出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
さて Cayley-Hamilton の定理を用いると,
の関数は高々
次の
の多項式で表されることがわかる.
それで
を
の多項式で表してみよう.
式 (5.21) をスカラで表した式,
(5.22b)
![{\displaystyle p(s)-p(\alpha )=(s-\alpha )\left\{s^{n-1}+p_{1}(\alpha )s^{n-2}+p_{2}(\alpha )s^{n-3}+\cdots +p_{n-3}(\alpha )s^{2}+p_{n-2}(\alpha )s+p_{n-1}(\alpha )\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f924a532523313484d63da45f157c019a2e89b)
と,
と
を入れ替えた式,
(5.22c)
![{\displaystyle p(\alpha )-p(s)=(\alpha -s)\left\{\alpha ^{n-1}+p_{1}(s)\alpha ^{n-2}+p_{2}(s)\alpha ^{n-3}+\cdots +p_{n-3}(s)\alpha ^{2}+p_{n-2}(s)\alpha +p_{n-1}(s)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7260311a80b8eec0d852a70803c01ae4658f609)
が成り立つであることは明らかであろう[1].前の式において
を
とおくと,
であるから,式 (5.21) が得られ,後の式で
を
とおくと,
(5.22d)
![{\displaystyle -p(s)I=(A-sI)\left\{A^{n-1}+p_{1}(s)A^{n-2}+p_{2}(s)A^{n-3}+\cdot +p_{n-3}(s)A^{2}+p_{n-2}(s)A+p_{n-1}(s)I\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1040bd8abfea3f79f12cde48ce110c2d729610d)
となる.もちろん
である.よって次の結果を得る.
定理 5.2
の固有方程式を
![{\displaystyle p(s)=s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-2}s^{2}+a_{n-1}s+a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac12da220998ce8a99e2f2c840737055d54cc9d)
とすれば,
(5.22e)
![{\displaystyle (sI-A)^{-1}={\frac {p_{0}(s)}{p(s)}}A^{n-1}+{\frac {p_{1}(s)}{p(s)}}A^{n-2}+{\frac {p_{2}(s)}{p(s)}}A^{n-3}+\cdots +{\frac {p_{n-3}}{p(s)}}A^{2}+{\frac {p_{n-2}}{p(s)}}A+{\frac {p_{n-1}}{p(s)}}I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43389b74e69f792b1270c0cffd5458b73d3317b)
が成立する.ここに,
![{\displaystyle p_{i}(s)=sp_{i-1}(s)+a_{i}\quad (i=1,\cdots n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74b5fdc9426672618c14169b98ecad703341078)
である.ただし,
とする
[2][3].
系
の原像
は,
![{\displaystyle {\mathit {\Phi }}(t)=\alpha _{0}(t)A^{n-1}+\alpha _{1}(t)A^{n-2}+\alpha _{2}(t)A^{n-3}+\cdots +\alpha _{n-3}(t)A^{2}+\alpha _{n-2}(t)A+\alpha _{n-1}(t)I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825412c836ee8ac8c6c419ace0588f821daaa577)
ここに,
![{\displaystyle \alpha _{i}(t)\sqsupset {\frac {p_{i}(s)}{p(s)}},\quad (i=0,\cdots ,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ff3dc756ded271eaee2bc55225c20ecfc7ef88)
で与えられる[4].
を求めるには,
の固有方程式が分かっているときには,この定理によるのが一番簡単なようである.
しかし,その原像を求めるときには必ずしも一番簡単とはいえない.
例116
![{\displaystyle s^{n-1}I+p_{1}(A)s^{n-2}+p_{2}(A)s^{n-3}+\cdots +p_{n-3}(A)s^{2}+p_{n-2}(A)s+p_{n-1}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd087fbc76c6770f919ea5ef6292a44d61f1c1c1)
![{\displaystyle =A^{n-1}+p_{1}(s)A^{n-2}+p_{2}(s)A^{n-3}+\cdots +p_{n-3}(s)A^{2}+p_{n-2}(s)A+p_{n-1}(s)I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ca64e8a27c399a04b7443e0a82725c3b976b1b)
を式の変形によって証明せよ.
解答例
- ^ その理由は直後に記述されている,念のため.
- ^
式 (5.22d) の両辺を
で割ると,
.
.
- ^
式 (5.21) ⇒
式 (5.22b) ⇒
式 (5.22c) ⇒
式 (5.22d) ⇒
式 (5.22e)
の展開である.
- ^
は
を含まない定数,よって式 (5.22e) の原像を求めればこの式となる.