出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
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(2.3)

を
と
の合成積といい,

または

と略記する[1].
次の性質は重要である.
(2.4)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f*g]={\mathcal {L}}[f]\cdot {\mathcal {L}}[g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec040fca58247df46b723911b3fd729c499525a)
証明
定義により,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f*g]=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau \right\}e^{-st}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785daf4a11a2e26ed5173caa9d1046efbd67f1a8)
右辺の積分の範囲は
であるから,図に示した三角形領域である.
積分順序を交換すると,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f*g]=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{\tau }^{\infty }f(t-\tau )e^{-st}dt\right\}g(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5c18c7439926e221ceca37dbd3da8aeceed676)
となる.ここで
と変形し,
によって、積分変数を
から
に変えると,
[2]
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f*g]=\int _{0}^{\infty }f(v)e^{-sv}dv\int _{0}^{\infty }g(\tau )e^{-s\tau }d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c50dd3a217c36ee049d81b9e2fc6a3d779641bf)
![{\displaystyle ={\mathcal {L}}[f]\cdot {\mathcal {L}}[g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fac6286e843a3b802c236a5a3ced46029260ac)
別証
上の積分順序の変更は,図のような説明によらなくても,形式的に次のように考えてもよい.
に注意すると

と積分の上限を
にとることができる[3].
このようにしておいてから積分順序を交換すると,

となる.ここで再び
を想起すると,内側の積分の下限は
でよく[4],

を得る.[5]
例18
上の(最初の)証明から分かるように,積分順序の交換式は
は必要でない.別証のアイディアは、この仮定をはずしてもいかすことができる.
どう考えたらよいか.
解答例
定積分の上限を
とする.
,
にて,
であることを示す.
定義域
の
の領域で重積分することを考えれば
(2.4a)

式(2.4a)の左辺と
を加えたものは,


また,式(2.4a)の右辺と
を加えたものは,


今,積分順序の交換が可能である仮定のもとで,
より,

よって,式(2.4a)より,
,すなわち,

で両辺とも極限値を持てば,同じくこの等式は成立する.