制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理

線形定常常微分方程式

(4.13)

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}x}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {dx}{dt}}+a_{n}x=0$

の解の $t\to \infty$ における振舞を調べるのが目的である．ここでは係数は実数としておく．

式 (4.13) には $x=0$ という解がある． これを零解という．零解は時間の経過には無関係に一定値を取り続ける．そのような解を式 (4.13) の平衡点と呼ぶことがある．$a_{n}\neq 0$ ならば式 (4.13) の平衡点は零解だけである． さて，零解以外の任意の解 $x(t)$ が，零解に近づくかどうか，その条件はなにかというのが我々の問題である．

安定の定義

(i) 式 (4.13) の解 $x(t)$ が

$\lim _{t\to \infty }x(t)=0$

となるとき，$x(t)$ は安定な解であるという．すべての解が安定な解となるとき， 式 (4.13) の零解は安定である， あるいは微分方程式 (4.13) は安定であるという．

(ii)

$\lim _{t\to \infty }|x(t)|=\infty$

となる解を不安定な解という．このような解が少なくとも一つ存在すれば， 式 (4.13) は不安定であるという．

(iii) (i) でも (ii) でもないとき，すなわち $t\to \infty$ で発散する解は存在しない．しかしすべての解が $0$ に漸近するわけではないとき， 式 (4.13) は安定限界であるという． $\diamondsuit$

例95$\quad$

(i) $e^{-t},t^{3}e^{-2t}\cos t\quad$ （安定な解）

(ii) $t,e^{2t},t\sin t\quad$ （不安定な解）

(iii) $1,\sin t\quad$ （安定限界となる解）

$\diamondsuit$

さて式 (4.13) の特性方程式を $p(s)$ とし， $\alpha$ をその根とすると，

$e^{\alpha t},\quad \alpha =a+ib$

なる根がある．

$e^{\alpha t}=e^{at}(\cos bt+i\sin bt)$

であるから，

$\mathrm {Re} =a<0\implies e^{\alpha t}\to 0\quad (t\to \infty )$

$\mathrm {Re} =a>0\implies |e^{\alpha t}|\to \infty (t\to \infty )$

$\mathrm {Re} =a=0\implies e^{\alpha t}=\cos bt+i\sin bt$

となる．上から $e^{\alpha t}$ は安定，不安定，安定限界であることが分かる．一般の解は，

$t^{k}e^{\alpha t}$

のような解の 1 次結合から成り立っている．したがって，この解の安定，不安定を調べればよい．

$|t^{k}e^{\alpha t}|=|t|^{k}e^{at}$

であるから $a>0$ なら，この解は $t\to \infty$ とともに発散する．また $a<0$ なら，

$a<c<0$

なる負の実数 $c$ が存在し，この $c$ に対して，

(4.13b)

$e^{(c-a)t}\geqq {\frac {\{|c-a||t|\}^{k}}{k!}}\quad (t>0)$

であるから，

${\frac {k!}{|c-a|^{k}}}e^{ct}\geqq |t|^{k}e^{at}$

となる．よって $c<0$ に留意すれば，

$|t^{k}e^{at}|=|t|^{k}e^{at}\to 0\quad (t\to \infty )$

を得る．それゆえ，次の結果が得られた．

定理 4.1（安定定理） 式 (4.13) の特性方程式 $p(s)$ の根 $\alpha _{i}$ の実数部の最大なるものを $a^{*}$ とする．すなわち，

$a^{*}:={\underset {i}{\mathrm {max} }}\ \mathrm {Re} \ \alpha _{i},\quad a^{*}=\mathrm {Re} \ a^{*}$

とするとき，微分方程式 (4.13) は，

$a^{*}<0$ なら，安定

$a^{*}>0$ なら不安定

である．また，

$a^{*}=0$

ならば，

(i) $a^{*}$ が $p(s)$ の単根のとき，安定限界

(ii) $a^{*}$ が $p(s)$ の重根のとき，不安定

である．

証明

前半の安定・不安定の部分の証明はすでに与えた．後半の単根の場合も終わっている． 重根の場合は，$\alpha ^{*}=a^{*}+ib^{*}$ とすると，

$|t^{k}e^{\alpha ^{*}t}|=|t^{k}e^{ib^{*}t}|$

$=|t|^{k}\quad (k\geqq 1)$

であるから，この解は発散する．よって不安定である． $\diamondsuit$

この定理から，安定・不安定の判別は，$p(s)$ の根の，複素平面 ($s$ 平面）上における配置によって決まることが分かる．

安定$\quad$ 根がすべて左半面にあるとき

不安定$\quad$ 少なくとも 1 根が右半面に存在するか，あるいは右半面には存在しないが，虚軸上に重根があるとき

安定限界$\quad$ 虚軸上の根は単根で、他はすべて左半面にあるとき

とまとめることができる．