制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換

§1

$f(t)$ の不定積分は，次のように合成積

$\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau =1*f(t)$

と書けることに注意しよう．すなわち，積分するということは，合成積の意味で $1$ を掛けることを意味する． Laplace 変換の基本性質の(1) と(3)を用いると，

${\mathcal {L}}\left[\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \right]={\mathcal {L}}[1]\cdot {\mathcal {L}}[f]={\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}[f]$

よって

(2.6)

$\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \sqsupset {\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}[f]$

を得る．すなわち $t$ 領域での積分は $s$ 領域では $s$ で割ることに対応する．

さて，

$1*1=\int _{0}^{t}1d\tau =t$

$1*1*1=1*t=\int _{0}^{t}\tau d\tau ={\frac {t^{2}}{2!}}$

以下同様にして，帰納的に，

(2.7)

$\underbrace {1*1*\cdots *1} _{n{\text{個}}}={\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}$

を得る．この左辺の Laplace 変換は，基本性質のLaplace 変換の基本性質の(1)と(3)を用いれば，

${\mathcal {L}}[1*1*\cdots *1]=({\mathcal {L}}[1])^{n}={\frac {1}{s^{n}}}$

であるから，

(2.8)

${\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}\sqsupset {\frac {1}{s^{n}}}$

を得る．

例20$\quad$

式(2.8) を Laplace 変換の定義式から直接導け．

解答例$\quad$

(2.8b)

${\mathcal {L}}[t^{n}]=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-st}dt=\left[t^{n}\left(-{\frac {1}{s}}\right)e^{-st}\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }nt^{n-1}\left({\frac {-1}{s}}\right)e^{-st}dt$

$={\frac {n}{s}}\int _{0}^{t}t^{n-1}e^{-st}dt$

すなわち

${\mathcal {L}}[t^{n}]={\frac {n}{s}}{\mathcal {L}}[t^{n-1}]$

これと，基本性質(1)すなわち

${\mathcal {L}}[t^{0}]={\frac {1}{s}}$

および基本性質(2)とを再帰的に適用して式(2.8)を得られる．実際、

${\mathcal {L}}[t^{1}]={\frac {1}{s}}\cdot {\frac {1}{s}}$

${\mathcal {L}}[t^{2}]={\frac {1}{s}}\cdot {\frac {1}{s}}\cdot {\frac {2}{s}}$

${\mathcal {L}}[t^{3}]={\frac {1}{s}}\cdot {\frac {1}{s}}\cdot {\frac {2}{s}}\cdot {\frac {3}{s}}$

${\mathcal {L}}[t^{4}]={\frac {1}{s}}\cdot {\frac {1}{s}}\cdot {\frac {2}{s}}\cdot {\frac {3}{s}}\cdot {\frac {4}{s}}$

すなわち

${\frac {{\mathcal {L}}[t^{n}]}{n!}}={\frac {1}{s^{n+1}}}$

これに基本性質(2)を適用すれば，

${\mathcal {L}}\left[{\frac {t^{n}}{n!}}\right]={\frac {1}{s^{n+1}}}$

この導出方法は基本性質(1)(2)を使ってしまっているし，あと，こういうのは数学的帰納法で記述するべきであるが，基本性質(1)(2)は容易な積分なこともありこれで勘弁してほしい．

$\diamondsuit$

これらの結果を用いて、次の Cauchey の公式と呼ばれるものを示そう．

(2.9)

$\underbrace {\int _{0}^{t}\int _{0}^{t}\cdots \int _{0}^{t}f(t)dtdt\cdots dt} _{n{\text{個}}}=\int _{0}^{t}{\frac {(t-\tau )^{n-1}}{(n-1)!}}f(\tau )d\tau$

証明$\quad$

合成積の記号を用いて表せば一目瞭然である．すなわち，

$\underbrace {1*1*\cdots *1} _{n{\text{個}}}*f(t)={\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}*f(t)$

となるが，この式の正しいことは式(2.7)から明らかである． $\diamondsuit$

なお Cauchy の公式を Laplace 変換すれば，その像は，左辺右辺ともに，

${\frac {1}{s^{n}}}{\mathcal {L}}[f]$

になることを注意しておこう．

§2

$f(t)$ の導関数を $f'(t)$ とする．微分積分法の基本公式，

$\int _{0}^{t}f'(\tau )d\tau =f(t)-f(0)$

の両辺を Laplace 変換すると

${\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}[f']={\mathcal {L}}[f]-{\frac {f(0)}{s}}$

となる．$s$ を払えば，

(2.10)

${\mathcal {L}}[f']=s{\mathcal {L}}[f]-f(0)$

となる．$f(0)=0$ ならば，

${\mathcal {L}}[f']=s{\mathcal {L}}[f]$

となり，$t$ 領域での微分は，$s$ 領域で $s$ を掛けることに対応し，微分と積分が逆演算であることが鮮明となる．

式(2.10) を 2 度繰り返すと

${\mathcal {L}}[f'']=s{\mathcal {L}}[f']-f'(0)=s\left\{s{\mathcal {L}}[f]-f'(0)\right\}-f(0)$

よって

${\mathcal {L}}[f'']=s^{2}{\mathcal {L}}[F]-sf(0)-f'(0)$

以下同様にして， 帰納的に

(2.11)

${\mathcal {L}}[f^{(n)}]=s^{n}{\mathcal {L}}[f]-s^{n-1}f(0)-f^{n-2}f'(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

を得る．初期値がすべて $0$ の場合，この公式は，

${\frac {d}{dt}}\sqsupset s,\quad {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sqsupset s^{n}$

とみなしてよいことを示している．なお $f^{(n)}$ は $f$ の第 $n$ 階導関数である． 式(2.11) は Taylor の公式を示す．事実，${\mathcal {L}}[f]$ について解くと，

${\mathcal {L}}[f]={\frac {f(0)}{s}}+{\frac {f'(0)}{s^{2}}}+{\frac {f''(0)}{s^{3}}}+\cdots +{\frac {f^{(n-1)}(0)}{s^{n}}}+{\frac {1}{s^{n}}}{\mathcal {L}}[f^{(n)}(t)]$

となるが，式(2.8)および Cauchey の公式 (2.9) を用いて，この原像を求めれば，

(2.11a)

$f(t)=f(0)+f'(0)t+{\frac {f''(0)}{2!}}t^{2}+{\frac {f'''(0)}{3!}}t^{3}+\cdots {\frac {f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}}t^{n-1}+\int _{0}^{t}{\frac {(t-\tau )^{n-1}}{(n-1)!}}f^{(n)}(\tau )d\tau$

例21$\quad$

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}=f(t),\quad x(0)=a_{0},x'(0)=a_{1},\cdots x^{(n-1)}=a_{n-1}$

を解け．

解答例

式(2.11a) に $f(0)=a_{0},f'(0)=a_{1},\cdots f^{(n-1)}(0)=a_{n-1}$ を代入すればよい．

$x(t)=a_{0}+a_{1}t+{\frac {a_{2}}{2!}}t^{2}+{\frac {a_{3}}{3!}}t^{3}+\cdots {\frac {a_{n-1}}{(n-1)!}}t^{n-1}+\int _{0}^{t}{\frac {(t-\tau )^{n-1}}{(n-1)!}}f(\tau )d\tau$

$\diamondsuit$