出典: フリー教科書『ウィキブックス（Wikibooks）』
1.1
集合
G
{\displaystyle G}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
G
{\displaystyle G}
a
b
{\displaystyle ab}
結合律 すべての元
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
(
a
b
)
c
=
a
(
b
c
)
{\displaystyle (ab)c=a(bc)}
をみたすとき, この演算は結合的 であるといい, また
G
{\displaystyle G}
半群 であるという.
演算が結合的 のときは上記の式の両辺は括弧を省略して単に
a
b
c
{\displaystyle abc}
可換律 すべての元
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
b
=
b
a
{\displaystyle ab=ba}
をみたすとき, この演算, または半群
G
{\displaystyle G}
可換 であるという.
1.2
半群
G
{\displaystyle G}
e
{\displaystyle e}
G
{\displaystyle G}
a
{\displaystyle a}
a
e
=
e
a
=
a
{\displaystyle ae=ea=a}
G
{\displaystyle G}
単位元 という.
e
{\displaystyle e}
e
′
{\displaystyle e'}
単位元 ならば
e
=
e
e
′
=
e
′
{\displaystyle e=ee'=e'}
単位元 は存在すればただ一つである.[ 1]
単位元
e
{\displaystyle e}
半群
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
a
{\displaystyle a}
a
b
=
b
a
=
e
{\displaystyle ab=ba=e}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
逆元 という.
このとき
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
逆元 となる.
b
{\displaystyle b}
b
′
{\displaystyle b'}
a
{\displaystyle a}
逆元 のとき
b
=
b
(
a
b
′
)
=
(
b
a
)
b
′
=
b
′
{\displaystyle b=b(ab')=(ba)b'=b'}
[ 2]
a
{\displaystyle a}
逆元 は存在すればただ一つである.
半群
G
{\displaystyle G}
単位元 を持ち, また
G
{\displaystyle G}
逆元 を持つとき
G
{\displaystyle G}
群 であるという.[ 3]
群 の演算が可換 であるとき
G
{\displaystyle G}
可換群 , またはアーベル群 という.
1.3
一般に
G
{\displaystyle G}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
b
∈
X
{\displaystyle ab\in X}
X
{\displaystyle X}
閉じている という.
特に
G
{\displaystyle G}
半群 のとき
X
{\displaystyle X}
G
{\displaystyle G}
部分半群 という.
G
{\displaystyle G}
群 ,
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
G
{\displaystyle G}
閉じ ,
また
X
{\displaystyle X}
逆元 もまた
X
{\displaystyle X}
G
{\displaystyle G}
単位元
e
{\displaystyle e}
X
{\displaystyle X}
[ 4]
X
{\displaystyle X}
G
{\displaystyle G}
部分群 という. 部分群 はそれ自身ももとと同じ演算で群 となっている.
1.4
例えば実数の集合
R
{\displaystyle R}
可換群 である。
有理数の集合
Q
{\displaystyle Q}
Z
{\displaystyle Z}
部分群 ,
Z
{\displaystyle Z}
Q
{\displaystyle Q}
部分群 でもある.
R
{\displaystyle R}
半群 ではあるが群 ではない. [ 5]
R
{\displaystyle R}
0
{\displaystyle 0}
R
−
{
0
}
{\displaystyle R-\left\{0\right\}}
群 となる。
正の実数の集合
R
+
{\displaystyle R^{+}}
部分群 である。
Q
−
{
0
}
{\displaystyle Q-\left\{0\right\}}
Q
+
=
Q
∪
R
+
{\displaystyle Q^{+}=Q\cup R^{+}}
[ 6]
R
−
{
0
}
{\displaystyle R-\left\{0\right\}}
部分群 である．
Z
+
=
Z
∪
R
+
{\displaystyle Z^{+}=Z\cup R^{+}}
R
{\displaystyle R}
部分半群 であるが部分群 ではない[ 7] 可換 でない半群 の例として n 次の正方行列全体の集合がある．[ 8]
0
{\displaystyle 0}
n
{\displaystyle n}
部分半群 であるが，また群 をつくる．
行列式が
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
部分群 となる．
1.5
一つの集合
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
b
{\displaystyle ab}
R
{\displaystyle R}
∗
,
⊥
{\displaystyle *,\bot }
a
,
b
{\displaystyle a,b}
⊥
{\displaystyle \bot }
a
⊥
b
