の不定積分は,次のように合成積

と書けることに注意しよう.すなわち,積分するということは,合成積の意味で
を掛けることを意味する.
Laplace 変換の基本性質の(1)
と(3)を用いると,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left[\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \right]={\mathcal {L}}[1]\cdot {\mathcal {L}}[f]={\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061320f9363070c4794f6633073214f4cd8daaed)
よって
(2.6)
![{\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \sqsupset {\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3056d9a9b7580155c1697af1547abd596fdc410)
を得る.すなわち
領域での積分は
領域[1]では
で割ることに対応する.
さて,


以下同様にして,帰納的に,
(2.7)

を得る.この左辺の Laplace 変換は,基本性質のLaplace 変換の基本性質の(1)と(3)を用いれば,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[1*1*\cdots *1]=({\mathcal {L}}[1])^{n}={\frac {1}{s^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0f79b459b5e5fd88892f4ab8b81c2e6252d263)
であるから,
(2.8)

を得る.
例20
式(2.8) を Laplace 変換の定義式から直接導け.
解答例
(2.8b)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[t^{n}]=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-st}dt=\left[t^{n}\left(-{\frac {1}{s}}\right)e^{-st}\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }nt^{n-1}\left({\frac {-1}{s}}\right)e^{-st}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161cdf791a1d32d65029e91510e8c8e6b013cf78)

すなわち
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[t^{n}]={\frac {n}{s}}{\mathcal {L}}[t^{n-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322e8b2b64e9ebccd4190ad8f234d51051cfd746)
これと,基本性質(1)すなわち
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[t^{0}]={\frac {1}{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b504b5f611fe744d25d8a73194ce2521064005)
および基本性質(2)とを再帰的に適用して式(2.8)を得られる.実際、
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[t^{1}]={\frac {1}{s}}\cdot {\frac {1}{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73e2fee162b676d0005bdc99f0937b595c308e5)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[t^{2}]={\frac {1}{s}}\cdot {\frac {1}{s}}\cdot {\frac {2}{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf1963daec76f7b48fa71ec09f8120e728a2a22)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[t^{3}]={\frac {1}{s}}\cdot {\frac {1}{s}}\cdot {\frac {2}{s}}\cdot {\frac {3}{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae9e324c3b9400cb2e2d67a1eeb8956b2e59f0f)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[t^{4}]={\frac {1}{s}}\cdot {\frac {1}{s}}\cdot {\frac {2}{s}}\cdot {\frac {3}{s}}\cdot {\frac {4}{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/879a539a48bc85d8ed128be249dc1b74df91bc3e)
すなわち
![{\displaystyle {\frac {{\mathcal {L}}[t^{n}]}{n!}}={\frac {1}{s^{n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe78f67dd986daed1248410dd160c0ee34194ed)
これに基本性質(2)を適用すれば,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {t^{n}}{n!}}\right]={\frac {1}{s^{n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7544746d3da5decb29a8cdd02ad36194a50c4c)
この導出方法は基本性質(1)(2)を使ってしまっているし,あと,こういうのは数学的帰納法で記述するべきであるが,基本性質(1)(2)は容易な積分なこともありこれで勘弁してほしい.
これらの結果を用いて、次の Cauchey の公式と呼ばれるものを示そう.
(2.9)

証明
合成積の記号を用いて表せば一目瞭然である.すなわち,

となるが,この式の正しいことは式(2.7)から明らかである.
なお Cauchy の公式を Laplace 変換すれば,その像は,左辺右辺ともに,
![{\displaystyle {\frac {1}{s^{n}}}{\mathcal {L}}[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef01f4ed357ee0d63c9df0c9b78ca7c5646ed8f3)
になることを注意しておこう.
の導関数を
とする.微分積分法の基本公式,

の両辺を Laplace 変換すると
[2]
となる.
を払えば,
(2.10)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f']=s{\mathcal {L}}[f]-f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7222bca52530729f8b341a4df58b25c4a7bfefd)
となる.
ならば,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f']=s{\mathcal {L}}[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b7541c96a2e348557c26088af9eac3dd2c6db40)
となり,
領域での微分は,
領域で
を掛けることに対応し,微分と積分が逆演算であることが鮮明となる.
式(2.10) を 2 度繰り返すと
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f'']=s{\mathcal {L}}[f']-f'(0)=s\left\{s{\mathcal {L}}[f]-f'(0)\right\}-f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa734553bb6b244da1c7a7596f799953fe4a283)
よって
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f'']=s^{2}{\mathcal {L}}[F]-sf(0)-f'(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e298ea96772ed98acbd9d0a07a711cace0cd2ed1)
以下同様にして,[3]
帰納的に
(2.11)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f^{(n)}]=s^{n}{\mathcal {L}}[f]-s^{n-1}f(0)-f^{n-2}f'(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1dbe3f09b092f320fdb324f59793a43e22b50df)
を得る.初期値がすべて
の場合,この公式は,

とみなしてよいことを示している.なお
は
の第
階導関数である.
式(2.11) は Taylor の公式を示す.事実,
について解くと,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f]={\frac {f(0)}{s}}+{\frac {f'(0)}{s^{2}}}+{\frac {f''(0)}{s^{3}}}+\cdots +{\frac {f^{(n-1)}(0)}{s^{n}}}+{\frac {1}{s^{n}}}{\mathcal {L}}[f^{(n)}(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/033dfe271045f7636a5bc811cb028e9b18613508)
となるが,式(2.8)および Cauchey の公式 (2.9) を用いて,この原像を求めれば,
(2.11a)
[4][5]
例21

を解け.
解答例
式(2.11a) に
を代入すればよい.

- ^ Laplace 変換した領域をこのように略称する.
- ^
- ^
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f^{(3)}]=s^{3}{\mathcal {L}}[f]-s^{2}f(0)-sf^{(1)}(0)-f^{(2)}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbd1da07707be3b3ca930fbdf6919a1616bd813)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f^{(4)}]=s^{4}{\mathcal {L}}[f]-s^{3}f(0)-s^{2}f^{(1)}(0)-sf^{(2)}(0)-f^{(3)}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7ca20d675adc495754e61f9ca4621c19c4d7e5)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f^{(5)}]=s^{5}{\mathcal {L}}[f]-s^{4}f(0)-s^{3}f^{(1)}(0)-s^{2}f^{(2)}(0)-sf^{(3)}(0)-f^{(4)}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91499f6d224866d5b08d10359128e026a8d281d0)
- ^
- ^
Taylor 展開の剰余項の積分表示について復習する.定積分の定義より

よって

これ以降、
は定数とする.最後の積分の項を部分積分する。
を
で積分すると
になるとする.実際
を
で微分すると
.
![{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+\left[f'(\tau )(x-\tau )\right]_{\tau =x}^{\tau =x_{0}}+\int _{x_{0}}^{x}f''(x-\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a914d105168bc1829391f60265eae6ff850e25c)

さらに積分の項を部分積分する。
を
で積分すると
になるとする.実際
を
で微分すると
.
![{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\left[f''(\tau ){\frac {(x-\tau )^{2}}{2!}}\right]_{\tau =x}^{\tau =x_{0}}+\int _{x_{0}}^{x}f^{(3)}(\tau ){\frac {(x-\tau )^{2}}{2!}}d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894f86e373e812cc3977c34e11430dc2c3f274af)

さらに積分の項を部分積分する。
を
で積分すると
になるとする.

の指数が
になるまでこの過程を繰り返すと次の最終形になる.

厳密には数学的帰納法で記述するべきであるが,これで勘弁してほしい….