制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答

前節で述べた複素振幅の方法に関連して，安定論の立場から若干の補足をしておこう．

(4.15)

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+a_{1}{\frac {d^{n-2}x}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {dx}{dt}}+a_{n}x=f(t)$

は安定な微分方程式としておく．つまり $f(t)=0$ とおいた同次式の解は，十分時間が経過した後では消えるものとする．なお式 (4.15) の係数は実数であるとする．さて，

$f(t)=A\sin \omega t$

のとき，式 (4.15) の任意の解は，

$x(t)=x_{0}(t)+{\frac {A}{|p(i\omega )|}}\sin(\omega t-\theta )$

となる．ここに，$p(s)$ は特性多項式で，

(i) $x_{0}(t)$ は同次式の解

(ii) $p(i\omega )=|p(i\omega )|e^{i\theta }$

である．系が安定であるから，

$x_{0}(t)\to 0\quad (t\to \infty )$

となる．よって，十分時間が経過した後では，どんな初期条件から出発した解も，定常解 $x_{s}(t):$

(4.16)

$x_{s}(t)={\frac {A}{|p(i\omega )|}}\sin(\omega t-\theta )$

に近づく．この結果をLaplace 変換による解法から導いてみよう． 式 (4.15) の解は

(4.17)

$x(t)=x_{0}(t)+\int _{0}^{t}g(\tau )A\sin \omega (t-\tau )d\tau$

と書けるのであった．ここに $x_{0}(t)$ は同次式の解で，

(4.18)

$g(t)\sqsupset {\frac {1}{p(s)}}$

である．$t\to \infty$ のとき，式 (4.17) で $x_{0}(t)$ は消えるから，第 2 項だけが問題になる．

$\sin \omega t={\frac {1}{2i}}(e^{i\omega t}-e^{-i\omega t})$

を式 (4.17) の右辺第 2 項に代入すると，

(4.19)

$\int _{0}^{t}g(\tau )A\sin \omega (t-\tau )d\tau ={\frac {Ae^{i\omega t}}{2i}}\int _{0}^{t}g(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau -{\frac {Ae^{-i\omega t}}{2i}}\int _{0}^{t}g(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau$

となる．ところで，式 (4.18) から，

(4.20)

$\int _{0}^{\infty }g(\tau )e^{\pm i\omega \tau }d\tau ={\frac {1}{p(\mp i\omega )}}$

となるので，式 (4.19) は，

${\frac {1}{2i}}\left\{{\frac {A}{p(i\omega )}}e^{i\omega t}-{\frac {A}{p(-\omega )}}e^{-i\omega t}\right\}={\frac {A}{|p(i\omega )|}}\sin(\omega t-\theta )$

に漸近する．事実，$t\to \infty$ のとき，

$\left|{\frac {Ae^{i\omega t}}{2i}}\int _{0}^{t}g(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau -{\frac {Ae^{i\omega t}}{2ip(i\omega )}}\right|={\frac {A}{2}}\left|\int _{0}^{t}g(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau -{\frac {1}{p(i\omega )}}\right|\to 0$

となるからである．このことは，言い換えれば式 (4.20) の無限積分の存在は，$g(t)$ が安定な同次方程式 $p(D)x=0$ の解であることから保証される．すなわち，このとき既述のように，

$|g(t)|\leqq Me^{-ct}\quad (c>0)$

なる評価ができるから，$g(t)$ の Laplace 変換は $\mathrm {Re} \ s=0$ において存在する．

最後に，この問題の工学的応用に触れておこう．ここで議論したことは， 式 (4.15) が安定な微分方程式ならば， これに正弦波が入力として加えられたとき，それに対する応答は，しばらく待てば同じ周波数の正弦波になるということである． それでは，任意の波形を持った信号が入力として加えられたとき，しばらく待つと同じ波形の応答が得られるであろうか．この問題を考えてみる． 記録器に対してはこのことが要求される．

さて任意の信号 $f(t)$ は，ある範囲 $0\leqq t\leqq T$ で，いくつかの正弦波で近似できる．すなわち，

$f(t)\fallingdotseq \sum _{n=0}^{N}A_{n}\sin(n\omega t+\varphi _{n})$

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}$

この信号に対する式 (4.15) の定常応答は，重ね合わせの原理と上の議論から，

$x_{s}(t)\fallingdotseq \sum _{n=0}^{N}{\frac {A_{n}}{|p(i\omega )|}}\sin(n\omega t+\varphi _{n}-\theta _{n})$

$\theta _{n}:=\mathrm {arg} \ p(in\omega )$

となる．これが $f(t)$ とほぼ同じ波形となるためには，

(i) $|p(in\omega |,n=0,1,\cdots ,N$ がほぼ一定（$\fallingdotseq B$）

(ii) $\theta _{n}$ がほぼ $n$ に比例する．（$n\omega _{0})$）

という条件があればよいことが分かる．このとき，

$x_{s}(t)\fallingdotseq \sum _{n=0}^{N}{\frac {A}{B}}\sin \left\{n\omega \left(t-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right)+\varphi _{n}\right\}$

$x_{s}(t)\fallingdotseq {\frac {1}{B}}f\left(t-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right)$

となり，所期の目的を達成する．

$\omega$ を変数と考え，$p(i\omega )$ を系 (4.15) の周波数特性と呼ぶことにすれば，上の条件は“考えている周波数範囲では，周波数特性があまり変わらない”ということである（$p(i\omega )$ の偏角は $\omega$ に比例して変わってもよい）。この条件は周波数の小さい範囲で現実できる．言い換えれば，入力信号の変動が余り激しくなければ，出力応答はそれに追従するということで，あたりまえの結果である．交流を直流の計器で計る場合を想像してみればよい．