{\displaystyle a\bot b}
次に一つの集合
K
{\displaystyle K}
+
{\displaystyle +}
⋅
{\displaystyle \cdot }
左分配律 すべての元
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
a
⋅
(
b
+
c
)
=
(
a
⋅
b
)
+
(
a
⋅
c
)
{\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}
が成り立つとき演算
⋅
{\displaystyle \cdot }
+
{\displaystyle +}
左から分配的 であるといい，同様に
右分配律
すべての元
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
(
b
+
c
)
⋅
a
=
(
b
⋅
a
)
+
(
c
⋅
a
)
{\displaystyle (b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)}
[ 9] が成り立つとき演算
⋅
{\displaystyle \cdot }
+
{\displaystyle +}
右から分配的 であるという．
⋅
{\displaystyle \cdot }
+
{\displaystyle +}
⋅
{\displaystyle \cdot }
+
{\displaystyle +}
分配的 であるという．
1.6
二つの演算
+
{\displaystyle +}
⋅
{\displaystyle \cdot }
K
{\displaystyle K}
1
∘
{\displaystyle 1^{\circ }\quad \ }
K
{\displaystyle K}
+
{\displaystyle +}
可換群 である
2
∘
{\displaystyle 2^{\circ }\quad \ }
K
{\displaystyle K}
⋅
{\displaystyle \cdot }
半群 である
3
∘
{\displaystyle 3^{\circ }\quad \ }
⋅
{\displaystyle \cdot }
+
{\displaystyle +}
分配的 である
が満たされているとき
K
{\displaystyle K}
環 であるといい，さらに演算
⋅
{\displaystyle \cdot }
可換 のときには
K
{\displaystyle K}
可換環 であるという．
1.7
二つ以上の元を持つ環
K
{\displaystyle K}
⋅
{\displaystyle \cdot }
群 となることはできない．
それは
+
{\displaystyle +}
単位元 を
0
{\displaystyle 0\ }
⋅
{\displaystyle \cdot }
単位元 を
1
{\displaystyle 1}
分配律 から
a
=
a
(
˙
0
+
1
)
=
a
⋅
0
+
a
{\displaystyle a=a{\dot {(}}0+1)=a\cdot 0+a}
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
a
⋅
0
=
0
{\displaystyle a\cdot 0=0}
0
{\displaystyle 0}
逆元 が存在できないからである．
しかしこの
0
{\displaystyle 0}
⋅
{\displaystyle \cdot }
群 となることは可能で，
もし環
K
{\displaystyle K}
4
∘
{\displaystyle 4^{\circ }\quad \ }
K
−
{
0
}
{\displaystyle K-\left\{0\right\}}
⋅
{\displaystyle \cdot }
群 となる．
をみたすとき，
K
{\displaystyle K}
体 であるという．
整数の集合
Z
{\displaystyle Z}
Q
{\displaystyle Q}
R
{\displaystyle R}
+
{\displaystyle +}
⋅
{\displaystyle \cdot }
環 であり，特に
Q
{\displaystyle Q}
R
{\displaystyle R}
体 でもある．
1.8
再び一つの演算を持った集合に帰り，
L
{\displaystyle L}
可換 な半群 とする．
もしさらに
L
{\displaystyle L}
ベキ等律 すべての元
a
{\displaystyle a}
a
a
=
a
{\displaystyle aa=a}
を満たすとき，
L
{\displaystyle L}
半束 であるという．
集合
L
{\displaystyle L}
∧
,
∨
{\displaystyle \land ,\lor }
L
{\displaystyle L}
半束 で，さらに
吸収律 すべての元
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
∧
(
a
∨
b
)
=
a
,
a
∨
(
a
∧
b
)
=
a
{\displaystyle a\land (a\lor b)=a,\quad a\lor (a\land b)=a}
が満たされるとき，
L
{\displaystyle L}
束 であるという．さらに
∧
{\displaystyle \land }
∨
{\displaystyle \lor }
分配的 ，
∨
{\displaystyle \lor }
∧
{\displaystyle \land }
分配的 のとき，
L
{\displaystyle L}
分配束 であるという．
集合
X
{\displaystyle X}
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)}
X
{\displaystyle X}
ベキ集合 という．
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)}
∩
{\displaystyle \cap }
∪
{\displaystyle \cup }
[ 10] 分配束 となっている．[ 11] 1.4 の
R
{\displaystyle R}
Q
{\displaystyle Q}
Z
