制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/グラフによる安定判別

平面上の 1 点 $a$ と閉曲線 $C$ が与えられているとき， $C$ が $a$ を何回まわるか，その回転数を数えることによって，安定判別をする方法がある． 結果を述べる前に若干の準備をしておこう．

回転数

$C$ は $a$ を通らない閉曲線とする． 動点 $s$ が $C$ 上を動くとき，半直線 ${\vec {as}}$ が $a$ の周りを正の向き（反時計まわり）に回る回数を， $C$ の $a$ のまわりの回転数といい，

$r(C,a)$

で表す．

例100$\quad$

$C$ を単純閉曲線とすると，

$r(C,a)={\begin{cases}1&(a\ {\text{が}}\ \ C\ {\text{の 内 部 に あ る と き}}\ )\\0&(a\ {\text{が}}\ \ C\ {\text{の 外 部 に あ る と き}}\ )\end{cases}}$

$\diamondsuit$

$r(C,a)={\frac {1}{2\pi }}\times (s$ が $C$ を正の向きに 1 周するときの $s-a$ の偏角 $\theta$ の全変化量 $)$

$={\frac {1}{2\pi }}\int _{C}d\theta$

であるから，

$r(C,a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{C}d\ \mathrm {arg} \ (s-a)$

が成立する．ここに，複素数 $s-a$ を極表示したものを $s-a=re^{i\theta }$ とし，

$\theta :=\mathrm {arg} \ (s-a)$

とおいている．

定理 4.3 偏角変化量の原理$\quad$

$p(s)$ を $n$ 次の多項式，$C$ を $s$ 平面上の単純閉曲線とし， $p(s)$ の根は $C$ 上にはないものとする．このとき， $\Gamma$ を $\omega =p(s)$ による $C$ の像，すなわち $\Gamma :=p(C)$ とすると，

$r(\Gamma ,0;p)$$:=r(p(C),0)$

$=C$ の内部にある $p(s)$ の根の個数

が成立する．

証明

$p(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n}=a_{0}(s-\alpha _{1})(s-\alpha _{2})\cdots (s-\alpha _{n})$

とする．$\alpha _{i}$ は重複していてもよい．複素数の偏角を $\mathrm {arg}$ で表すと，

$\mathrm {arg} \ p(s)=\mathrm {arg} \ a_{0}+\sum _{i=1}^{n}\mathrm {arg} \ (s-\alpha _{i})$

よって，

$r(\Gamma ,0;p)=\sum _{i=1}^{n}r(C,\alpha _{i})$

となる． 上述のように，$r(C,\alpha _{i})$ は $\alpha _{i}$ は $C$ の内部にあるときだけ $1$ で， その他のときは $0$ であるから求める結果を得る． $\diamondsuit$

定理 4.4$\quad$

$p(s)=s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n}$

において，$s$ が虚軸上を下から上まで動くとき， $\omega =p(s)$ の軌跡が $\omega$ 平面の原点を通らずに，原点を ${\frac {n}{2}}$ 回まわれば， $p(s)$ の根はすべて $s$ 平面の左半平面に存在する．逆も成立する．

証明

左半平面を囲む半径 $\infty$ の半円を考え，これを $C$ とする． $C$ 内に $n$ 個の根が存在することをいえばよい． いまこの半円 $C$ を虚軸上の部分 $C_{1}$ と円弧部分 $C_{2}$ に分け，

$\Gamma =f(C),\quad \Gamma _{i}=f(C_{i})\quad (i=1,2)$

とする．このとき，

$r(\Gamma ,0)=r(\Gamma _{1},0)+r(\Gamma _{2},0)$

である． 仮定は $r(\Gamma _{1},0)={\frac {n}{2}}$ である． さて，$s\in C_{2}$ のとき，

$p(s)=s^{n}\{1+\varepsilon (s)\}$

と表すと，半径 $\infty$（十分大）であるから $\varepsilon (s)\fallingdotseq 0$ である．この偏角は，

$\mathrm {arg} \ p(s)=n\ \mathrm {arg} \ s+\mathrm {arg} \ \{1+\varepsilon (s)\}$

となるが，$s$ が $C_{2}$ を動くとき，$\mathrm {arg} \ \{1+\varepsilon (s)\}$ の変化量は $0$ である． $C_{2}$ は $s$ 平面上の原点を正の方向に半周するから，$n\ \mathrm {arg} \ s$ の変化量は ${\frac {n}{2}}$ である． よって，

