出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
(2.3)
![{\displaystyle \int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ab056678c7a35857619ff2d0d2f5e7ced0983d)
を
と
の合成積といい,
![{\displaystyle f(t)*g(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0b0f811ad7f16660274e0e4c19aa1c8ea319ee)
または
![{\displaystyle f*g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de088e4a3777d3b5d2787fdec81acd91e78a719e)
と略記する[1].
次の性質は重要である.
(2.4)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f*g]={\mathcal {L}}[f]\cdot {\mathcal {L}}[g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec040fca58247df46b723911b3fd729c499525a)
証明
定義により,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f*g]=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau \right\}e^{-st}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785daf4a11a2e26ed5173caa9d1046efbd67f1a8)
右辺の積分の範囲は
であるから,図に示した三角形領域である.
積分順序を交換すると,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f*g]=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{\tau }^{\infty }f(t-\tau )e^{-st}dt\right\}g(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5c18c7439926e221ceca37dbd3da8aeceed676)
となる.ここで
と変形し,
によって、積分変数を
から
に変えると,
[2]
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f*g]=\int _{0}^{\infty }f(v)e^{-sv}dv\int _{0}^{\infty }g(\tau )e^{-s\tau }d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c50dd3a217c36ee049d81b9e2fc6a3d779641bf)
![{\displaystyle ={\mathcal {L}}[f]\cdot {\mathcal {L}}[g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fac6286e843a3b802c236a5a3ced46029260ac)
別証
上の積分順序の変更は,図のような説明によらなくても,形式的に次のように考えてもよい.
に注意すると
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau \right\}e^{-st}dt=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )d\tau \right\}e^{-st}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c45c3503da4502941bbe4607513c320ef3d189)
と積分の上限を
にとることができる[3].
このようにしておいてから積分順序を交換すると,
![{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{\infty }f(t-\tau )e^{-st}dt\right\}g(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c2a561834044759035f12631a2162dff5ad0ca)
となる.ここで再び
を想起すると,内側の積分の下限は
でよく[4],
![{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{\tau }^{\infty }f(t-\tau )e^{-st}dt\right\}g(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16256ae5ebba6c7cc11eb41e1d20651b46ee79a)
を得る.[5]
例18
上の(最初の)証明から分かるように,積分順序の交換式は
は必要でない.別証のアイディアは、この仮定をはずしてもいかすことができる.
どう考えたらよいか.
解答例
定積分の上限を
とする.
,
にて,
であることを示す.
定義域
の
の領域で重積分することを考えれば
(2.4a)
![{\displaystyle \int _{0}^{T}dt\int _{t}^{T}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}=\int _{0}^{T}d\tau \int _{0}^{\tau }dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136e3b531caf47fddd198da16b7ffdb8f30273c6)
式(2.4a)の左辺と
を加えたものは,
![{\displaystyle S_{1}+\int _{0}^{T}dt\int _{t}^{T}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}=\int _{0}^{T}dt\left\{\int _{0}^{t}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}+\int _{t}^{T}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11933e6d2bcc7c25a33d28acb1aac726f1db560)
![{\displaystyle =\int _{0}^{T}dt\int _{0}^{T}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55ebffa8bfe2c42f1d339ef711131e62052b750)
また,式(2.4a)の右辺と
を加えたものは,
![{\displaystyle S_{2}+\int _{0}^{T}d\tau \int _{0}^{\tau }dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}=\int _{0}^{T}d\tau \left\{\int _{\tau }^{T}dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}+\int _{0}^{\tau }dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb169fd3b92db7aa5da1388a30b2c876e5a8f5d)
![{\displaystyle =\int _{0}^{T}d\tau \int _{0}^{T}dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d627ceeed769e649842fabd1563db37ad6087a8)
今,積分順序の交換が可能である仮定のもとで,
より,
![{\displaystyle S_{1}+\int _{0}^{T}dt\int _{t}^{T}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}=S_{2}+\int _{0}^{T}d\tau \int _{0}^{\tau }dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7d853e428bf278155026bc58f70c0fa7059b15)
よって,式(2.4a)より,
,すなわち,
![{\displaystyle \int _{0}^{T}dt\int _{0}^{t}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}=\int _{0}^{T}d\tau \int _{\tau }^{T}dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6360cdf96be5be00299878bc4f5d4bdc4e9e353b)
で両辺とも極限値を持てば,同じくこの等式は成立する.