{\displaystyle Z}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
∨
b
=
max
(
a
,
b
)
,
a
∧
b
=
min
(
a
,
b
)
{\displaystyle a\lor b=\max(a,b),a\land b=\min(a,b)}
分配束 となる
（
max
(
a
,
b
)
{\displaystyle \max(a,b)}
min
(
a
,
b
)
{\displaystyle \min(a,b)}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
^
単位元 の定義
a
e
=
e
a
=
a
{\displaystyle ae=ea=a}
a
=
e
′
{\displaystyle a=e'}
e
′
e
=
e
e
′
=
e
′
{\displaystyle e'e=ee'=e'}
e
′
{\displaystyle e'}
単位元 であるから
a
e
′
=
e
′
a
=
a
{\displaystyle ae'=e'a=a}
a
=
e
{\displaystyle a=e}
e
e
′
=
e
′
e
=
e
{\displaystyle ee'=e'e=e}
e
′
=
e
′
e
=
e
e
′
=
e
{\displaystyle e'=e'e=ee'=e}
e
=
e
′
{\displaystyle e=e'}
^
なんとなれば
a
b
′
=
e
,
b
a
=
e
{\displaystyle ab'=e,ba=e}
^
群 の公理に要請する条件としては
a
e
=
a
{\displaystyle ae=a}
a
a
−
1
=
e
{\displaystyle aa^{-1}=e}
a
−
1
{\displaystyle a^{-1}}
a
−
1
(
a
−
1
)
−
1
=
e
{\displaystyle a^{-1}(a^{-1})^{-1}=e}
(
a
−
1
)
−
1
{\displaystyle (a^{-1})^{-1}}
G
{\displaystyle G}
e
a
=
e
a
e
(
∵
{\displaystyle ea=eae(\because }
)
{\displaystyle )}
=
e
a
a
−
1
(
a
−
1
)
−
1
(
∵
{\displaystyle =eaa^{-1}(a^{-1})^{-1}(\because }
)
{\displaystyle )}
=
e
e
(
a
−
1
)
−
1
(
∵
{\displaystyle =ee(a^{-1})^{-1}(\because }
)
{\displaystyle )}
=
e
(
a
−
1
)
−
1
(
∵
{\displaystyle =e(a^{-1})^{-1}(\because }
)
{\displaystyle )}
=
a
a
−
1
(
a
−
1
)
−
1
(
∵
{\displaystyle =aa^{-1}(a^{-1})^{-1}(\because }
)
{\displaystyle )}
=
a
e
(
∵
{\displaystyle =ae(\because }
)
{\displaystyle )}
=
a
(
∵
{\displaystyle =a(\because }
)
{\displaystyle )}
e
a
=
a
{\displaystyle ea=a}
単位元 の公式の残り半分が導出される．
a
−
1
a
=
a
−
1
a
e
(
∵
{\displaystyle a^{-1}a=a^{-1}ae(\because }
)
{\displaystyle )}
=
a
−
1
a
a
−
1
(
a
−
1
)
−
1
(
∵
{\displaystyle =a^{-1}aa^{-1}(a^{-1})^{-1}(\because }
)
{\displaystyle )}
=
a
−
1
e
(
a
−
1
)
−
1
(
∵
{\displaystyle =a^{-1}e(a^{-1})^{-1}(\because }
)
{\displaystyle )}
=
a
−
1
(
a
−
1
)
−
1
(
∵
{\displaystyle =a^{-1}(a^{-1})^{-1}(\because }
)
{\displaystyle )}
=
e
(
∵
{\displaystyle =e(\because }
)
{\displaystyle )}
a
−
1
a
=
e
{\displaystyle a^{-1}a=e}
逆元 の公式の残り半分が導出される． ^
a
b
=
e
{\displaystyle ab=e}
a
∈
X
,
b
∈
X
{\displaystyle a\in X,b\in X}
X
{\displaystyle X}
G
{\displaystyle G}
閉じている のだから
a
b
=
e
∈
X
{\displaystyle ab=e\in X}
^
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
単位元 は存在せず、乗法に関する単位元 を仮に
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
逆元 は存在しない．これはすぐに後述される．
^
「
Q
+
{\displaystyle Q^{+}}
R
+
{\displaystyle R^{+}}
^
逆元 が整数に収まらない．
^
行列
A
{\displaystyle A}
0
{\displaystyle 0}
A
{\displaystyle A}
逆元 は持ちえない．
^
▴
{\displaystyle \blacktriangle }
⋅
{\displaystyle \cdot }
+
{\displaystyle +}
(
a
⋅
b
)
{\displaystyle (a\cdot b)}
(
)
{\displaystyle ()}
^
X
{\displaystyle X}
∩
{\displaystyle \cap }
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
∪
{\displaystyle \cup }
X
{\displaystyle X}
^
一般的な集合演算を指している．集合演算の結果としてとりうる値（集合)をすべて集めるとベキ集合と考える．
