制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/(sI-A)^-1の原像

さて Cayley-Hamilton の定理を用いると，$A$ の関数は高々 $n-1$ 次の $A$ の多項式で表されることがわかる． それで $(sI-A)^{-1}$ を $A$ の多項式で表してみよう． 式 (5.21) をスカラで表した式，

(5.22b)

$p(s)-p(\alpha )=(s-\alpha )\left\{s^{n-1}+p_{1}(\alpha )s^{n-2}+p_{2}(\alpha )s^{n-3}+\cdots +p_{n-3}(\alpha )s^{2}+p_{n-2}(\alpha )s+p_{n-1}(\alpha )\right\}$

と，$s$ と $\alpha$ を入れ替えた式，

(5.22c)

$p(\alpha )-p(s)=(\alpha -s)\left\{\alpha ^{n-1}+p_{1}(s)\alpha ^{n-2}+p_{2}(s)\alpha ^{n-3}+\cdots +p_{n-3}(s)\alpha ^{2}+p_{n-2}(s)\alpha +p_{n-1}(s)\right\}$

が成り立つであることは明らかであろう．前の式において $\alpha$ を $A$ とおくと，$p(A)=0$ であるから，式 (5.21) が得られ，後の式で $\alpha$ を $A$ とおくと，

(5.22d)

$-p(s)I=(A-sI)\left\{A^{n-1}+p_{1}(s)A^{n-2}+p_{2}(s)A^{n-3}+\cdot +p_{n-3}(s)A^{2}+p_{n-2}(s)A+p_{n-1}(s)I\right\}$

となる．もちろん $p(A)=0$ である．よって次の結果を得る．

定理 5.2$\quad$

$A$ の固有方程式を

$p(s)=s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-2}s^{2}+a_{n-1}s+a_{n}$

とすれば，

(5.22e)

$(sI-A)^{-1}={\frac {p_{0}(s)}{p(s)}}A^{n-1}+{\frac {p_{1}(s)}{p(s)}}A^{n-2}+{\frac {p_{2}(s)}{p(s)}}A^{n-3}+\cdots +{\frac {p_{n-3}}{p(s)}}A^{2}+{\frac {p_{n-2}}{p(s)}}A+{\frac {p_{n-1}}{p(s)}}I$

が成立する．ここに，

$p_{i}(s)=sp_{i-1}(s)+a_{i}\quad (i=1,\cdots n)$

である．ただし，$p_{0}(s)=1,p_{n}(s)=p(s)$ とする ．

$\diamondsuit$

系

$(sI-A)^{-1}$ の原像 ${\mathit {\Phi }}(t)$ は，

${\mathit {\Phi }}(t)=\alpha _{0}(t)A^{n-1}+\alpha _{1}(t)A^{n-2}+\alpha _{2}(t)A^{n-3}+\cdots +\alpha _{n-3}(t)A^{2}+\alpha _{n-2}(t)A+\alpha _{n-1}(t)I$

ここに，

$\alpha _{i}(t)\sqsupset {\frac {p_{i}(s)}{p(s)}},\quad (i=0,\cdots ,n-1)$

で与えられる．

$\diamondsuit$

$(sI-A)^{-1}$ を求めるには，$A$ の固有方程式が分かっているときには，この定理によるのが一番簡単なようである． しかし，その原像を求めるときには必ずしも一番簡単とはいえない．

例116$\quad$

$s^{n-1}I+p_{1}(A)s^{n-2}+p_{2}(A)s^{n-3}+\cdots +p_{n-3}(A)s^{2}+p_{n-2}(A)s+p_{n-1}(A)$

$=A^{n-1}+p_{1}(s)A^{n-2}+p_{2}(s)A^{n-3}+\cdots +p_{n-3}(s)A^{2}+p_{n-2}(s)A+p_{n-1}(s)I$

を式の変形によって証明せよ．

解答例

$\diamondsuit$