制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/合成積の Laplace 変換

(2.3)

$\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

を $f(t)$ と $g(t)$ の合成積といい，

$f(t)*g(t)$ または $f*g$

と略記する． 次の性質は重要である．

(2.4)

${\mathcal {L}}[f*g]={\mathcal {L}}[f]\cdot {\mathcal {L}}[g]$

証明$\quad$

定義により，

${\mathcal {L}}[f*g]=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau \right\}e^{-st}dt$

右辺の積分の範囲は $0<\tau <t<\infty$ であるから，図に示した三角形領域である．

積分順序を交換すると，

${\mathcal {L}}[f*g]=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{\tau }^{\infty }f(t-\tau )e^{-st}dt\right\}g(\tau )d\tau$

となる．ここで $e^{-st}=e^{-s(t-\tau )}\cdot e^{-s\tau }$ と変形し，$v:=t-\tau$ によって、積分変数を $t$ から $v$ に変えると，

${\mathcal {L}}[f*g]=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{\infty }f(v)e^{-sv}dv\right\}g(\tau )e^{-s\tau }d\tau$

${\mathcal {L}}[f*g]=\int _{0}^{\infty }f(v)e^{-sv}dv\int _{0}^{\infty }g(\tau )e^{-s\tau }d\tau$

$={\mathcal {L}}[f]\cdot {\mathcal {L}}[g]$

別証$\quad$

上の積分順序の変更は，図のような説明によらなくても，形式的に次のように考えてもよい．$f(t)=0\quad (t<0)$ に注意すると

$\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau \right\}e^{-st}dt=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )d\tau \right\}e^{-st}dt$

と積分の上限を $\infty$ にとることができる． このようにしておいてから積分順序を交換すると，

$=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{\infty }f(t-\tau )e^{-st}dt\right\}g(\tau )d\tau$

となる．ここで再び $f(t)=0\quad (t<0)$ を想起すると，内側の積分の下限は $\tau$ でよく，

$=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{\tau }^{\infty }f(t-\tau )e^{-st}dt\right\}g(\tau )d\tau$

を得る．

例18$\quad$ 上の（最初の）証明から分かるように，積分順序の交換式は $f(t)=0\quad (t<0)$ は必要でない．別証のアイディアは、この仮定をはずしてもいかすことができる． どう考えたらよいか．

解答例$\quad$

定積分の上限を $T$ とする． $S_{1}=\int _{0}^{T}dt\int _{0}^{t}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}$， $S_{2}=\int _{0}^{T}d\tau \int _{\tau }^{T}dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}$ にて，$S_{1}=S_{2}$ であることを示す．

定義域 $(t,\tau )$ の $0<t<\tau <T$ の領域で重積分することを考えれば

(2.4a)

$\int _{0}^{T}dt\int _{t}^{T}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}=\int _{0}^{T}d\tau \int _{0}^{\tau }dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}$

式(2.4a)の左辺と $S_{1}$ を加えたものは，

$S_{1}+\int _{0}^{T}dt\int _{t}^{T}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}=\int _{0}^{T}dt\left\{\int _{0}^{t}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}+\int _{t}^{T}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}\right\}$

$=\int _{0}^{T}dt\int _{0}^{T}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}$

また，式(2.4a)の右辺と $S_{2}$ を加えたものは，

$S_{2}+\int _{0}^{T}d\tau \int _{0}^{\tau }dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}=\int _{0}^{T}d\tau \left\{\int _{\tau }^{T}dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}+\int _{0}^{\tau }dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}\right\}$

$=\int _{0}^{T}d\tau \int _{0}^{T}dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}$

今，積分順序の交換が可能である仮定のもとで，$\int _{0}^{T}dt\int _{0}^{T}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}=\int _{0}^{T}d\tau \int _{0}^{T}dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}$ より，

$S_{1}+\int _{0}^{T}dt\int _{t}^{T}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}=S_{2}+\int _{0}^{T}d\tau \int _{0}^{\tau }dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}$

よって，式(2.4a)より，$S_{1}=S_{2}$，すなわち，

$\int _{0}^{T}dt\int _{0}^{t}d\tau f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}=\int _{0}^{T}d\tau \int _{\tau }^{T}dt\ f(t-\tau )g(\tau )e^{-st}$

$T\to \infty$ で両辺とも極限値を持てば，同じくこの等式は成立する．

$\diamondsuit$

例19$\quad$

(i) $f*g=g*f$

(ii) $(kf)*g=k(f*g)$

(iii) $f*(g*h)=(f*g)*h$

(iv) $f*(g+h)=f*g+f*h$

を示せ．

解答例$\quad$

(i)

$f*g=\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

にて，$v=t-\tau$ とおいて積分変数を $\tau$ から $v$ に換えるとき，$dv=-d\tau$，また $\tau$ が $0\to t$ と変化するとき $v$ は $t\to 0$ と変化するから，

$f*g=-\int _{t}^{0}f(v)g(t-v)dv=\int _{0}^{t}g(t-v)f(v)dv=g*f$．

(ii)

$(kf)*g=\int _{0}^{t}\{kf(t-\tau )\}g(\tau )d\tau$

$=\int _{0}^{t}kf(t-\tau )g(\tau )d\tau$

$=k\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau =k(f*g)$．

(iii) これはとても難しい…いつか分かる日が来るのだろうか？

(iv)

$f*(g+h)=\int _{0}^{t}f(t-\tau )\left\{g(\tau )+h(\tau )\right\}d\tau$．

$=\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau +\int _{0}^{t}f(t-\tau )h(\tau )d\tau =f*g+f*h$．

$\diamondsuit$