{1} \over R_{3}}V={R_{2} \over R_{4}}V$ （ホイートストンブリッジの平衡条件）
$P=I^{2}R=VI={V^{2} \over R}$ （消費電力）
${\mathbf {}}E=Pt=VIt$ （ジュールの法則）

コンデンサ

${\mathbf {}}Q=CV$ （コンデンサの電気容量）
$W={1 \over 2}CV^{2}$ (コンデンサのエネルギー)
$C=\varepsilon {S \over d}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{S \over d}$ （平板コンデンサの容量）
${1 \over C}=\sum _{i}{1 \over C_{i}}$ （直列接続の合成則）
$C=\sum _{i}C_{i}$ （並列接続の合成則）
${\mathbf {}}P=0$ （コンデンサの消費電力）

コイル

${\mathbf {}}L=\sum _{i}L_{i}$ （直列接続の合成則）
${\mathbf {}}{1 \over L}=\sum _{i}{1 \over L_{i}}$ （並列接続の合成則）
${\mathbf {}}P=0$ （コイルの消費電力）

交流回路

${\mathbf {}}V(t)=V_{max}\sin \omega t$ （交流波形）
$V_{e}={1 \over {\sqrt {2}}}V_{max}$ （実効電圧）
$I_{e}={1 \over {\sqrt {2}}}I_{max}$ （実効電流）
$R_{C}={1 \over \omega C}$ （容量リアクタンス）
${\mathbf {}}R_{L}=\omega L$ （誘導リアクタンス）
$Z={\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{1 \over \omega C}\right)^{2}}}$ （直列合成インピーダンス）
$Z={\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+(\omega C-{\frac {1}{\omega L}})^{2}}}}$ （並列合成インピーダンス）
${\bar {P}}=RI_{e}^{2}=I_{e}V_{e}\cos \phi$ （力率）
${\overline {V}}=Z{\overline {I}}$
$V_{2}={n_{2} \over n_{1}}V_{1}$ （変圧トランス）
$I_{2}={n_{1} \over n_{2}}I_{1}$
$\omega ={1 \over {\sqrt {LC}}}$ （LC回路の共振条件）

電磁気学

静電気・電界（電場）

電気量 q₁ (C) と q₂ (C) の点電荷間の距離を r (m)、誘電率を ε (F/m) とするときに働く静電気力 F (N)
$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$ （クーロンの法則）

電場

E=k_{0}{\frac {q}{r^{2}}}

{\vec {F}}=q{\vec {E}}

一様な電場で生じる電位

{\mathbf {}}V=Ed

電気的位置エネルギー

{\mathbf {}}W_{\phi }=qV

電流と電荷の関係

I={\frac {\Delta Q}{\Delta t}}

磁界（磁場）

$F=k'_{0}{m_{1}m_{2} \over r^{2}}={1 \over 4\pi \mu _{0}}{m_{1}m_{2} \over r^{2}}$ （磁気のクーロンの法則）
$\left\{{\begin{matrix}H&=&k_{0}{m \over r^{2}}\\F&=&mH\end{matrix}}\right.$ （磁場）
${\vec {H}}={{\vec {I}}\times {\vec {r}} \over 2\pi r}$ （線電流の作る磁場）
$H={I \over 2r}$ （円電流の作る磁場）
$H=nI$ （ソレノイドの作る磁場）
${\mathbf {}}{\vec {B}}=\mu {\vec {H}}=\mu _{0}\mu _{r}{\vec {H}}$ （磁束密度）
${\mathbf {}}{\vec {F}}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}=q|{\vec {v}}||{\vec {B}}|\sin \theta$ （ローレンツ力）
${\mathbf {}}{\vec {F}}={\vec {I}}\times {\vec {B}}l=l|{\vec {I}}||{\vec {B}}|\sin \theta$ （フレミングの法則、アンペール力）
$V=-L{\frac {dI}{dt}}$ （自己誘導）
$V=-M{\frac {dI}{dt}}$ （相互誘導）

電磁誘導

${\mathbf {}}\Phi =|{\vec {B}}|S$ （磁束）
$V=-n{d\Phi \over dt}$ （ファラデーの法則）
${\mathbf {}}{\vec {V}}=l{\vec {v}}\times {\vec {B}}=l|{\vec {B}}||{\vec {v}}|\sin \theta$ （誘導起電力）

量子力学

プランク定数

h=6.63\times 10^{-34}

J・s

プランク定数 h、位置の不確かさ $\Delta x$ 、運動量の不確かさ $\Delta p$

\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}

（不確定性原理）

${\mathbf {}}E_{0}=mc^{2}$ （質量エネルギー）

原子核物理学

${\mathbf {}}E=\ h\nu -W_{0}$ （光電効果）
${\mathbf {}}E=\ h\nu$ （光子のエネルギー）
$p={h \over \lambda }={h\nu \over c}$ （光子の運動量）
$\lambda ={h \over p}={h \over mv}$ （ド・ブロイ波長）
$\lambda _{0}={\frac {hc}{eV}}$ （X線の最短波長）
$2d\sin \theta =n\lambda$ （ブラッグの条件）
$2\pi r=n\lambda$ （量子条件）
$\Delta E_{n}=h\nu$ （振動数条件）
$r={\frac {h^{2}}{4\pi ^{2}k_{0}me^{2}}}n^{2}$ （電子軌道半径）
$E_{n}=-{\frac {2\pi ^{2}k_{0}^{2}me^{4}}{h^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}=-{\frac {Rch}{n^{2}}}$ （エネルギー準位）
${\frac {1}{\lambda }}=R({\frac {1}{n'^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}})$ （線スペクトル）