制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/Laplace 変換の線形性

$f(t)$ と $g(t)$ の Laplace 変換が存在し，$a$ は定数とする．このとき，

$\int _{0}^{\infty }af(t)e^{-st}dt=a\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

および

$\int _{0}^{\infty }\{f(t)+g(t)\}e^{-st}dt=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt+\int _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}dt$

が成立する．これは証明するまでもなく明らかであろう．これら 2 式を一つにまとめ，記号 ${\mathcal {L}}$ を用いて書けば，

(2.2)

${\mathcal {L}}[af(t)+bg(t)]=a{\mathcal {L}}[f(t)]+b{\mathcal {L}}[g(t)]$

となる．ここに $a,b$ は定数である．式 (2.2) は ${\mathcal {L}}$ で表される演算子が，線形演算子であることを示している．