制御工学

制御工学の基礎と応用 - 解析的アプローチ -

制御工学入門

制御工学は、物理システムの挙動を望ましい方向に導くための工学的方法論を扱う学問で、システムの入出力関係を数学的に記述し、その振る舞いを解析・予測することで目的とする制御則を導出することを目指す。制御工学は、航空宇宙、機械、電気、化学、生物学的システムなど、さまざまな分野に応用され、重要な役割を果たしている。

制御系は、一般に「制御対象」となるプラントと、これを操作する「コントローラ」から構成される。制御対象は、例えばモーター、ロボットアーム、化学反応器などであり、コントローラはその挙動を制御するための論理やアルゴリズムを提供する。両者の相互作用を通じて、外乱に対する安定性や目標値への追従性といった望ましい特性を実現する。

特に重要な概念として、フィードバック制御が挙げられる。これは、システムの出力を検出し、その情報を基に入力を調整する方式で、システムの安定性を保ちながら、目標値に近づけるために使用される。

フィードバック制御の基本原理

フィードバック制御系において、制御対象の出力 $y(t)$ は検出器（センサ）によって測定され、目標値 $r(t)$ と比較される。これにより、出力と目標値との間に生じる偏差 $e(t)=r(t)-y(t)$ が算出され、この偏差信号に基づいてコントローラが制御入力 $u(t)$ を生成し、制御対象に印加する。このプロセスを繰り返すことで、外乱やシステムの変動に対する適応力を高め、目標値に追従させることができる。

この閉ループ構造により、システムの安定性が向上し、外部からのノイズや予期しない変動（外乱）に対する抑制性が増す。フィードバック制御は、システムの応答を安定させ、精度よく目標に追従させるための強力な手段である。

数学的表現

数学的には、制御対象とコントローラの伝達関数をそれぞれ $G(s)$ および $K(s)$ とした場合、閉ループ伝達関数 $T(s)$ は以下のように表される：

$T(s)={\frac {G(s)K(s)}{1+G(s)K(s)}}$

この式は、制御対象とコントローラの相互作用により、システム全体の動的挙動を決定する重要な関係式である。ここで、$s$ はラプラス変換の複素変数を示しており、伝達関数 $G(s)$ と $K(s)$ の積が閉ループシステムの動的特性を記述する。

フィードバック制御の応用

フィードバック制御は、現代の多くの技術において欠かせない技術であり、以下はその主な応用例である：

• ロボット制御: ロボットアームの位置や速度を正確に制御するためにフィードバック制御が使用される。センサーで位置や速度を測定し、目標位置に到達するように制御信号を調整する。
• 温度制御: エアコンや冷蔵庫などの温度制御システムでは、室温と設定温度との差をフィードバック信号として使用し、冷却や加熱を調整する。
• 自動車の巡航制御: 自動車の巡航制御では、車速と目標速度との差をフィードバックしてエンジン出力を調整し、一定速度を維持する。

フィードバック制御の種類

フィードバック制御にはいくつかの種類があり、制御システムの要求や特性に応じて選択される。主な制御方式は以下の通りである：

• PID制御: 比例（P）、積分（I）、微分（D）の三つの項を組み合わせて、システムの精度と安定性を向上させる制御方式であり、非常に広く使用されている。
• 状態空間制御: システムの状態を直接扱う方法で、より高次のシステムや複雑な非線形システムに適している。状態変数を使用することで、システム全体の動きをより正確に制御することができる。
• 最適制御: 特定の目的関数（例えば、エネルギー消費の最小化など）を最適化するような制御方式で、数値的な最適化手法を使用して制御の最適性を確保する。

まとめ

制御工学は、システムの挙動を望ましい状態に保つための理論と技術を提供する分野であり、現代の多くの工業システムで欠かせない役割を果たしている。フィードバック制御はその中核的な技術であり、システムの安定性や精度を向上させるために広く使用されている。システムの特性に応じて、PID制御や状態空間制御、最適制御など、さまざまな制御方式が採用されている。

解析学の基礎

制御理論の数学的基礎として、複素関数論および関数解析の基本的概念が重要な役割を果たす。これらの分野は、制御系の挙動を理解し、解析するための強力な道具を提供する。

複素関数論

複素平面 $\mathbb {C}$ 上で定義される関数 $f(z)$ について、その微分可能性はコーシー・リーマンの方程式を満たすことと等価である。この方程式は以下のように表される：

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

ここで、$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ は複素関数の実部 $u(x,y)$ と虚部 $v(x,y)$ に分解される。複素関数論は制御理論において、特にラプラス変換の理論や複素積分において重要な役割を果たす。例えば、複素積分の留数定理はシステムの安定性解析や周波数応答解析において広く利用される。

