地震学 > 地震波の伝播
地震が発生すると、地球の内部を地震波が伝播する。
ここでは、地球を弾性体と見なし、弾性波動論の立場から地震波を説明する。
以下では、特に断らない限り、空間の次元は三次元とし、直交座標系はデカルト座標系の左手系とする。
無限に広がる弾性体を考え、その中の1点
での変位の
,
,
成分をそれぞれ
,
,
で表す。
から
方向に微小な距離だけ離れた点
での変位
を
とする。
このとき、
を
の周りでテーラー展開し、1次の微小量までを残すと
![{\displaystyle u(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)=u(x,y,z)+{\frac {\partial u}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial u}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial u}{\partial z}}\delta z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c335b09cba13ac069f89ab9cc6d182f5d2505eda)
で近似できる。
したがって、
と
の間の相対的な変位は
![{\displaystyle u(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)-u(x,y,z)={\frac {\partial u}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial u}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial u}{\partial z}}\delta z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34adffcc934965578f4ab49ddcaf525d543ba03)
と表せる。
同様に
![{\displaystyle v(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)-v(x,y,z)={\frac {\partial v}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial v}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial v}{\partial z}}\delta z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e079dd1a0e9b2072a374a611663ce275fcc3a17)
![{\displaystyle w(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)-w(x,y,z)={\frac {\partial w}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial w}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial w}{\partial z}}\delta z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a7430a112859f52ffab542248c461d21f72fb2)
が得られる。
応力とひずみの関係はフックの法則と呼ばれ、次の関係式で表される。
![{\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d69f839f1425e80267a063659e29725148a9c1f)
は弾性定数と呼ばれ、弾性体の性質を表す定数である。
弾性定数は4階のテンソルであり、81個の成分を持つ。
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