$r(\Gamma _{2},0)={\frac {n}{2}}$

それゆえ，

$r(\Gamma ,0)={\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}}=n$

を得る．このことは $p(s)=0$ の根がすべて $s$ 平面の左半平面に位置していることを示す．逆は明らかであろう． $\diamondsuit$

例101$\quad$

$p^{3}+a_{1}s^{2}+a_{2}s+a_{3}$

の場合を考えてみよう．$s=i\omega \quad (\omega \in \mathbf {R} )$ とおき実部と虚部とに分けると，

(4.14)

${\begin{cases}x&=-a_{1}\omega ^{2}+a_{3}\\y&=-\omega ^{3}+a_{2}\omega \end{cases}}$

となる．$a_{1}=0$ なら，$s$ 平面の虚軸の像 $\Gamma _{1}=p(i\omega ),\quad -\infty <\omega <\infty$ は $y$ 軸に平行な直線であるから， $r(\Gamma _{1},0)=\pm {\frac {1}{2}}$ となって 不安定である．そこで $a_{1}\neq 0$ とする． 式 (4.14) から $\omega$ を消去すると，

$y^{2}={\frac {(a_{1}a_{2}-a_{3}+x)^{2}(a_{3}-x)}{a_{1}^{3}}}={\frac {1}{a_{1}^{3}}}(H_{2}+x)^{2}(a_{3}-x)$

ここに，

$H_{2}:=a_{1}a_{2}-a_{3}$

となる．$y^{2}>0$ であるから，

$a_{1}>0\implies a_{3}>x$

$a_{1}<0\implies a_{3}<x$

となる． いずれの場合も $\omega$ が $-\infty$ から $+\infty$ へ動くとき 式 (4.14) から分かるように，$y$ は $+\infty$ から $-\infty$ へ動く．つまり $\Gamma _{1}$ 上を上から下へ動く． したがって，$a_{1}<0$ なら$a_{3},H_{2}$ がどんな値をとっても，$r(\Gamma _{1},0)$ は ${\frac {3}{2}}$ にならない． $a_{1}>0$ のとき，原点を囲むような形となるときだけ，

$r(\Gamma _{1},0)={\frac {3}{2}}$

が成立する．このとき，

$a_{3}>0,H_{2}>0$

である．すなわち，

$a_{1}>0,a_{3}>0,H_{2}>0$

のとき安定となる．これは Hurwitz の方法で求めたものと一致する． $\diamondsuit$

この技法は Hurwitz の方法に比べて，極めて迂遠のようであるが，自動制御理論では，フィードバック系の安定判別に用いられ，極めて有用である．

例102$\quad$

$p(s)=s+a_{1}$

の場合の安定判別を，上例にならって行い，Hurwitz の方法による結果と比較せよ．

解答例

$p(i\omega )=i\omega +a_{1},\quad (\omega \in \mathbf {R} )$ を実部 $x$ と虚部 $y$ とにわける．

${\begin{cases}x&=a_{1}\\y&=\omega \end{cases}}$

$x$ は定数だから軌跡 $\Gamma _{1}$ は $y$ に平行．
$a_{1}<0$ ならば，$r(\Gamma _{1},0)$ は時計回りに回転し，その値は $-{\frac {1}{2}}$ で不安定．
$a_{1}>0$ ならば，$r(\Gamma _{1},0)$ は反時計回りに回転し，その値は $+{\frac {1}{2}}$ で $n=1$ より安定．
これは Hurwitz の定理による結果に符合する．

$\diamondsuit$

例103$\quad$

$p(s)=s^{2}+a_{1}s+a_{2}$

の場合の安定判別を，上例にならって行い，Hurwitz の方法による結果と比較せよ．

解答例

$p(i\omega )=-\omega ^{2}+a_{1},\quad (\omega \in \mathbf {R} )$ を実部 $x$ と虚部 $y$ とにわける．

${\begin{cases}x&=a_{2}-\omega ^{2}\\y&=a_{1}\omega \end{cases}}$…①

①から $\omega$ を消去すると，$y^{2}=-a_{1}^{2}x+a_{1}^{2}a_{2}$…②
②のグラフの形は $y=x^{2}$ を 90°反時計回りに回転させたもので、頂点の座標は $(a_{2},0)$．
②が原点 $(0,0)$ を「取り込む」必要があるから，$a_{2}>0$
①の軌跡が $y$ の $-\infty$ から $+\infty$ まで動けば，原点の周りを反時計回りに 1 回転して $n=2$ より安定，すなわち $a_{1}>0$
条件 $a_{1}>0,a_{2}>0$ は Hurwitz の定理とも一致する．

$\diamondsuit$