鎖条件: 元
が存在し,
さらに
として、
各
に対して
であるかまたは
である
がみたされることにすればよい.[10]
このような
を
と
とを結ぶ
鎖 という.
上のように定めた
が同値関係であること、また
が
より強い同値関係であれば,
鎖で結ばれる二元
に対して
に対して
でなければならないことは明らかである.
上の
を
から生成された同値関係という.
2.7
を正の整数とするとき、
に対して
が
の倍数であるという関係
は同値条件である.
も正の整数のとき,関係
が
より強くなるのは
が
の約数のときに限る.
同様に実数
に対して
が整数であるという関係
,
が有理数であるという関係
,
が代数的数であるという関係
等は
上の同値関係で、この順に強くなっている.
集合
に対して
を
と
の対称差 という。
が有限であるという関係
,
がある無限濃度
より小さいという関係
は同値関係で,特に後者は
が大きいほど強くなる.
- ^
を先に決めて、それに対して
に属する一つ一つの関係
を順次あてはめていく。
大抵の場合は、特定の関係
にて
,すなわち関係
はなりたたない、ということになるが、
の組によっては、すべての関係
について
,いいかえると
となる組
が存在するかもしれない.そういう
が存在するのなら、
は
の交
に含まれている。
- ^
そのような
が仮に存在した場合の論議が続き,結論は
を経て
.
- ^
より
.
.
これに対称律を適用して
.
.
.
.
- ^
について
のとき
,…①
より
,…②
①②より推移律から
.…③
より
.
.…④
③④より推移律から
.
について
- ^
より
.これと対称律より
…①,
また
.
…②,
今
で
のとき…③、
③より
…④
④①より推移律から
.
これと②より推移律から
.
すなわち
.…⑤
③⑤はすなわち
ならば
.
.
- ^
各々の
に重なりがある可能性を含んでベキ集合として把握する.
- ^
の下に添え字がないときは
は
を表す.
についても同様
- ^ .
- ^
例えば
は '
',
は合同(剰余系)の'
'.
- ^
これは必要条件である.