利用者:Biotactics/ハードディスク

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　図のように、水平面と角度30°の斜面において点Oから初速度$v$で斜面上方60°小球を投げると斜面上のある点Aに衝突した。座標軸は水平右向き・鉛直上向きを正にとる。重力加速度を$g$とする。

(1) 小球の最高点の高さ$y_{M}$を求めよ。

(2) 点Aの座標を求めよ。

(3) 斜面と垂直に衝突させるにはどのような角度$\theta$で投げればよいか。$\tan \theta$を求めよ。

(1) [解1]　初速度を成分分解すると、

$v=\left({\frac {1}{2}}v,{\frac {\sqrt {3}}{2}}v\right)$

であるから、速度と変位の公式$v^{2}-{v_{0}}^{2}=2ax$より、鉛直方向の速度が0になればよいので、

$0-\left({\frac {{\sqrt {3}}v}{2}}\right)^{2}=-2gy_{M}$　$y_{M}={\frac {3{v}^{2}}{8g}}$

[解2]　「例題1-3」のTipsから、最高点の高さは$y={\frac {v_{0}}{2g}}$と表されるので、

$y_{M}={\frac {\left({\dfrac {\sqrt {3}}{2}}v\right)^{2}}{2g}}={\frac {3{v}^{2}}{8g}}$

(2) まず投げてから点Aに衝突するまでの時間$t$を考える。小球の座標を(x,y)で表すと、

${\begin{cases}x={\dfrac {1}{2}}vt&(1)\\y={\dfrac {\sqrt {3}}{2}}vt-{\dfrac {1}{2}}gt^{2}&(2)\end{cases}}$

となる。斜面の角度30°を考えると、$y={\frac {x}{\sqrt {3}}}$という関係があることからこの関係式にxを代入して2次方程式を解くと、

$t=0,{\frac {2v}{{\sqrt {3}}g}}\rightarrow {\frac {2v}{{\sqrt {3}}g}}$　(t=0は原点)

となる。したがって、(1)に代入すると$x={\frac {v^{2}}{{\sqrt {3}}g}}$となるので、$y={\frac {v^{2}}{3g}}$

以上より、

A $\left({\frac {v^{2}}{{\sqrt {3}}g}},{\frac {v^{2}}{3g}}\right)$

(3) 衝突する直前の小球の鉛直方向の速度$v_{y}$は、(2)の$t={\frac {2v}{{\sqrt {3}}g}}$を用いて、

$v_{y}={\frac {\sqrt {3}}{2}}v-gt={\frac {\sqrt {3}}{2}}v-{\frac {2v}{\sqrt {3}}}$