留数定理は、特定の関数の積分を簡略化するための強力な手法であり、制御理論における周波数領域での解析に欠かせないものである。これにより、システムの周波数応答や極の配置を解析し、安定性や制御系の特性を評価することができる。

関数空間論

制御系の解析において、信号やシステムの特性を表現する関数は適切な関数空間上で考察される。特に、$L^{2}$ 空間（平方可積分関数空間）では、関数 $f(t)$ と $g(t)$ の内積が以下のように定義される：

$(f,g)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {g(t)}}\,dt$

この内積を利用することで、信号のエネルギーやシステムの安定性に関する解析が可能となる。$L^{2}$ 空間は、信号処理やシステムの応答解析において基本的な関数空間であり、エネルギー解析や制御理論の多くの概念がこの空間の性質に基づいて構築されている。

例えば、システムの安定性を評価する際には、システムの応答が $L^{2}$ 空間内に収束するかどうかを調べることが重要である。この収束性が確保されていれば、システムは外乱に対して安定しているとみなすことができる。また、エネルギー的な観点からは、システムの出力信号が時間的にどれだけエネルギーを持つかを評価することができ、制御系の設計や最適化に役立つ。

まとめ

複素関数論と関数空間論は、制御理論の理論的な基盤を支える重要な分野である。複素関数論では、コーシー・リーマンの方程式や留数定理を利用してシステムの安定性や周波数応答を解析する。一方、関数空間論では、信号のエネルギーやシステムの安定性を内積を用いて評価し、制御系の設計や解析において重要な役割を果たしている。

変換理論と信号解析

変換理論は、信号の解析と制御システムの設計において重要な役割を果たす。ラプラス変換やフーリエ解析は、信号やシステムの動作を周波数領域で扱うための強力なツールであり、これらを理解することは制御理論の基盤を構築する。

ラプラス変換の基礎理論

関数 $f(t)$ のラプラス変換 $F(s)$ は、次のように定義される：

$F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

ラプラス変換は、時間領域で記述された線形常微分方程式を、代数方程式に変換するための強力な道具である。これにより、微分方程式の解析が簡単になり、制御系や信号処理において計算を効率化することができる。

ラプラス変換が有効であるためには、関数 $f(t)$ の増大度に関する条件が必要である。具体的には、次の条件が満たされる場合に、ラプラス変換が存在し、一意的であることが保証される：

$|f(t)|\leq Me^{\alpha t}\quad (t\geq 0)$

ここで、$M$ と $\alpha$ は適当な定数であり、関数の増大度が十分に制約されていれば、ラプラス変換が成立する。

フーリエ解析と分布理論

周期関数のフーリエ級数展開は、信号を周波数領域で表現するための基礎を提供する。周期 $2\pi$ の関数 $f(t)$ に対して、フーリエ級数は次のように表される：

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nt+b_{n}\sin nt)$

ここで、係数 $a_{n}$ と $b_{n}$ は次のように定義される：

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos nt\,dt,\quad b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin nt\,dt$

フーリエ級数は周期関数に対する周波数領域での表現を提供し、信号の解析や処理において重要な役割を果たす。この概念を非周期関数にも適用したのがフーリエ変換であり、フーリエ変換は次のように定義される：

$F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

フーリエ変換は、信号を全ての周波数成分に分解する方法であり、信号の周波数成分を解析するための基本的なツールである。特に、デルタ関数 $\delta (t)$ の導入により、フーリエ変換の適用範囲は大幅に拡張される。デルタ関数は理論的には「無限に小さいが、面積が1の関数」として定義され、信号のサンプリングや周波数解析において重要な役割を果たす。

フーリエ変換は、信号処理や制御システムにおいて、システムの周波数応答や、信号の特性を評価するために広く利用される。

制御系のモデリング

制御系のモデリングは、システムの動的挙動を数学的に表現するために重要であり、特に状態空間表現と伝達関数表現は、システムの解析や設計において広く用いられる。

状態空間表現

システムの動的挙動は、状態変数 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ を用いて次のように表現される：

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

ここで、$A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$、$B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$、$C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$、$D\in \mathbb {R} ^{p\times m}$ は定数行列であり、これらの行列はシステムの動的挙動を決定するパラメータを表す。

この状態空間表現は、特に多入力多出力（MIMO）システムや、複雑な動的挙動を持つシステムの解析に適している。状態空間モデルを用いることで、システムの動作を一貫して記述することができ、制御理論の基本的な手法である状態フィードバックや最適制御を適用するための基盤となる。

システムの可制御性（状態変数を任意に制御する能力）は、可制御性行列 ${\mathcal {C}}$ のランクによって判定される。可制御性行列は次のように定義される：

