(1)[編集]
前章までで取り扱った単独高階の微分方程式,
(5.9)

は,次のような変数を選べば,連立微分方程式とみなすことができる.すなわち,

とおけば,

となり,また初期条件は,

となる.
そこで,この節では,もう少し一般化した定数係数の連立 1 階線形微分方程式,
(5.10)

および初期条件

を取り扱うことにする.ここで,

および,

とおけば,式 (5.10) と初期条件は,
(5.11)

と簡潔に表示できる.ここに,

である.
(2)[編集]
ここで少し記号の約束をしておこう.
関数を成分とする行列,

に対して,この行列の微分あるいは積分を,その成分の微分あるいは積分を成分とする行列と定義する.すなわち,

あるいは,

と約束する.この約束に従えば,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[B(t)]:={\begin{pmatrix}{\mathcal {L}}[b_{11}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{12}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{13}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}[b_{1n}(t)]\\{\mathcal {L}}[b_{21}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{22}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{23}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}[b_{2n}(t)]\\{\mathcal {L}}[b_{31}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{32}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{33}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}[b_{3n}(t)]\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\{\mathcal {L}}[b_{m1}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{m2}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{m3}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}[b_{mn}(t)]\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3097f551a4c8a41effcf2a5d55b83a952b9fe563)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}[B(t)]:={\begin{pmatrix}{\mathcal {L}}^{-1}[b_{11}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{12}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{13}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}^{-1}[b_{1n}(t)]\\{\mathcal {L}}^{-1}[b_{21}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{22}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{23}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}^{-1}[b_{2n}(t)]\\{\mathcal {L}}^{-1}[b_{31}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{32}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{33}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}^{-1}[b_{3n}(t)]\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\{\mathcal {L}}^{-1}[b_{m1}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{m2}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{m3}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}^{-1}[b_{mn}(t)]\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d20daf1a1ff1ea9b3f0bcdce8349d7347a1a5b4b)
は必然である[1].
また
を関数を成分とする行列とし,積
が定義できるものとすれば,
(5.11a)

(5.11b)

などは明らかであろう.
例114
式 (5.11a), 式 (5.11b) を示せ.
解答例
(1) 式 (5.11a)の証明.
行列
の第
行第
列成分を
,
これと並行に成分の表示方法として,行列
の各成分を
と表示するものとすると,

よって,





以上により式 (5.11a)の証明が完了する.
(2)式 (5.11b)の証明.


ここで
より,



- ^

また,
とおけば,


両辺に左から
を働かせて,


したがって,
(5.12)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]-{\boldsymbol {x}}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d9c579f7e2701a3206338f9b7d1652289cc73e)
(5.13)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[A{\boldsymbol {x}}]=A{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e6c50615a0f9f993fa17806cd6c9905aeb6ac4)
などの計算が許される.ただし 式 (5.13) の
は定数行列とする.
たとえば式 (5.12)
の証明は次のとおりである。

と略記すると,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}']={\mathcal {L}}[(x_{i})']=({\mathcal {L}}[x_{i}'])=(s{\mathcal {L}}[x_{i}]-x_{i}(0))=s({\mathcal {L}}[x_{i}])-(x_{i}(0))=s{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]-{\boldsymbol {x}}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541e46475fcb4eea514ec92b3c4f1f7e2a3c297a)
ただ定義に従って変形していくだけでよい[1].
- ^
式 (5.13) の証明は次のとおり.
まず,
は
行 1 列のベクトルになることに注意して,
上述のとおり,行列
の各成分を
と,また,ベクトル
の第
成分を
と表記するものとすると,
.…①
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[(A{\boldsymbol {x}})_{i}]={\mathcal {L}}[\sum _{k}a_{ik}x_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5db3d96423e787bc0456ea912ba4c447a98225)
![{\displaystyle =\sum _{k}a_{ik}{\mathcal {L}}[x_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee9208e0e4f77c60f1552dfcd7082b2a791d334)
![{\displaystyle =\sum _{k}(A)_{ik}({\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}])_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d7d040a275828968f0f3874d47241b53659c8e)
①.
![{\displaystyle \therefore {\mathcal {L}}[A{\boldsymbol {x}}]=A{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8e810867c016cf813a2baf663d504941c0a6c9)
(3)[編集]
さて以上の準備の下に,

は次のように解くことができる.
この式を Laplace 変換すると,
![{\displaystyle s{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]-{\boldsymbol {x}}(0)=A{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]+{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {f}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aef9fb122cad388f316010f2dc81306dd498866)
すなわち,
![{\displaystyle (sI-A){\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]={\boldsymbol {x}}(0)+{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {f}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac478b48b1d991c2fc24d95f57935119d63a211)
となる.ここに
は
次の単位行列である.
を
の逆行列とすれば,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]=(sI-A)^{-1}{\boldsymbol {x}}(0)+(sI-A)^{-1}{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {f}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bbd41ce3281c0a9dddf7dd154fa51bc62d14de)
となる.いま,
(5.14)

とおけば,
(5.14b)

となる.以上は例題を通して考察したことの繰り返しに過ぎない.
これからわかるように,連立微分方程式を解くことの中心は式 (5.14) を計算することである.