${\mathcal {C}}=[B\quad AB\quad A^{2}B\quad \cdots \quad A^{n-1}B]$

もし ${\text{rank}}({\mathcal {C}})=n$ であれば、システムは可制御であり、任意の状態に遷移させることが可能である。

また、システムの可観測性は、観測行列を用いて判定され、可観測性が確保されているシステムでは、出力情報から全ての状態を推定することができる。

伝達関数表現

状態空間表現から伝達関数への変換は、次の式で与えられる：

$G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$

ここで、$s$ はラプラス変換の複素数変数であり、$G(s)$ はシステムの伝達関数を表す。この伝達関数表現は、システムの入力と出力の関係を周波数領域で直接的に記述するため、周波数応答解析やシステムの安定性解析において重要な役割を果たす。

伝達関数は、特に線形システムにおいて、周波数領域での挙動を把握するための便利なツールであり、システムのポールやゼロの配置を視覚的に解析することができる。また、伝達関数を用いることで、システムの動的応答や安定性を簡単に評価することが可能となる。

システムの安定性解析

リャプノフ安定性理論

非線形システムẋ = f(x)の平衡点x = 0の安定性は、リャプノフ関数V(x)の存在により判定される。V(x)が以下の条件を満たすとき：

1. V(0) = 0
2. V(x) > 0 (x ≠ 0)
3. V̇(x) ≤ 0

システムは安定である。特にV̇(x) < 0 (x ≠ 0)が成り立つとき、漸近安定性が保証される。

線形システムẋ = Axの場合、リャプノフ方程式：

$A^{T}P+PA=-Q$

を満たす正定行列P, Qの存在が、漸近安定性の必要十分条件となる。

入出力安定性

入力u(t)と出力y(t)の関係において、有界入力有界出力(BIBO)安定性は、インパルス応答h(t)について：

$\int _{0}^{\infty }|h(t)|\,dt<\infty$

が成立することと等価である。周波数領域では、伝達関数G(s)のすべての極が左半平面に存在することを意味する。

周波数応答解析

ナイキスト安定判別法

閉ループ系の安定性は、開ループ伝達関数L(s) = G(s)K(s)のナイキスト軌跡により判定される。特に：

$N=Z-P$

ここでNは-1点の右回りの回転数、Zは閉ループ系の不安定零点の数、Pは開ループ系の不安定極の数である。

この原理は複素関数論における偏角の原理に基づいており：

${\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}{\frac {L'(s)}{L(s)}}\,ds=Z-P$

で数学的に証明される。

現代制御理論

最適制御の変分法的アプローチ

評価関数J(u)を最小化する制御入力u(t)を求める問題を考える。代表的な二次形式評価関数：

$J=\int _{0}^{\infty }(x^{T}Qx+u^{T}Ru)\,dt$

に対して、Hamilton-Jacobi-Bellmanの方程式：

$-{\frac {\partial V}{\partial t}}=\min _{u}\left\{{\frac {\partial V}{\partial x}}(Ax+Bu)+{\frac {1}{2}}(x^{T}Qx+u^{T}Ru)\right\}$

が最適性の必要条件を与える。線形二次形式の場合、最適解は：

$u=-R^{-1}B^{T}Px$

の形で与えられ、Pは代数Riccati方程式：

$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q=0$

の解である。

H∞制御理論

外乱抑制問題において、閉ループ系の入出力作用素Twzのノルムを評価する：

$\|T_{wz}\|_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(T_{wz}(j\omega ))<\gamma$

ここでγ > 0は指定された性能水準である。この問題は、一般化制御対象：

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\z\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B_{1}&B_{2}\\C_{1}&D_{11}&D_{12}\\C_{2}&D_{21}&D_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\w\\u\end{bmatrix}}$

に対する二つのRiccati方程式の可解性に帰着される。

非線形制御理論

Lyapunov-Krasovskii汎関数

時間遅れを含むシステム：

${\dot {x}}(t)=f(x_{t}),\quad x_{t}(\theta )=x(t+\theta ),\theta \in [-h,0]$

の安定性解析には、汎関数：

$V(x_{t})=V_{1}(x(t))+\int _{-h}^{0}V_{2}(x(t+\theta ))\,d\theta$

が用いられる。この汎関数の時間微分が負定となることが、システムの漸近安定性の十分条件を与える。

入力状態安定性

非線形システム：

${\dot {x}}=f(x,u)$

に対して、入力状態安定性は以下の不等式で特徴付けられる：

$|x(t)|\leq \beta (|x(0)|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty })$

ここでβはKL関数、γはK関数である。この概念は線形システムのBIBO安定性を一般化したものである。

確率システム制御

カルマンフィルタの最適性

確率的な擾乱を受けるシステム：

${\begin{aligned}dx&=Ax\,dt+Gdw\\dy&=Cx\,dt+Rdv\end{aligned}}$

に対して、条件付き期待値E[x(t)|Y_t]の最適推定は、カルマンフィルタ：

${\begin{aligned}d{\hat {x}}&=A{\hat {x}}\,dt+K(dy-C{\hat {x}}\,dt)\\K&=PC^{T}R^{-1}\\{\dot {P}}&=AP+PA^{T}+GQG^{T}-PC^{T}R^{-1}CP\end{aligned}}$

により与えられる。ここでPは推定誤差の共分散行列である。

確率的最適制御

二次形式評価関数：

$J=E\left[\int _{0}^{T}(x^{T}Qx+u^{T}Ru)\,dt+x^{T}(T)Sx(T)\right]$

の最小化問題は、確率的Hamilton-Jacobi-Bellman方程式：

$-V_{t}=\min _{u}\left\{V_{x}(Ax+Bu)+{\frac {1}{2}}{\text{tr}}(GQG^{T}V_{xx})+{\frac {1}{2}}(x^{T}Qx+u^{T}Ru)\right\}$

に帰着される。

数値計算法

常微分方程式の数値解法

状態方程式の数値積分において、古典的なRunge-Kutta法は以下のように定式化される：

${\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},x_{n})\\k_{2}&=f(t_{n}+{\frac {h}{2}},x_{n}+{\frac {h}{2}}k_{1})\\k_{3}&=f(t_{n}+{\frac {h}{2}},x_{n}+{\frac {h}{2}}k_{2})\\k_{4}&=f(t_{n}+h,x_{n}+hk_{3})\\x_{n+1}&=x_{n}+{\frac {h}{6}}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})\end{aligned}}$

この方法は4次の精度を持ち、局所打ち切り誤差は O(h⁵) のオーダーとなる。

Riccati方程式の数値解法

代数Riccati方程式の解法には、Schur分解に基づく方法が有効である。まず、Hamiltonianマトリクス：

$H={\begin{bmatrix}A&-BR^{-1}B^{T}\\-Q&-A^{T}\end{bmatrix}}$

のSchur形式を計算し、安定な固有空間を抽出する。具体的には：

${\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\U_{21}&U_{22}\end{bmatrix}}$

に対して、P = U₂₁U₁₁⁻¹が求める解となる。

実システムへの応用

ロボットマニピュレータの制御

n自由度マニピュレータのラグランジュ方程式：

$M(q){\ddot {q}}+C(q,{\dot {q}}){\dot {q}}+g(q)=\tau$

に対して、計算トルク法による非線形補償：

$\tau =M(q)({\ddot {q}}_{d}+K_{v}{\dot {e}}+K_{p}e)+C(q,{\dot {q}}){\dot {q}}+g(q)$

を適用することで、誤差システムは線形化される。ここで e = qd - q は位置誤差である。

宇宙機の姿勢制御

剛体の姿勢運動を表すEuler方程式：

${\begin{aligned}J_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(J_{3}-J_{2})\omega _{2}\omega _{3}&=u_{1}\\J_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(J_{1}-J_{3})\omega _{3}\omega _{1}&=u_{2}\\J_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(J_{2}-J_{1})\omega _{1}\omega _{2}&=u_{3}\end{aligned}}$

に対して、非線形H∞制御則を設計する。エネルギー関数：

$V={\frac {1}{2}}\omega ^{T}J\omega +{\frac {1}{2}}q^{T}Kq$

を用いて、制御則は：

$u=-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}B^{T}\nabla V$

の形で導出される。

電力系統の安定化制御

多機系統の動揺方程式：

${\begin{aligned}M_{i}{\ddot {\delta }}_{i}+D_{i}{\dot {\delta }}_{i}&=P_{mi}-\sum _{j=1}^{n}E_{i}E_{j}Y_{ij}\sin(\delta _{i}-\delta _{j})\\&\quad (i=1,\ldots ,n)\end{aligned}}$

に対して、エネルギー関数に基づく安定化制御を設計する。系統全体のエネルギー：

$V=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}M_{i}{\dot {\delta }}_{i}^{2}-\sum _{i<j}E_{i}E_{j}Y_{ij}\cos(\delta _{i}-\delta _{j})$

の時間微分を負定にする制御入力を構成する。

先進的制御理論

学習制御

反復制御則：

$u_{k+1}(t)=u_{k}(t)+\Gamma e_{k}(t)$

において、収束条件：

$\|I-\Gamma G(j\omega )\|<1\quad \forall \omega$

が満たされるとき、追従誤差は反復とともに単調に減少する。

分散制御システム

マルチエージェントシステム：

${\dot {x}}_{i}=\sum _{j\in {\mathcal {N}}_{i}}a_{ij}(x_{j}-x_{i})+Bu_{i}$

の合意制御問題において、グラフラプラシアンLを用いて閉ループダイナミクスは：

${\dot {x}}=-(L\otimes I_{n})x$

と表現される。グラフの連結性が合意の達成を保証する。